河北省沧州市盐山县2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

盐山县2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章，选择性必修第一册第一章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，则外接圆的半径为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．已知向量，满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．将图1中的等腰直角沿斜边的中线折起得到四面体，如图2，则在四面体中，与的位置关系是（ ）
图1 图2
A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
6．已知向量，，，若向量，，共面，则实数等于（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
7．已知的三边长分别为，，，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若复数为纯虚数，则（ ）
A．为实数 B．为实数 C．为实数 D．为实数
10．已知四边形是平行四边形，，，，则
A．点的坐标是 B．
C． D．四边形的面积是
11．在中，角，，的对边分别为，，，向量，向量，若，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点（不包括端点），则（ ）
A． B．平面
C．二面角的大小为定值 D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面的法向量，为上一点，则点到的距离为________．
14．某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为________．
15．如图，小明同学在山顶处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在处测得公路上，两点的俯角分别为，，且．若山高，汽车从点到点历时，则这辆汽车的速度为________．
16．在中，满足，过的直线与，分别交于，两点．若，，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知向量，．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求的值．
18．（本小题满分12分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求，．
19．（本小题满分12分）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点．
（1）用，，表示，并求出；
（2）求．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）如图，在平面四边形中，，，设．
（1）若，，求的长度；
（2）若，求．
22．（本小题满分12分）如图，平面平面，四边形和四边形均为正方形，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求多面体的体积．
盐山县2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
参考答案、提示及评分细则
1．D ，即在复平面内对应的点的坐标为．故选D．
2．B 设为外接圆的半径，故，解得．故选B．
3．D 因为．故选D．
4．C 由异面直线的定义可知，与异面，由，，可知平面，故．故选C．
5．C A．若，，，则显然，A正确；B．若，，则，又，则平面内存在直线，所以，所以，B正确；C．若，，，则，可能相交，可能平行，C错误；D．若，，，则易得，D正确．故选C．
6．A 因为，，三向量共面，所以存在，，使得，又，所以
解得故选A．
7．B 设的最小内角为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，解得，．故选B．
8．C 如图，取的中点，的中点，连接，是等边三角形，则．
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．过作平面，则．
因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，连接，，设外接球半径为，由已知，，，．在直角梯形中，，，，所以三棱锥外接球的表面积．故选C．
9．ACD 因为为纯虚数，设，，则，A正确；，B错误；为实数，C正确；为实数，D正确．故选ACD．
10．BD 不妨设点坐标为，因为四边形是平行四边形，所以，即，所以，，，所以点坐标为，故A错误；，故B正确；，，所以，故C错误；因为，所以四边形的面积，故D正确．故选BD．
11．ABD ，，，，A正确；由题意及正弦定理得，即，又，，又，，C错误，D正确，又，则，B正确．故选ABD．
12．CD 对于A，平面，平面，，假如，又，
平面，又平面，，而四边形为正方形，与矛盾，故不正确，故A不正确；
对于B，设，连接，若平面，又平面平面，则，在中，因为为的中点，则必为的中点，这与为线段上的动点矛盾，故B不正确；
对于C，为线段上的动点，二面角的大小即为二面角的大小，故二面角的大小为定值，故C正确；
对于D，如图，将侧面和展开在一个平面内，连接，当处在与的交点处时，取得最小值，此时，在中，由余弦定理，得，故的最小值为，故D正确．故选CD．
13． 由题意知，所以点到的距离．
14． 因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方形的边长，该圆柱底面圆半径为，故该圆柱一个底面的面积．
15． 由题意可知，，，由余弦定理可得，这辆汽车的速度为．
16． 设，，因为，所以为的重心，所以．因为，，所以，，又，，三点共线，所以存在实数，使得，所以
所以，，，
所以，当且仅当，即，时等号成立．所以的最小值为．
17．解：（1）由，，
1分
，，
设向量与的夹角为，则 5分
（2）若向量与互相垂直，
则， 8分
所以． 10分
18．解：（1）在中，由正弦定理及得
，
又，代入上式，
得， 3分
，，
，
，． 6分
（2）由（1）知，又，
由余弦定理得，即，① 8分
又的面积为，
有，即，
，②
解由①②组成的方程组得， 12分
19．解：（1）因为点是线段的中点，
所以． 2分
因为， 3分
所以
，
所以． 6分
（2）． 12分
20．（1）证明：因为，点是的中点，所以， 1分
又平面平面，平面平面，平面，所以平面 4分
又平面，所以平面平面． 6分
（2）解：取的中点，连结，则四边形为正方形，所以，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， 8分
设平面的法向量，则有
即
令，则，，所以平面的一个法向量， 10分
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为 12分
21．解：（1）由，，，，
可知， 2分
在中，，，，
由余弦定理可知，，
则． 6分
（2），． 7分
由题意易知，，．
在中，由正弦定理可知，， 9分
，即有，
，
． 12分
22．（1）证明：，
，，，四点共面 1分
四边形为正方形，
．
又平面，平面，
平面 3分
同理可证平面 4分
又，，平面，
平面平面． 5分
（2）解：连接，则多面体可看成是由三棱柱和四棱锥组合而成． 6分
四边形为正方形，．
又平面平面，平面平面，平面，
平面 7分
又平面，
8分
又易证平面，
三棱柱的体积， 9分
四棱锥的体积
．
多面体的体积． 12分