辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 562.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-22 12:15:43 | ||
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文档简介
辽西联合校2022-2023学年高三下学期期中考试
（数学试题）
一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线与直线平行，则“m＝2”是“平行于”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在着陆场预定区域成功着陆，三名航天员安全出舱神舟十三号返回舱外形呈钟形钝头体，若将其近似地看作圆台，其高为2.5m，下底面圆的直径为2.8m，上底面圆的直径为1m，则可估算其体积约为（ ）（）
A．3.6m3 B．7.6m3 C．22.8m3 D．34.4m3
6．已知，，，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
7．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去某地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列关于叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在内单调递增
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
二、多选题（共4小题，每小题5分，满分20分）
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．z的虚部为－1
C．z在复平面内对应的点在第一象限 D．z的共轭复数为
10．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了n名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计，其成绩都在区间内．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间内的人数为40，则下列结论正确的是（ ）
A． B．图中
C．估计该市全体学生成绩的平均分为84分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
D．若对80分以上的学生授予“优秀学生”称号，则该市约有14000人获得该称号
11．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是 B．各项的系数和是64
C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为－32
12．正方体的棱长为1，P为线段上的点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．三棱锥B－APD的体积为定值 D．BP与所成角的最小值为45°
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则______．
14．曲线在点处的切线方程为______．
15．若直线被圆；截得的弦长为2，则实数a的值为______．
16．随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为______．
四、解答题（共6小题，满分70分，答题时必须写文字说明、证明过程或者演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
（1）求C；（2）若，求．
19．（本小题满分12分）
为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12
女生 5
合计 30
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABC，，的面积分别为2，．
（1）求A到平面PBC的距离；
（2）设D为PC的中点，平面PBC⊥平面PAB，求二面角A－BD－C的正弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A作两直线与抛物线相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②试问直线PQ是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数有两个零点，求实数a的取值范围．
辽西联合校2022-2023学年高三下学期期中考试
（数学答案）
1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．C
9．BD10．BCD11．AC12．BC
13．－3 14． 15．－1 16．
17．（本小题满分10分）
【详解】（1）由已知得，即，
，又因为，所以，
解得d＝3或d＝0（舍去），所以．
（2）由（1）得，因为，
所以是以为首项，以27为公比的等比数列，
所以
18．（本小题满分12分）
【详解】（1）解：因为，
即，由正弦定理可得，
又，
即，
所以，
即，因为，所以，
又，所以．
（2）解：因为，所以，
因为，所以，
所以．
19．（本小题满分12分）
【详解】（1）列联表如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12 4 16
女生 9 5 14
合计 21 9 30
，
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则，
，
，
，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
20．（本小题满分12分）
【详解】（1）解：在三棱锥P－ABC中，设点A到平面PBC的距离为h，
因为在三棱锥P－ABC中，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABC，，的面积分别为2，．
所以，，
即，解得，所以点A到平面PBC的距离为．
（2）解：取PB的中点E，连接AE，如图，
因为PA＝AB，所以AE⊥PB，
又平面PBC⊥平面PAB，平面平面PAB＝PB，平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，
又因为平面PBC，所以AE⊥BC；
又因为PA⊥平面ABC，且平面ABC，所以，PA⊥BC．
又AE，平面PAB且，
所以BC⊥平面PAB，
又平面PAB，所以BC⊥AB．
所以，以B为原点直线BC，BA为x，y轴，过B且平行于PA做z轴，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以AP＝AB＝2，，
又面积为，所以BC＝2，
所以，A（0，2，0），P（0，2，2），B（0，0，0），C（2，0，0），所以PC的中点D（1，1，1），
所以，，
设平面ABD的一个法向量，则，
可取，
设平面BDC的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角A－BD－C的正弦值为．
21．（本小题满分12分）
【详解】（1）由题可得，
解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）①设过与抛物线相切的直线方程为，
消去y得：，
，即．
直线AP，AQ的斜率分别为，，则，是方程的两根
，，
消去m得：．
②设直线PQ：，，，
，消去x得：
所以，．
因为，所以，
所以．
整理得：．
．
即，所以．
所以或，
当时，，PQ恒过定点与A重合，
舍去当时，，PQ恒过定点．
综上所述，直线PQ恒过定点．
22．（本小题满分12分）
【详解】（1）解：函数的定义域为R，．
当a＞0时，由可得x＜－1，由可得x＞－1，
此时函数的减区间为，增区间为；
当a＜0时，由可得x＞－1，由可得x＜－1，
此时，函数的增区间为，减区间为
综上所述，当a＞0时，函数的减区间为，增区间为；
当a＜0时，函数的增区间为，减区间为．
（2）解：函数的定义域为，
因为函数在上有两个零点，
即有两个不同的正实数根，
即有两个不同的正实数解，
即有两个不同的正实数解，
令，则，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的值域为R，所以，，
令，其中，则，
当t＜1时，，此时函数单调递增，
当t＞1时，，此时函数单调递减，
且当t＜0时，；当t＞0时，，
因为函数有两个不同的零点，则直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数a的取值范围是．
（数学试题）
一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线与直线平行，则“m＝2”是“平行于”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在着陆场预定区域成功着陆，三名航天员安全出舱神舟十三号返回舱外形呈钟形钝头体，若将其近似地看作圆台，其高为2.5m，下底面圆的直径为2.8m，上底面圆的直径为1m，则可估算其体积约为（ ）（）
A．3.6m3 B．7.6m3 C．22.8m3 D．34.4m3
6．已知，，，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
7．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去某地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列关于叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在内单调递增
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
二、多选题（共4小题，每小题5分，满分20分）
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．z的虚部为－1
C．z在复平面内对应的点在第一象限 D．z的共轭复数为
10．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了n名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计，其成绩都在区间内．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间内的人数为40，则下列结论正确的是（ ）
A． B．图中
C．估计该市全体学生成绩的平均分为84分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
D．若对80分以上的学生授予“优秀学生”称号，则该市约有14000人获得该称号
11．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是 B．各项的系数和是64
C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为－32
12．正方体的棱长为1，P为线段上的点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．三棱锥B－APD的体积为定值 D．BP与所成角的最小值为45°
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则______．
14．曲线在点处的切线方程为______．
15．若直线被圆；截得的弦长为2，则实数a的值为______．
16．随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为______．
四、解答题（共6小题，满分70分，答题时必须写文字说明、证明过程或者演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
（1）求C；（2）若，求．
19．（本小题满分12分）
为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12
女生 5
合计 30
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABC，，的面积分别为2，．
（1）求A到平面PBC的距离；
（2）设D为PC的中点，平面PBC⊥平面PAB，求二面角A－BD－C的正弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A作两直线与抛物线相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②试问直线PQ是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数有两个零点，求实数a的取值范围．
辽西联合校2022-2023学年高三下学期期中考试
（数学答案）
1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．C
9．BD10．BCD11．AC12．BC
13．－3 14． 15．－1 16．
17．（本小题满分10分）
【详解】（1）由已知得，即，
，又因为，所以，
解得d＝3或d＝0（舍去），所以．
（2）由（1）得，因为，
所以是以为首项，以27为公比的等比数列，
所以
18．（本小题满分12分）
【详解】（1）解：因为，
即，由正弦定理可得，
又，
即，
所以，
即，因为，所以，
又，所以．
（2）解：因为，所以，
因为，所以，
所以．
19．（本小题满分12分）
【详解】（1）列联表如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12 4 16
女生 9 5 14
合计 21 9 30
，
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则，
，
，
，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
20．（本小题满分12分）
【详解】（1）解：在三棱锥P－ABC中，设点A到平面PBC的距离为h，
因为在三棱锥P－ABC中，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABC，，的面积分别为2，．
所以，，
即，解得，所以点A到平面PBC的距离为．
（2）解：取PB的中点E，连接AE，如图，
因为PA＝AB，所以AE⊥PB，
又平面PBC⊥平面PAB，平面平面PAB＝PB，平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，
又因为平面PBC，所以AE⊥BC；
又因为PA⊥平面ABC，且平面ABC，所以，PA⊥BC．
又AE，平面PAB且，
所以BC⊥平面PAB，
又平面PAB，所以BC⊥AB．
所以，以B为原点直线BC，BA为x，y轴，过B且平行于PA做z轴，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以AP＝AB＝2，，
又面积为，所以BC＝2，
所以，A（0，2，0），P（0，2，2），B（0，0，0），C（2，0，0），所以PC的中点D（1，1，1），
所以，，
设平面ABD的一个法向量，则，
可取，
设平面BDC的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角A－BD－C的正弦值为．
21．（本小题满分12分）
【详解】（1）由题可得，
解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）①设过与抛物线相切的直线方程为，
消去y得：，
，即．
直线AP，AQ的斜率分别为，，则，是方程的两根
，，
消去m得：．
②设直线PQ：，，，
，消去x得：
所以，．
因为，所以，
所以．
整理得：．
．
即，所以．
所以或，
当时，，PQ恒过定点与A重合，
舍去当时，，PQ恒过定点．
综上所述，直线PQ恒过定点．
22．（本小题满分12分）
【详解】（1）解：函数的定义域为R，．
当a＞0时，由可得x＜－1，由可得x＞－1，
此时函数的减区间为，增区间为；
当a＜0时，由可得x＞－1，由可得x＜－1，
此时，函数的增区间为，减区间为
综上所述，当a＞0时，函数的减区间为，增区间为；
当a＜0时，函数的增区间为，减区间为．
（2）解：函数的定义域为，
因为函数在上有两个零点，
即有两个不同的正实数根，
即有两个不同的正实数解，
即有两个不同的正实数解，
令，则，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的值域为R，所以，，
令，其中，则，
当t＜1时，，此时函数单调递增，
当t＞1时，，此时函数单调递减，
且当t＜0时，；当t＞0时，，
因为函数有两个不同的零点，则直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数a的取值范围是．
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