乘法公式复习[上学期]
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第十四章 乘法公式
14.3 两数和乘以它们的差
一、公式的特点:
1、 此公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。
2、 此公式右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)
3、 公式中的a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式或其它代数式，只要符合公式的特征就可以了。
4、 有些多项式的乘法不能直接应用此公式进行计算，需经简单变形后方可应用，常用的变形有：
①位置变化：如：==
②符号变化：如：
③系数变化：如：
④相同项结合，相反项结合：
如
⑤根据题目特点，创造条件，灵活变形，巧妙应用公式：
如：
5、 两数和乘以两数差的积等于这两数的平方差的公式也可以逆用，逆用后的计算可能更为简便。
如：
=4x 6=24x
二、典型例题：
1、计算：
(1) (2)
(3) (4)
2、利用平方差公式计算：
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
3、 化简求值：
(1)，其中
(2) 其中
4、解不等式：
5、解方程组：
6、设m、n为自然数，且满足：，求n的值。
7、已知S=，求S被103除的余数。
14.4 完全平方公式
一、理解：
1、两数和的平方公式实质是描述两个数或两个式子的代数和的平方展开公式，即二项式的完全平方。
2、公式左边的括号内是两个数或两个式子的代数和，即a+b(或a-b)右边展开是一个二次三项式，且首尾两项分别是两个数或两个式子的平方，即a2、b2。中间是这两个数或两个式子的积的2倍，即2ab(或-2ab)
即： 或
注意：1、公式中的a、b的含义具有广泛性，它们可以代表一个数、一个字母、一个单项式、一个多项式或其它代数式，只要题目符合此公式的结构特征就可以运用这一公式。
2、常见的恒等变形、：
①
②
③
④
3、此公式可以逆用，也可以与前面的公式综合运用。
二、典型例题：
1、计算：
(1)、
（2）、
2、解答下列各题：
①已知，求的值。
②已知,求的值 。
③已知，求a、b的值 。
④若
⑤化简求值：，其中x=2，y=1
⑥若，用含m、n的代数式表示：
(1)a与b的平方和。(2)的值 。
⑦已知，求的值 。
3、如图，矩形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求矩形ABCD中最大的正方形与最小正方形的面积之差。
4、已知两个两位数的平方差为220，且它们的十位上的数字相同，一个数有个位是6，另一个数的个位是4，求这两个数。
第十四章 整式的乘除
14.4 因式分解
一、因式分解的意义：
(1)概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。
(2)对象：因式分解的对象是整式中的多项式不是单项式，也不是代数式中的分式和根式。
(3)结果：因式分解的结果是整式(即多项式与单项式)的乘积形式，而非分式与根式的乘积形式，也非整式的积与和的形式。
二、因式分解的方法：
(1)提取公因式法：
A:公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同的因式。
B：公因式的求法：取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式的数字系数。各项中相同的字母(或相同的多项式因式)作为公因式中的字母(或多项式因式)，并取它们的最低次幂。
C：提公因式法：把一个多项式中的各项的公因式提出来并进行因式分解的方法，它实际上是乘法分配律的逆推。
(2)公式法：
A：运用乘法公式进行因式分解的方法。
B：常用的公式 ：平方差公式和完全平方公式
三、检验方法：
检验因式分解是否正确，只需把结果做乘法运算并与原式对照即可。
注意事项：
(1) 因式分解的运算过程与多项式的乘法运算过程刚好相反，不能混淆，更不能来回运算。
(2) 第一项系数为负数时，提公因式时应将负号一起提出，使括号里的第一项系数为正值。
(3)分解的结果如果出现相同的因式必须写成幂的形式。
(4)分解因式时应注意以下变形：
防止以下错误：
(1)分解不彻底，分解因式必须分解到每一个多项式不能再继续分解为止。
(2)提取公因式时，如果某一项全部提出，相应的位置应补上1，而不是0。
四、典型例题：
1、把下列各式分解因式
① ②
③ ④
⑤(计算) ⑥(计算)
2、试证明：可以表示为一个整式的平方的形式，并就x的自然数的情形，说明所证明的结论揭示了一条怎样的规律。
3、当整数K为值时，多项式恰好是另一个多项式的平方。
4、能被60---70之间的两个整数所整除，求这两个数。
5、已知的值。
6、如果n为自然数。求证：能被10整除。
7、已知有一个因式x+4，试把它分解出来。
8、求证：不论x、y为任何实数，的值总是一个正值 。
9、丁丁和冬冬分别用橡皮泥做一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高，丁丁和冬冬想知道哪个体积大，但身边又没有尺子，只找了一根短绳，他们量得长方体底面和长正好是3个绳长，宽是2个绳长，圆柱体的底面周长是10个绳长，你知道哪一个体积较大吗？大多少？
如果给你一架天平，你有办法知道哪一个体积较大吗？
A
A
A
A
d
C
b
a
a
4
14.3 两数和乘以它们的差
一、公式的特点:
1、 此公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。
2、 此公式右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)
3、 公式中的a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式或其它代数式，只要符合公式的特征就可以了。
4、 有些多项式的乘法不能直接应用此公式进行计算，需经简单变形后方可应用，常用的变形有：
①位置变化：如：==
②符号变化：如：
③系数变化：如：
④相同项结合，相反项结合：
如
⑤根据题目特点，创造条件，灵活变形，巧妙应用公式：
如：
5、 两数和乘以两数差的积等于这两数的平方差的公式也可以逆用，逆用后的计算可能更为简便。
如：
=4x 6=24x
二、典型例题：
1、计算：
(1) (2)
(3) (4)
2、利用平方差公式计算：
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
3、 化简求值：
(1)，其中
(2) 其中
4、解不等式：
5、解方程组：
6、设m、n为自然数，且满足：，求n的值。
7、已知S=，求S被103除的余数。
14.4 完全平方公式
一、理解：
1、两数和的平方公式实质是描述两个数或两个式子的代数和的平方展开公式，即二项式的完全平方。
2、公式左边的括号内是两个数或两个式子的代数和，即a+b(或a-b)右边展开是一个二次三项式，且首尾两项分别是两个数或两个式子的平方，即a2、b2。中间是这两个数或两个式子的积的2倍，即2ab(或-2ab)
即： 或
注意：1、公式中的a、b的含义具有广泛性，它们可以代表一个数、一个字母、一个单项式、一个多项式或其它代数式，只要题目符合此公式的结构特征就可以运用这一公式。
2、常见的恒等变形、：
①
②
③
④
3、此公式可以逆用，也可以与前面的公式综合运用。
二、典型例题：
1、计算：
(1)、
（2）、
2、解答下列各题：
①已知，求的值。
②已知,求的值 。
③已知，求a、b的值 。
④若
⑤化简求值：，其中x=2，y=1
⑥若，用含m、n的代数式表示：
(1)a与b的平方和。(2)的值 。
⑦已知，求的值 。
3、如图，矩形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求矩形ABCD中最大的正方形与最小正方形的面积之差。
4、已知两个两位数的平方差为220，且它们的十位上的数字相同，一个数有个位是6，另一个数的个位是4，求这两个数。
第十四章 整式的乘除
14.4 因式分解
一、因式分解的意义：
(1)概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。
(2)对象：因式分解的对象是整式中的多项式不是单项式，也不是代数式中的分式和根式。
(3)结果：因式分解的结果是整式(即多项式与单项式)的乘积形式，而非分式与根式的乘积形式，也非整式的积与和的形式。
二、因式分解的方法：
(1)提取公因式法：
A:公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同的因式。
B：公因式的求法：取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式的数字系数。各项中相同的字母(或相同的多项式因式)作为公因式中的字母(或多项式因式)，并取它们的最低次幂。
C：提公因式法：把一个多项式中的各项的公因式提出来并进行因式分解的方法，它实际上是乘法分配律的逆推。
(2)公式法：
A：运用乘法公式进行因式分解的方法。
B：常用的公式 ：平方差公式和完全平方公式
三、检验方法：
检验因式分解是否正确，只需把结果做乘法运算并与原式对照即可。
注意事项：
(1) 因式分解的运算过程与多项式的乘法运算过程刚好相反，不能混淆，更不能来回运算。
(2) 第一项系数为负数时，提公因式时应将负号一起提出，使括号里的第一项系数为正值。
(3)分解的结果如果出现相同的因式必须写成幂的形式。
(4)分解因式时应注意以下变形：
防止以下错误：
(1)分解不彻底，分解因式必须分解到每一个多项式不能再继续分解为止。
(2)提取公因式时，如果某一项全部提出，相应的位置应补上1，而不是0。
四、典型例题：
1、把下列各式分解因式
① ②
③ ④
⑤(计算) ⑥(计算)
2、试证明：可以表示为一个整式的平方的形式，并就x的自然数的情形，说明所证明的结论揭示了一条怎样的规律。
3、当整数K为值时，多项式恰好是另一个多项式的平方。
4、能被60---70之间的两个整数所整除，求这两个数。
5、已知的值。
6、如果n为自然数。求证：能被10整除。
7、已知有一个因式x+4，试把它分解出来。
8、求证：不论x、y为任何实数，的值总是一个正值 。
9、丁丁和冬冬分别用橡皮泥做一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高，丁丁和冬冬想知道哪个体积大，但身边又没有尺子，只找了一根短绳，他们量得长方体底面和长正好是3个绳长，宽是2个绳长，圆柱体的底面周长是10个绳长，你知道哪一个体积较大吗？大多少？
如果给你一架天平，你有办法知道哪一个体积较大吗？
A
A
A
A
d
C
b
a
a
4