山东省济宁市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

济宁市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．在两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的样本相关系数如表所示，其中线性相关性最强的模型是（ ）
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
相关系数 0.48 0.15 0.96 0.30
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
2．从3幅不同的画中选出2幅，送给甲、乙两人，则共有（ ）种不同的送法．
A．6 B．5 C．3 D．2
3．小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．若的展开式中的常数项为，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．甲、乙两选手进行乒乓球比赛的初赛，已知每局比赛甲获胜的概率是0.4，乙获胜的概率是0.6，若初赛采取三局两胜制，则乙最终获胜的概率是（ ）
A．0.144 B．0.352 C．0.432 D．0.648
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题中，假命题的是（ ）
A．若回归方程，则变量与正相关
B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．若样本数据，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8
11．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数．以下说法正确的是（ ）
A．若在处取得极值，则函数在上单调递增
B．若恒成立，则
C．若仅有两个零点，则
D．若仅有1个零点，则
三、填空题（每题5分，共20分）
13．曲线在处的切线的方程为__________．
14．如图，用6种不同颜色对图中，，，四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有__________种．
15．随机变量服从正态分布，若，则__________．
16．已知，两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从，两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则的最大值为__________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
18．在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即．求：
（1）试求考试成绩位于区间的概率．
（2）若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在的人数（四舍五入）．
（3）若从参加考试的学生中（参与考试的人数超过2000人）随机抽取3名学生进行座谈，设选出的3人中考试成绩在80分以上的学生人数为，求随机变量的分布列与均值．
附：若，，，
19．某种鱼苗育种基地，饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗的尾数，统计结果如下表：
第天 2 4 6 8 10
鱼苗尾数 72 140 212 284 340
（1）若与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）根据（1）中所求的线性回归方程，估计第20天时育种池内鱼苗的尾数（四舍五入精确到整数）．
附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
参考数据：，，．
20．某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器．
（1）对于方案一，设为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求的分布列与数学期望；
（2）在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？
21．2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮．为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生 80 40
女生 30 50
合计
（1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联？
（2）①从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件“至少有2名是男生”，事件“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件“至多有1名喜欢雪上运动的女生”．试计算和的值，并比较它们的大小．
②①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．
参考公式及数据，．
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
22．已知函数．
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若，的最小值是，求实数的取值范围．
高二数学期中考试参考答案：
1．
【分析】利用相关系数绝对值的大小与相关程度的关系判定即可．
【详解】样本相关系数的绝对值越接近1，说明与的线性相关性越强．故选：C．
2．A
【分析】直接利用排列计数原理可得结果．
【详解】从3幅不同的画中选出2幅，送给甲、乙两人，不同的选法种数为种．故选：A．
3．A
【分析】利用条件概率公式即可求得电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率．
【详解】电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为，故选：A．
4．D
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项．
【详解】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，
可得展开式的常数项为：，解得：．故选：D．
5．C
【分析】对求导，转化为导函数在区间上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，求出最值即可．
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，当时，，所以，所以的取值范围是．故选：C．
6．B
【分析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答．
【详解】由得，或，选项A，C不满足，即可排除A，C
由求导得，
当或时，，
当时，，
于是得在和上都单调递增，在上单调递减，
所以在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足．故选：B．
7．D
【分析】分两局结束比赛和三局结束比赛，分别算出乙获胜的概率，相加即为答案．
【详解】两局结束比赛，乙获胜的概率为；
三局结束比赛，则前两局乙胜一局，甲胜一局，第三局乙获胜，
故乙获胜的概率为，故乙最终获胜的概率为，故选：D．
8．B
【分析】构造函数证明可得，从而得，大小关系；
再构造函数证明，可得再证明即可得，的大小关系．
【详解】令，则，
当时，，当时，，
∴在上为减函数，在上为增函数，
∴，∴，∴，∴，
令，，则，显然在为减函数，
又，，∴，，
∴当时，当时，
∴当时为增函数，当时为减函数，
∴，，又，∴，
∴，，∴，
下面证明：，即证明：，即证：，显然成立，
，∴，∴，故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时可以用切线不等式，如在本题中构造的函数就是利用函数与其在处的切线大小关系构造的．也可以用割线不等式，如在本题中构造的函数，就是利用函数与割线大小关系构造的，割线是过，两点的直线．
9．ACD
【分析】令可求得可判断A；写出该二项展开式的通项可得可判断B；令，求得，进而求得可判断C；由二项展开式的通项分析可知，当为偶数时，，当为奇数时，，然后令可得出所求式子的值，可判断D．
【详解】因为，令，得，故A正确；
展开式的通项为，则，故B错误；
令，得，故C正确；
展开式的通项为，则，其中且，
当为偶数时，；当为奇数时，，
令，可得，故D正确．故选：ACD．
10．ABC
【分析】由线性回归方程的性质可判断、；通过正态分布计算，判断C；
结合新样本数据的方差公式可判断D．
【详解】解：对于A，，，则变量与负相关，故A项错误；
对于B，在线性回归分析中相关指数越大，则模型的拟合效果越好，故B项错误．
对于C，因为服从正态分布，，则，故C项错误；
对于D，若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，故D项正确．
11．BD
【分析】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，可判断B选项；
的取值为0，1，2，3，4，计算，，1，2，3，4的概率和期望值，
又，可计算，可判断AC选项；
的取值为4，5，6，7，8，且，计算可判断D选项．
【详解】解：由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；
的取值为0，1，2，3，4，，
，，，可知A错；
的取值为0，1，2，3，4，且，，，，，
则，，所以，故C错；
的取值为4，5，6，7，8，且，，，，，
所以，故D正确；故选：BD．
12．AB
【分析】求出函数的导数，求出值，再探讨单调性判断A；变形给定不等式，利用同构思想等价转化，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值判断B；利用选项B中构造的函数，探讨函数的值域，进而求出值或范围判断CD作答．
【详解】函数的定义域为，
对于A，，因为在处取得极值，
则，解得，，
因为函数，在上都单调递增，则在上单调递增，
当时，，当时，，因此是函数的极小值点，且在上单调递增，A正确；
对于B，，成立，令，显然函数，在上都是增函数，于是在上单调递增，即有，成立，
因此，成立，
令，，求导得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则当时，，从而，解得，
所以当恒成立时，，B正确；
对于C，函数仅有两个零点，等价于方程有两个不等根，
由选项B知，方程有两个不等根，
由选项B知，函数，的图象与直线有两个公共点，
而函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，函数的取值集合是，函数的取值集合是，
因此函数在的取值集合是，
当时，令，，
即函数在上单调递减，，
即当时，，因此，
而函数在上单调递减，其取值集合是，无最小值，
因此函数在上的取值集合是，
从而函数在的值域是，在上的值域是，
于是要有两个不等根，当且仅当，解得，C错误；
对于D，函数仅有1个零点，由选项C知，当且仅当，解得，D错误．
故选：AB．
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
13．
【分析】求导得切线的斜率，由点斜式即可求解直线方程．
【详解】，∴，因此切线的斜率为；
又，∴在处的切线方程为，即．
故答案为：．
14．480
【分析】按照分步计数原理，首先染区域，再染区域，区域，最后染区域，计算可得；
【详解】解：依题意，首先染区域有6种选择，再染区域有5种选择，
第三步染区域有4种选择，第四步染区域也有4种选择，
根据分步乘法计数原理可知一共有种方法．故答案为：480．
【点睛】本题考查染色问题，分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
15．0.12
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答．
【详解】因为随机变量服从正态分布，，
所以．故答案为：0.12．
16．
【分析】由可能的取值，计算相应的概率，得到期望和方差，根据方差的算式，利用基本不等式求最大值．
【详解】的可能取值为0，1，2，
，
，
，所以的分布列为
0 1 2
，
，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．故答案为：．
17．（1）．
（2）极小值，极大值3．
【分析】（1）求导，根据条件求出；
（2）根据导函数的符号确定单调性，再根据单调性确定极值．
【详解】（1）易得，
又函数在点处的切线与直线垂直，∴，得；
（2）由（1）得，，
令有或，可得
0 2
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴在处取得极大值，在处取得极小值；
综上，极大值，极小值．
18．（1）0.9545
（2）682
（3）分布列见解析，期望为
【分析】（1）利用题设中给出的参考数据可得所求的概率．
（2）可求，从而可求相应区间上的人数．
（3）利用二项分布可求分布列，利用公式可求期望．
【详解】（1）因为，故均值为80，标准差为，
故．
（2），
故考试成绩在的人数约为．
（3）因为，结合题设条件可得，
故，，
，，
故随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
故．
19．（1）
（2）686
【分析】（1）计算出、和代入即可．
（2）把20代入已求出的方程可得答案．
【详解】（1）∵，
∴．
∴．
则关于的线性回归方程为．
（2）当时，，
∴估计第20天时育种池内有鱼苗686尾．
20．（1）分布列答案见解析，
（2）方案二，理由见解析
【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）计算出两种方案下故障机器得到维修的概率，比较大小后可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，，
则，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
所以，．
（2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有人负责的2台机器同时发生故障”，考查反面处理这个问题．
其概率为．
对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为，
所以，，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
21．（1）填表见解析；认为是否喜欢雪上运动与性别有关联
（2）①，，；
②可以，答案见解析
【分析】（1）由所给列联表，求得，
再依据小概率值的独立性检验即可得解；
（2）①要求，首先确定事件表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件，利用组合数进行求解概率即可，再通过条件概率求得的值，进而可得；
②根据条件概率的计算公式即可证明一般情形也成立．
【详解】（1）
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生 80 40 120
女生 30 50 80
合计 110 90 200
假设：是否喜欢雪上运动与性别无关联．
根据表中数据，计算得到，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．
即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联．
（2）①由已知事件表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件
因为，
所以．
（2）由（ⅰ）得与相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件，，，有．
证明过程如下：，得证．
22．（1）时，恰有一个极值点；时，恰有三个极值点；
（2）．
【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答．
（2）利用（1）中信息，按与探讨利用导数函数的最小值作答．
【详解】（1）函数的定义域是，求导得，
令，，求导得，，，递减，
，，递增，，
①当时，，，，递减，
，，递增，有1个极小值点；
②当时，，
令，，则，函数在上递增，，即，当时，，此时，使得，
令，，有，
令，，，
即有在上递增，，
函数在上递增，，则，
当时，，此时，使得，
因此，，递减，，，递增，
，，递减，，，递增，有3个极值点，
所以当时，恰有一个极值点；当时，恰有三个极值点．
（2）由（1）知，（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，
，即，
令，，，函数在上单调递增，
，则；
②当时，，使得，，
使得，，，递减，，，，递增，
，，递减，，，递增，
其中，则，
显然符合要求，即有，
综上提，
所以的所有可能值是上的实数．
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题．