上海市重点大学附中2023届高三下学期数学冲刺模拟试卷4（PDF版含答案）

高三数学模拟试卷 4
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
1．已知集合 A = (x , y) x + y = 2 ， B = (x , y) x y = 4 ，则 A B = __________.
2．以点 A( 1 ,1)、 B (3 , 3)为直径两端的圆的一般式方程为 __________.
3．设关于 x 的不等式 x2 ax + b 0 的解集为 ( 1 , 2)，则 a + b = __________.
x2 y2
4．设双曲线C : =1（ a , b 0）的一条渐近线为 y = 2x，则 C 的离心率为 __________.
a2 b2
5．设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn . 若 S9 = 72，则 a2 + a4 + a9 = __________.
6．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满
粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满
园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一
个正四棱台，上、下底边边长分别为 20cm，10cm，侧棱长为 10cm，忽略
其壁厚，则该升斗的容积约为 __________ cm3.
1 1
7．设 f (x) x= x + . 若函数 y = f (x)的定义域为 ( ,1) (1, + )，则关于 x 的不等式 a f (a)的x
2 a 2
解集为 __________.
8．如图，用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同
颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 __________ 种.
9．若关于 x 的方程 ex = a x 恰有两个不同的实数解，则实数 a = __________.
10．设复数 z 满足 z =1，且使得关于 x 的方程 zx2 + 2zx + 3 = 0 有实根，则所有这样的复
数 z 的和为 __________.
11．已知平面上的点 A、B、M、N 满足 AB = 6，MA MB = NB NA = 4 ，BM = 2，AN = 3，则 AB MN =
__________.
12．已知平面向量 a , b , e满足 e =1， a e =1，b e = 1， a b = 4 ，则 a b 的取值范围是 __________.
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，每题有且只有
一个正确选项）
13．已知点 F 为抛物线 y2 = 2 px（ p 0）的焦点，点 P 在抛物线上且横坐标为 8，O 为坐标原点. 若 OFP
的面积为 2 2 ，则该抛物线的准线方程为 ( )
第1页
1
A． x = B． x = 1 C． x = 2 D． x = 4
2
14．已知 f (x) = tan (x + ) ，则“函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称”是“ = k （ k Z ）”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．2022 卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的 8 座体育馆举办. 将甲、乙、丙、丁 4 名裁判随机派往卢赛
尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派 1 名裁判. A 表示事件“裁判甲派往卢赛尔
体育馆”；B 表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C 表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则 ( )
A．事件 A 与 B 相互独立 B．事件 A 与 C 为互斥事件
1 1
C． P (C | A) = D． P (B | A) =
3 6
16．设 an 为无穷数列. 若存在正整数 k，使得对任意正整数 n，均成立 an+k an ，则称 an 为“k-低调数
1 n
列”. 有以下两个命题：① cos1 , cos2 1, , cosn , 是 k-低调数列当且仅当 k 4 ；②若存在 a R ，
2 2
1 qn
使得 a +1, 2a +1+ q , , na + , 为 2-低调数列，则 1 q 1 . 那么 ( )
1 q
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）
17．（14 分）已知数列 ， 是前 项的和，且满足3an = 2sn + n,n为正整数.
（1）求证：数列 1{a 为等比数列； n + }
2
（2）记 ，求 的表达式。
第2页
18．（14 分）如图，四边形 ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E
是 AC 与 BD 的交点， BAD = 60 ， AB = AD .
V
(1) 记圆柱的体积为V1，四棱锥 P ABCD 的体积为V
1
2 ，求 ；
V2
(2) 设点 F 在线段 AP 上， PA = 4PF ， PC = 4CE ，求二面角 F CD P 的余弦值.
19．（16 分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量 y（单
位：g / m3 ）与样本对原点的距离 x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表
9
1 1
中ui = ，u = ui ）．
xi 9 i=1
9 9 9 9 9
2 2 2
x y u (xi x) (ui u) ( yi y) (xi x)( yi y) (ui u)( yi y)
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
6 97.90 0.21 60 0.14 14.12 26.13 1.40
d
(1) 利用样本相关系数的知识，判断 y = a + bx 与 y = c + 哪一个更适宜作为平均金属含量 y 关于样本对原
x
点的距离 x 的回归方程类型？
(2) 根据(1)的结果回答下列问题：
(i) 建立 y 关于 x 的回归方程；
(ii) 样本对原点的距离 x = 20时，金属含量的预报值是多少？
(3) 已知该金属在距离原点 x 米时的平均开采成本 W（单位：元）与 x，y 关系为W =100( y ln x（) 1 x 100 ），
根据(2)的结果回答，x 为何值时，开采成本最大？
第3页
x2 y2 2
20．（16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E : + =1（ a b 0 ）过点 1 , ，且椭圆的离
a2 b2 2


2
心率为 . 直线 l : y = x + t 与椭圆 E 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中垂线交椭圆 E 于 C、D 两点.
2
(1) 求 E 的标准方程；
(2) 求线段 CD 长的最大值；
(3) 证明： AC AD 为定值，并求此定值.
f (x)
21．（18 分）设 y = f (x)是定义在R 上的奇函数. 若 y = （ x 0 ）是严格减函数，则称 y = f (x)为“D
x
函数”.
(1) 分别判断 y = x x 和 y = sin x 是否为 D 函数，并说明理由；
1 1
(2) 若 y = 是 D 函数，求正数 a 的取值范围；
ax +1 2
(3) 已知奇函数 y = F (x)及其导函数 y = F (x)定义域均为 R . 判断“ y = F (x)在 (0 , + ) 上严格减”是
“ y = F (x)为 D 函数”的什么条件，并说明理由.
第4页
高三数学模拟试卷 4【答案】
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
1．已知集合 A = (x , y) x + y = 2 ， B = (x , y) x y = 4 ，则 A B = __________.【 (3 , 1) 】
2．以点 A( 1 ,1)、 B (3 , 3)为直径两端的圆的一般式方程为 __________.【 x2 + y2 2x 4y = 0 】
3．设关于 x 的不等式 x2 ax + b 0 的解集为 ( 1 , 2)，则 a + b = __________.【 1】
x2 y2
4．设双曲线C : =1（ a , b 0）的一条渐近线为 y = 2x，则 C 的离心率为 __________.【 3 】
a2 b2
5．设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn . 若 S9 = 72，则 a2 + a4 + a9 = __________.【24】
6．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满
粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满
园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一
个正四棱台，上、下底边边长分别为 20cm，10cm，侧棱长为 10cm，忽略
其壁厚，则该升斗的容积约为 __________ cm3.【1645】
1 1
7．设 f (x) = x + . 若函数 y = f (x)的定义域为 ( ,1) (1, + )，则关于 x 的不等式 a
x f (a)的
x
2 a 2
解集为 __________.【 1 , + )】
8．如图，用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同
颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 __________ 种.【180】
9．若关于 x 的方程 ex = a x 恰有两个不同的实数解，则实数 a = __________.【 e】
【解析】显然 a 0 . 当 x 0 时，由单调性得，方程 ex = ax有且仅有一解. 因此当 x 0
时，方程 ex = ax也恰有一解. 考虑函数 y = ex ax 得 y = ex a ，故当 x = ln a 时， y = 0 ，从而 a = e .
10．设复数 z 满足 z =1，且使得关于 x 的方程 zx2 + 2zx + 3 = 0 有实根，则所有这样的复数 z 的和为
7
__________.【 】
4
11．已知平面上的点 A、B、M、N 满足 AB = 6，MA MB = NB NA = 4 ，BM = 2，AN = 3，则 AB MN =
__________.【36】
【解析】以 AB 中点 O 为原点，OB 为 x 轴正方向，建立平面直角坐标系. 则 A( 3 , 0)， B (3 , 0) . 且点 M、
x2 y2 2 2
N 分别在双曲线 的右支和左支 2 2 =1 . 同时，点 M 在圆 (x 3) + y = 4 上，点 N 在圆 (x + 3) + y = 9上，
4 5
第5页
8 10
故 xM = ， xN = . 故 AB MN = 6(xM xN ) = 36
3 3
12． 4，+ )
12 变式．已知平面向量 a , b , e满足 e =1，a e =1，b e = 1，a b = 4 ，则 a b 的取值范围是 __________.
【 ( 2 3 , 2 3)】
【解析】不妨设 e = (1 , 0)，则 a = (1 , x) , b = ( 1 , y) . 由 a b = 4 得 x y = 2 3 ，于是
2 2 2 2
a b = 1+ x2 1+ y2
x y x y
= = x y x y = 2 3 .
1+ x2 + 1+ y2 x + y
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，每题有且只有
一个正确选项）
13．已知点 F 为抛物线 y2 = 2 px（ p 0）的焦点，点 P 在抛物线上且横坐标为 8，O 为坐标原点. 若 OFP
的面积为 2 2 ，则该抛物线的准线方程为 ( ) 【B】
1
A． x = B． x = 1 C． x = 2 D． x = 4
2
14．已知 f (x) = tan (x + ) ，则“函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称”是“ = k （ k Z ）”的 ( )【B】
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．2022 卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的 8 座体育馆举办. 将甲、乙、丙、丁 4 名裁判随机派往卢赛
尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派 1 名裁判. A 表示事件“裁判甲派往卢赛尔
体育馆”；B 表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C 表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则 ( )【D】
A．事件 A 与 B 相互独立 B．事件 A 与 C 为互斥事件
1 1
C． P (C | A) = D． P (B | A) =
3 6
16．设 an 为无穷数列. 若存在正整数 k，使得对任意正整数 n，均成立 an+k an ，则称 an 为“k-低调数
1 n
列”. 有以下两个命题：① cos1 , cos2 1, , cosn , 是 k-低调数列当且仅当 k 4 ；②若存在 a R ，
2 2
1 qn
使得 a +1, 2a +1+ q , , na + , 为 2-低调数列，则 1 q 1 . 那么 ( ) 【C】
1 q
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
1 n 3 4 5
【解析】对于数列 cos1 , cos2 1, , cosn , ，若该数列为 k-低调数列，因 cos3 , cos4 , cos5
2 2 2 2 2
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6
均小于 cos6 ，故 k 4 .
2
n + k n k k
反之，当 k 4 时，an+k an = cos(n + k ) cosn = cos (n + k ) cosn 2 0 ，即该数列
2 2 2 2
为 k-低调数列. 故①是真命题.
1 qn
对于数列 a +1, 2a +1+ q , , na + , ，显然 q 1 .
1 q
若存在 a R 使得该数列为 2-低调数列，则 2a + qn + qn+1 0 （*）对一切正整数 n 恒成立. 若 q 1，则当
2 a
n = 2m 1，m log 2 时，（*）不成立；若 q = 1，取 a = 1即可；若 q 1，则 q
n + qn+1 1+ q 2，
q 1+ q 1
取 a = 1即可. 综上，②是真命题.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）
17．（14 分） 18.已知数列 ， 是前 项的和，且满足3an = 2sn + n,n为正整数.
（1）求证：数列 1{a + }为等比数列； n
2
（2）记 ，求 的表达式。
【解析】
（1） 时， ，所以 ，
当 时，由 ,得 ，
则 ，
即 ，
所以 又 ，
故 就是首项为 ，公比为 3的等比数列，
则 即 .
（2）将 代入 得 ,
所以
= .
第7页
18．（14 分）如图，四边形 ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E
是 AC 与 BD 的交点， BAD = 60 ， AB = AD .
V
(1) 记圆柱的体积为V ，四棱锥 P ABCD 的体积为V ，求 11 2 ；
V2
(2) 设点 F 在线段 AP 上， PA = 4PF ， PC = 4CE ，求二面角 F CD P 的余弦值.
【解析】
(1) 解：因为 ， ，所以 是等边三角形，又 是圆柱的底面直径，即 外接
圆的直径，所以 ， ， ， ，
于是 ， ，所以 ；
(2) 解：以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，在圆柱底面过 点作 的垂线为 轴， 为 轴建立如图
所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ，所以 ，
， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，即
取 ，得 ， ，则 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，即
取 ，得 ， ，则 ，
所以 ，因此二面角 的余弦值为 ．
19．（16 分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量 y（单
位：g / m3 ）与样本对原点的距离 x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表
9
1 1
中ui = ，u = ui ）．
xi 9 i=1
第8页
9 9 9 9 9
2 2 2
x y u (xi x) (ui u) ( yi y) (xi x)( yi y) (ui u)( yi y)
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
6 97.90 0.21 60 0.14 14.12 26.13 1.40
d
(1) 利用样本相关系数的知识，判断 y = a + bx 与 y = c + 哪一个更适宜作为平均金属含量 y 关于样本对原
x
点的距离 x 的回归方程类型？
(2) 根据(1)的结果回答下列问题：
(i) 建立 y 关于 x 的回归方程；
(ii) 样本对原点的距离 x = 20时，金属含量的预报值是多少？
(3) 已知该金属在距离原点 x 米时的平均开采成本 W（单位：元）与 x，y 关系为W =100( y ln x（) 1 x 100 ），
根据(2)的结果回答，x 为何值时，开采成本最大？
【解析】
9
(xi x )(yi y)
26.13
(1) 解： y = a + bx 的线性相关系数 r i=11 = = 0.898 ，
9 9
2 2 60 14.12 (xi x) (yi y)
i=1 i=1
9
(ui u )(yi y)
d
y = c + 的线性相关系数 r = i=1
1.40
2 = 0.996，
x 9 9 0.14 14.12
(ui u )
2 (yi y)
2
i=1 i=1
d
| r1 | | r2 |， y = c + 更适宜作为平均金属含量 y 关于样本对原点的距离 x的回归方程类型．
x
9
(ui u )(yi y)
i=1 1.40(2) 解： (i) = = = 10， = y u = 97.9 ( 10) 0.21=100 ，
9
(u u )2
0.14
i
i=1
10 10
y =100 10u =100 ， y 关于 x的回归方程为 y =100 ．
x x
10
(ii) 当 x = 20时，金属含量的预报值为 y =100 = 99.5g / m3 ．
20
10
(3) 解：W =1000(y lnx) =1000(100 lnx)，
x
10 10 1 10 x
令 f (x) =100 lnx ，则 f (x) = = ，
x x2 x x2
当1 x 10时， f (x) 0， f (x) 单调递增；当10 x 100 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减，
f (x)在 x =10 处取得极大值，也是最大值，此时W 取得最大值，故 x为 10 时，开采成本最大．
x2 y2 2
20．（16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E : + =1（ a b 0 ）过点 1 , ，且椭圆的离
a2 b2

2
第9页
2
心率为 . 直线 l : y = x + t 与椭圆 E 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中垂线交椭圆 E 于 C、D 两点.
2
(1) 求 E 的标准方程；
(2) 求线段 CD 长的最大值；
(3) 证明： AC AD 为定值，并求此定值.
【解析】
(1) 解：根据题意得， ，解得 所以椭圆 的标准方程为
(2) 解；设 ，由 ，整理得 ，
所以 ，解得 ，
设 的中点 ，则 ， ，
所以 的中垂线方程为： ，即直线 的方程为 ，
由 ，整理得， ，所以 ，
所以
，
又因为 ，所以当 时，
(3) 证：由 可知， ， ，
所以
第10页
．
f (x)
21．（18 分）设 y = f (x)是定义在R 上的奇函数. 若 y = （ x 0 ）是严格减函数，则称 y = f (x)为“D
x
函数”.
(1) 分别判断 y = x x 和 y = sin x 是否为 D 函数，并说明理由；
1 1
(2) 若 y = 是 D 函数，求正数 a 的取值范围；
ax +1 2
(3) 已知奇函数 y = F (x)及其导函数 y = F (x)定义域均为 R . 判断“ y = F (x)在 (0 , + ) 上严格减”是
“ y = F (x)为 D 函数”的什么条件，并说明理由.
【解析】
x x
(1) 解；显然二者均为定义在R 上的奇函数. 当 x 0 时，函数 y = = x 严格减，故 y = x x 是 D 函数.
x
sin x
而当 x = 和 x = 2 时， = 0，故 y = sin x 不是 D 函数.
x
1 1
(2) 解： y = 是定义在R 上的奇函数.
ax +1 2
1 1 1 x 1 1 1 1 a
当 a =1时， y = = 0不是 D 函数，下设 a 1 . 当 x 0 时，令 g (x) = x x = ，a +1 2 x a +1 2 2 x (1+ ax )
1 a
x (1+ ax ) x ln a (1 ax )(1+ ax + xax ln a) a2x 1 2xax ln a
则 g (x) = = .
2 2 2x2 (1+ ax ) 2x2 (1+ ax )
2
再设 h(x) = a2x 1 2xax ln a ，则 h (x) = 2a2x ln a 2ax ln a 2xax (ln a) = 2ax ln a (ax 1 x ln a) . 注意当
x 0 , a 1时，ax = ex ln a 1+ x ln a ，所以当 a 1时，h ( x) 0；当 a (0 ,1)时，h ( x) 0 . 因为 h (0) = 0，
0 , a 1, 严格增 , a 1,
所以当 x 0 时， h(x) . 从而，当 x 0 时， g (x) .
0 , 0 a 1 严格减 , 0 a 1
故 0 a 1为所求.
x 1 x
(3) 证：函数 y = 是定义在R 上的奇函数，且 y = 在 (0 , + )上严格减，故为 D 函数. 但当
1+ x2 x 1+ x2
2
x 1 x
x = 2 或 5 时 y = = 取值相等，从而不是 (0 , + ) 上严格减的函数. 故“ y = F (x)在
1+ x
2 2
(1+ x2 )
(0 , + )上严格减”不是“ y = F (x)为 D 函数”的必要条件.
下证“ y = F (x)在 (0 , + )上严格减”是“ y = F (x)为 D 函数”的充分条件.
对任意u 0 ，定义 H (x) = xF (u ) F (x) . 则由 F (0) = 0 得 H (0) = 0，且由 y = F (x)严格减得当 x u 时，
第11页
H (x) = F (u) F (x) 0，故当 0 x u 时，H (x) H (0) = 0 ，即 xF (u) F (x) 0 .
现任取 x1 0 ，考虑G (x) = x1F (x) xF (x1 ) . 则G (x1 ) = 0 ，且当 x x1时，G (x) = x F 1 (x) F (x1 ) . 由关于
函数 y = H ( x) 的讨论知，此时 G ( x) 0 . 故当 x x1 时， G (x) G (x1 ) = 0 ，即：对任意 x2 x1 ，
F (x2 ) F (x1 ) F (x)
x1F (x2 ) x2F (x1 ) 0 . 移项得 ，故 y = 在 (0 , + )上严格减，即 y = F (x)为 D 函数.
x2 x1 x
综上，“ y = F (x)在 (0 , + )上严格减”是“ y = F (x)为 D 函数”的充分非必要条件.
第12页