【课堂新坐标】2013-2014学年高中物理选修3-4（人教）教师备课：第十一章 机械运动
文档属性
| 名称 | 【课堂新坐标】2013-2014学年高中物理选修3-4（人教）教师备课：第十一章 机械运动 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2014-08-06 18:34:01 | ||
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文档简介
1简谐运动
(教师用书独具)
●课标要求
1 .知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和位移．
2 .知道弹簧振子的位移——时间图象，理解简谐运动及其图象．
3 .通过简谐运动图象的绘制，认识简谐运动的特点．
4 .通过对简谐运动图象的绘制，培养认真，严谨，实事求是的科学态度．
5 .从图象中了解简谐运动的规律，培养分析问题的能力及审美能力(客观存在的简洁美、对称美等)
●课标解读
1 .了解弹簧振子的结构，知道什么是弹簧振子．
2 .理解振动的平衡位置，知道振子位移的概念．
3 .理解简谐运动的含义，能从简谐运动的图象中了解简谐运动的规律．
●教学地位
1 .简谐运动是最简单、最基本、最有规 ( http: / / www.21cnjy.com )律的机械振动，通过学习，使学生了解到机械振动的基本特点，又体会到振动这种运动形式较直线运动、曲线运动都要复杂．
2 .本节是机械振动的基础，也是以后学好机械波的基础．
(教师用书独具)
●新课导入建议
在自然界中有一种常见的运动，如微风中树枝的 ( http: / / www.21cnjy.com )颤动，心脏的跳动，钟摆的摆动，水中浮标的上、下浮动，担物行走时扁担的颤动，声带的振动，地震时大地的剧烈振动……，这些运动有什么特点和规律呢？这就是这节课我们要探讨的问题．
●教学流程设计
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课 标 解 读 重 点 难 点
1.知道机械振动是物体机械运动的另一种形式，知道机械振动的概念.
2.知道什么是弹簧振子，明确弹簧振子是理想化的物理模型.
3.理解物体做简谐运动的条件，掌握简谐运动的共同特征.
4.明确简谐运动图象的物理意义及表示方法. 1.知道弹簧振子模型的建立过程．(重点)
2.理解简谐运动的位移－时间图象．(重点)
3.掌握简谐运动中位移、速度、加速度的变化规律．(难点)
4.绘制振动图象，理解简谐运动的振动特征．(难点)
弹簧振子
1 .基本知识
(1)平衡位置：振子原来静止时的位置．
(2)机械振动
振子在平衡位置附近所做的往复运动，简称振动．
(3)振子模型
图11－1－1
如图11－1－1所示，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．
(4)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和往复性．
(5)弹簧振子的位移—时间图象
建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．
2 .思考判断
(1)弹簧振子是一种理想化的模型．(√)
(2)弹簧振子的平衡位置都在原长处．(×)
(3)振动的物体可以做直线运动，也可以做曲线运动．(√)
3 .探究交流
有同学说，既然弹簧振子的振动图象是一条正弦曲线，那么振子的运动轨迹也应是正弦曲线，结合水平方向的弹簧振子想一下，这种说法对吗？为什么？
【提示】 不对，因为振动图象不是运动轨迹．例如，水平方向的弹簧振子振动时，振子的运动轨迹是一条直线．
简谐运动及其图象
1 .基本知识
(1)定义
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动．
(2)特点
简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动．弹簧振子的运动就是简谐运动．
(3)简谐运动的图象
①简谐运动的图象是振动物体的位移随时间的变化规律．
②简谐运动的图象是正弦(或余弦)曲线，从图象上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度大小和方向的变化趋势．
2 .思考判断
(1)医院里的心电图记录了心脏的振动情况．(√)
(2)振子的位移相同时，速度也相同．(×)
(3)简谐运动的图象都是正弦或余弦曲线．(√)
3 .探究交流
振子的位移与运动学中的位移意义相同吗？
【提示】 简谐运动中的位移和前面运动学中的 ( http: / / www.21cnjy.com )位移有不同之处，运动学中物体的位移参考点为出发点，简谐运动中质点的位移参考点为平衡位置．可巧记为“平衡位置就是家，位移总是相对它”．
对弹簧振子和简谐运动的理解
【问题导思】
1 .用手协调地拍皮球，使球上、下往复跳动的时间相等，皮球的往复运动是简谐运动吗？
2 .弹簧振子的运动是简谐运动吗？
3 .做简谐运动的物体，位移相同，加速度是不是一定相同？
1 .对弹簧振子的理解
(1)弹簧振子是一种理想模 ( http: / / www.21cnjy.com )型，如果小球所受的阻力可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可忽略，振动范围不超过弹性限度，则该装置可视为弹簧振子．
(2)弹簧振子不一定在水平面内运动．
弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧 ( http: / / www.21cnjy.com )振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子)，但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大．
2 .简谐运动的特点
(1)振动的位移
①振子在某一时刻的位移
研究振动时所说的位移，都是指振子相 ( http: / / www.21cnjy.com )对于平衡位置的位移，即振子在某时刻的位移是由平衡位置指向振子所在位置的有向线段．位移是矢量，若规定平衡位置右侧的位移为正，则振子在平衡位置左侧时位移就为负，与振子运动的速度方向无关．
②振子在某段时间内的位移
这种说法与运动学里位移的意义相同，是指由初位置指向末位置的有向线段．
(2)简谐运动的速度
①物理含义：速度是描述振子在平衡位 ( http: / / www.21cnjy.com )置附近振动快慢的物理量．在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．
②特点：如图11－1－2所示为一简谐运动的模型，振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零．
图11－1－2
(3)简谐运动的加速度
水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡位置时，弹簧的弹力为零，故加速度为零；在最大位移处，弹簧的弹力最大，故加速度最大．不管弹簧是拉伸或压缩，弹力对振子的作用力方向总是指向平衡位置，即加速度的方向总是指向平衡位置；大小随位移的增大而增大，随位移的减小而减小．
(4)简谐运动的对称性
如图11－1－3所示，物体在A、B间做简谐运动，O点为平衡位置，C、D两点关于O点对称，则有：
图11－1－3
①时间对称
tOB＝tBO＝tOA＝tAO＝，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA.
②速度对称
物体连续两次经过同一点(如 ( http: / / www.21cnjy.com )D点)的速度大小相等，方向相反．物体经过关于O点对称的两点(如C点和D点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
③加速度对称
物体经过关于O点对称的两点(如C点和D点)时，加速度总是大小相等，方向相反，与物体运动的方向无关．
1 .简谐运动中的位移如果不特别说明是在某段时间内的位移，均指某一时刻的位移．
2 .位移、速度、加速度都是矢量，当振子通过某一位置时，位移和加速度方向是一定的，速度方向有两种可能．
(2013·海口检测)一弹簧振子做简谐运动，以下说法正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
C．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
D．振子在平衡位置两侧对称的位置上，其速度、位移都反向
【审题指导】 结合最简单的水平弹簧振子的振动示意图，按照下列顺序判断：
位移x?弹簧弹力?加速度(a＝)?速度变化趋势．特别注意位移、速度、加速度都是矢量．
【解析】 加速度的方向与 ( http: / / www.21cnjy.com )位移方向相反，位移方向为负时，加速度方向一定为正，但速度方向为物体运动方向，与位移方向无关，可正可负，A错．振子每次经过平衡位置时，加速度为零且速度大小相等，但方向不一定相同，B错．每次通过同一位置时，位移相同，故加速度相同，速度大小相同，但方向不一定相同，C对．同理在平衡位置两侧对称的位置上，位移方向相反，速度方向可能相同，也可能相反，D错，故选C.
【答案】 C
1 .在机械振动中，位移是相对平衡位置而言的，规定平衡位置为位移的起始点．
2 .要注意结合运动学的知识分析简谐运动，矢量相同不仅仅是大小相等，方向也应该相同．
1 .在图11－1－4中，当振子由A向O运动时，下列说法中正确的是( )
图11－1－4
A．振子的位移在减小 B．振子的运动方向向左
C．振子的位移方向向左 D．振子的位移在增大
【解析】 对简谐运动而言，其位移总是相 ( http: / / www.21cnjy.com )对平衡位置O而言，所以C、D错误；由于振子在O点右侧由A向O运动，所以振子的位移方向向右，位移大小不断减小．故A、B选项正确．
【答案】 AB
简谐运动的图象
【问题导思】
1 .振动图象都是正弦或余弦曲线吗？
2 .能否根据振动图象的斜率判断速度的变化？
3 .如何根据振动图象分析位移、速度、加速度的变化？
1. 振动图象是振子的位移随时间的变化规律，根据振动图象：
(1)可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小．
(2)从振动图象上可直接读出正(负)位移的最大值．
(3)可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小和变化趋势．
2. 应用振动图象时，首先要注意理解好图象与振动物体的实际振动过程的对应关系：
(1)简谐运动的图象不是振动质点的轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )．做简谐运动的质点的轨迹是质点(如弹簧振子)往复运动的那一段线段．这种往复运动的位移图象，就是以x轴上纵坐标的数值表示质点相对平衡位置的位移，以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x－t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象．
(2)对同一振动物体，图象的形状与 ( http: / / www.21cnjy.com )起始时刻的选取和正方向的规定有关．利用图象解题，首先要深刻理解图象的意义并能做到见图象而知实际振动过程，同时也能由实际振动过程回归图象．
1 .图象法是物理学上研究和描述物体的运动时常用的方法，它能够形象直接地反应物理规律，帮助我们研究物理现象，解决实际问题．
2 .用图象研究振动时，应注意确定振动的周期、振幅、相位等．
将某弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，弹簧振子的振动图象如图11－1－5所示，则在t＝0.15 s时( )
图11－1－5
A．振子正在做加速度减小的加速运动
B．振子正在做加速度增大的减速运动
C．振子速度方向沿x轴正方向
D．振子的位移一定大于2 cm
【审题指导】 (1)振动图象中位移越大加速度越大，但速度越小．
(2)在平衡位置时加速度为零，速度最大．在偏离平衡位置时，振子运动的方向与位移方向相同．
【解析】 振子在t＝0.15 s时，正在 ( http: / / www.21cnjy.com )向负的最大位移处运动，加速度正在增大，速度正在减小，速度方向沿x轴负方向，选项A、C错误，B正确；因为振子在0.1～0.2 s内做减速运动，所以振子在0.1～0.15 s内运动的速度大于在0.15～0.2 s内运动的速度，故在t＝0.15 s时振子的位移一定大于2 cm，选项D正确．
【答案】 BD
利用振动图象解题方法
1 .图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段对应振动的一个过程．
2 .判断好平衡位置，最大位移和振动方向是解题的关键．
2 .如图11－1－6甲所示，在弹 ( http: / / www.21cnjy.com )簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线．若振动曲线如图乙所示，由图象判断下列说法正确的是( )
甲
乙
图11－1－6
A．振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm
B．1 s末到5 s末振子的路程为10 cm
C．2 s和4 s末振子的位移相等，运动方向也相同
D．振子在2 s内完成一次往复性运动
【解析】 由图象可知振子偏离平衡位置的 ( http: / / www.21cnjy.com )最大距离为10 cm，4 s内完成一次往复性运动，A对，D错；1 s末到5 s末振子的路程是振子运动路径的总长40 cm，故B错误；2 s末和4 s末振子位移均为零，位移相同，2 s末振子向负方向运动，4 s末振子向正方向运动，运动方向相反，故C错误．
【答案】 A
【备选例题】(教师用书独具)
如图教11－1－1，是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移－时间图象，下列有关该图象的说法正确的是( )
图教11－1－1
A．该图象的坐标原点建立在振子的平衡位置
B．从图象可以看出振子在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图象中振子的疏密显示出相同时间内振子位置变化的快慢不同
【审题指导】 由图可直观地获得以下信息：
(1)O时刻振子的位置．
(2)振子的振动方向．
(3)底片的运动方向(t轴负方向)．
(4)振子速度的变化情况等．
【解析】 由图象可知，O时刻振 ( http: / / www.21cnjy.com )子位移为0，故位于平衡位置，选项A正确；振子只在x轴上振动，选项B错误，C正确；图象中两相邻振子之间的时间间隔相同，疏处说明其位置变化快，密处说明其位置变化慢，故选项D正确．
【答案】 ACD
综合解题方略——简谐运动图象
的获取方法
如图11－1－7所示为获取弹簧振子的位移－时间图象的一种方法，小球的运动轨迹是往复运动的一段线段，而简谐运动的图象是正弦(或余弦)曲线．下列说法正确的是( )
图11－1－7
A．如果纸带不动，作出的振动图象仍然是正弦函数曲线
B．如果纸带不动，作出的振动图象是一段线段
C．图示时刻，振子正经过平衡位置向右运动
D．若纸带运动的速度不恒定，则纸带上描出 的仍然是简谐运动的图象
【规范解答】 当纸带不动时，描出的只是 ( http: / / www.21cnjy.com )振子在平衡位置两侧往复运动的轨迹，即一段线路，选项A错误，B正确；由振动图象可以看出，图示时刻振子正由平衡位置向右运动，选项C正确；只有当纸带匀速运动时，运动时间才与纸带运动的位移成正比，振动图象才是正弦或余弦函数曲线，而简谐运动的图象一定是正弦或余弦函数曲线，故选项D错误．
【答案】 BC
1 .简谐运动的位移－时间图象反映的是质 ( http: / / www.21cnjy.com )点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律，简谐运动的图象并不是质点的运动轨迹，运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度．
2 .改变纸带运动的速度，可以改变简谐运动的图象，但并不能改变质点运动的轨迹．
3 .在x－t图象上，质点在某时刻的位移，即为此时刻对应的纵坐标．
4 .质点在某段时间内的路程(轨迹的长度)，需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算．
1. 下列运动中属于机械振动的是( )
A．树枝在风的作用下运动
B．竖直向上抛出的物体的运动
C．说话时声带的运动
D．爆炸声引起窗扇的运动
【解析】 物体在平衡位置附近 ( http: / / www.21cnjy.com )所做的往复运动属于机械振动，故A、C、D正确；竖直向上抛出的物体到最高点后返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于机械振动，故B错误．
【答案】 ACD
2. (2013·合肥高二检测)简谐运动属于下列哪种运动( )
A．匀变速运动 B．匀速直线运动
C．非匀变速运动 D．匀加速直线运动
【解析】 简谐运动的速度是变化的，B错；加速度也是变化的，A、D错，C对．
【答案】 C
3.
图11－1－8
如图11－1－8所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是( )
A．钢球运动的最高处为平衡位置
B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度为零处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
【解析】 钢球振动的平衡位置应在钢球重力与弹力相等的位置，即钢球静止时的位置，故D正确．
【答案】 D
4 .如图11－1－9所示是表示一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是( )
图11－1－9
A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D．该图象是从平衡位置计时画出的
【解析】 从图象可以看出，t＝0时刻， ( http: / / www.21cnjy.com )振子在正的最大位移处，因此是从正最大位移处开始计时画出的图象，D项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此是通过平衡位置向负方向运动，A项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，B项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻正通过平衡位置向正方向运动，C项正确．
【答案】 BC
1 .做简谐运动的质点在通过平衡位置时，下列物理量中，具有最大值的物理量是( )
A．动能 B．加速度 C．速度 D．位移
【解析】 平衡位置处，合外力为0，位移为0，速度为最大值，故动能也为最大值．
【答案】 AC
2 .如图所示，属于简谐运动的是( )
【解析】 根据简谐运动的定义可知，其位移图象为正弦或余弦曲线A、B、C正确，D错误．
【答案】 ABC
3 .做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内( )
A．振子的位移越来越大
B．振子正向平衡位置运动
C．振子速度与位移方向相同
D．振子速度与位移方向相反
【解析】 弹簧振子在某段时间内速度越来 ( http: / / www.21cnjy.com )越大，说明它正向平衡位置运动，故位移越来越小，A错，B对；位移方向是从平衡位置指向振子，故振子速度与位移方向相反，C错，D对．
【答案】 BD
4 .如图11－1－10所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子m离开O点，再从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是( )
图11－1－10
A．大小为OC，方向向左 B．大小为OC，方向向右
C．大小为AC，方向向左 D．大小为AC，方向向右
【解析】 振子离开平衡位置，以O点为起点，C点为终点，位移大小为OC，方向向右．
【答案】 B
5 .
图11－1－11
如图11－1－11所示，一弹性小球被水平抛出，在两个互相竖直平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( )
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
【解析】 机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也肯定不是简谐运动．
【答案】 D
6 .
图11－1－12
(2013·临川月考)如图11－1－12所示，弹簧振子做简谐运动，其位移x与时间t的关系如图所示，由图可知( )
A．在t＝1 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零
B．在t＝2 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零
C．在t＝3 s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大
D．在t＝4 s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大
【解析】 t＝1 s时，位移最大，加速度 ( http: / / www.21cnjy.com )最大，速度为零，选项A错误；t＝2 s时，位移为零，加速度为零，而速度最大．速度方向要看该点切线斜率的正、负，t＝2 s时，速度为负值，选项B正确；t＝3 s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项C错误；t＝4 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项D错误．
【答案】 B
7 .
图11－1－13
如图11－1－13所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
【解析】 由图象可知从P→Q物体远离平衡位置 ( http: / / www.21cnjy.com )向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，选项C、D错误．
【答案】 A
8 .
图11－1－14
(2013·山东临沂检测)某弹簧振子的振动图象如图11－1－14所示．根据图象判断，下列说法正确的是( )
A．第1 s内振子相对于平衡位置的位移与速度方向相反
B．第2 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cm
C．第2 s末和第3 s末振子相对于平衡位置的位移不相同，但瞬时速度方向相反
D．第1 s内和第2 s内振子相对于平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反
【解析】 第1 s内振子相对于平衡位 ( http: / / www.21cnjy.com )置的位移为正方向，速度方向也为正方向，A错；第2 s末振子在平衡位置，位移为零，B错；第3 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cm，第2 s末振子恰好过平衡位置，且正向－x轴方向运动，而第3 s末振子瞬时速度刚好为零，所以C错；第2 s内振子的位移方向与速度方向相反，所以D正确．
【答案】 D
9 .一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图11－1－15所示，由图可知，t＝2.5 s时，质点的( )
图11－1－15
A．速度、加速度均为负方向
B．速度为正方向，加速度为负方向
C．质点正向平衡位置运动
D．质点正远离平衡位置向最大位移处运动
【解析】 质点在2.5 s时正由负位移处向平衡位置运动，C对，D错，位移为负，速度、加速度为正，A、B均错．
【答案】 C
10 .心电图是现代医疗诊断的重要手 ( http: / / www.21cnjy.com )段，医生从心电图上测量出相邻两波峰(或波谷)的时间间隔即为心动周期，由此可以计算出1 min内心脏跳动的次数(即心率)，甲、乙两人在同一台心电图机上作出的心电图如图11－1－16所示，医生通过测量记下甲的心率是60 次/min，则由两图及甲的心率可知心电图机图纸移动的速率v以及乙的心率是( )
甲 乙
图11－1－16
A．25 mm/s；48 次/min
B．25 mm/s；75 次/min
C．25 mm/min；75 次/min
D．25 mm/min；48 次/min
【解析】 甲的心率为60 次/min，则 ( http: / / www.21cnjy.com )甲1 s跳1次．结合甲图可知，心电图的移动速率为25 mm/s，再结合乙图可求乙的心率为75 次/min，故选B.
【答案】 B
11 .
图11－1－17
(2013·沈阳检测)如图11－1－17所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
(1)质点在第2 s末的位移是多少？
(2)质点振动过程中的最大位移为多少？
(3)在前4 s内，质点经过的路程为多少？
【解析】 (1)由x －t图象可以读出2 s末质点的位移为零．
(2)质点的最大位移在前4 s里发生在1 s末和3 s末，位移大小为10 cm.
(3)前4 s，质点先朝正方向运动了距离为10 cm的一个来回，又在负方向上进行了一个10 cm距离的来回，故总路程为40 cm.
【答案】 (1)0 (2)10 cm (3)40 cm
12 .在心电图仪、地震仪等仪器 ( http: / / www.21cnjy.com )工作过程中，要进行振动记录，如图11－1－18(甲)所示是一种常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带．当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图11－1－18(乙)所示．若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，作出P的振动图象．
图11－1－18
【解析】 该题考查简谐运动图象的画法 ( http: / / www.21cnjy.com )．题图(乙)中运动的位移值可以对应不同的时刻，由x＝vt可知，当x＝20 cm时，对应时间t＝＝0.2 s，作出图象如图所示
【答案】 见解析
2简谐运动的描述
(教师用书独具)
●课标要求
1 .知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义．
2 .理解周期和频率的关系，知道固有周期和频率与振幅无关．
3 .知道相位和相位差，理解简谐运动的表达式．
4 .通过观察演示实验，总结频率与振幅无关，培养学生的观察、概括能力．
5 .每种运动都要选取能反映本身特点的物理量来描述，使学生知道不同性质的运动包含各自不同的特殊矛盾．
●课标解读
1 .知道什么是简谐运动的振幅、周期和频率．
2 .理解周期和频率的关系，知道固有周期和频率与振幅无关．
3 .了解相位和相位差，知道简谐运动表达式的含义．
●教学地位
本节内容是在上一节了解简谐运动位移的基 ( http: / / www.21cnjy.com )础上，以简谐运动为例，学习描述振动特点的物理量，为描述其他振动奠定基础，进而使学生了解不同的运动形式应用不同的物理量描述，通过振动方程的学习，使学生对简谐运动的特征有更深刻的认识，是本章的重点内容．
(教师用书独具)
●新课导入建议
上节课学习了简谐运动的运动特点，简谐运动是一种新的运动形式，需要引入新的物理量来描述，然后得到它的运动规律，这节课我们探讨这个问题．
●教学流程设计
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课 标 解 读 重 点 难 点
1.知道简谐运动的振幅、周期和频率.
2.理解周期和频率的关系以及固有周期和固有频率的含义.
3.知道相位是描述简谐运动的状态量，会从简谐运动的图象上找出各个时刻的相位.
4.理解简谐运动的表达式，会根据振动方程描绘振动图象. 1.简谐运动的振幅、周期和频率的概念．(重点)
2.振幅和位移的区别和联系．(难点)
3.相位的物理意义．(难点)
描述简谐运动的物理量
1 .基本知识
(1)振幅
①定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振幅．用A表示，单位为米(m)．
②物理含义：振幅是描述振动强弱的物理量；振幅的大小反映了振动系统能量的大小．
(2)全振动
振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次全振动．
(3)周期和频率
内容 周期 频率
定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期 单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率
单位 单位为秒(s) 单位为赫兹(Hz)
物理
含义 振动周期是表示振动快慢的物理量 频率是表示振动快慢的物理量
决定
因素 物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关
关系式 T＝
(4)相位：描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．
2 .思考判断
(1)振幅就是振子的最大位移．(×)
(2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期．(×)
(3)两个相同的弹簧振子，同时放开小球让它们振动，它们的相位相同．(√)
3 .探究交流
如果改变弹簧振子的振幅，其振动的周期是否会改变呢？弹簧振子的周期与什么因素有关呢？我们可以提出哪些猜想？怎样设计一个实验来验证这个猜想？
【提示】 猜想：影响弹簧振子 ( http: / / www.21cnjy.com )周期的因素可能有：振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数等．我们可以设计这样一个实验：弹簧一端固定，弹簧的另一端连着有孔小球，使小球在光滑的水平杆上滑动．通过改变振幅、振子的质量和弹簧的劲度系数，测量不同情况下振子的周期，注意在改变一个物理量的时候其他物理量应保持不变．
简谐运动的表达式
1 .基本知识
简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)
(1)A表示简谐运动的振幅．
(2)ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf．
(3)ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相．
2 .思考判断
(1)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关．(×)
(2)一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动．(√)
(3)简谐运动的表达式x＝A sin(ωt＋φ)中，ωt＋φ的单位是弧度．(√)
3 .探究交流
简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的含义是什么？
【提示】 两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同，例如甲和乙两个简谐运动的相位差为π，意味着乙总比甲滞后个周期或次全振动．
描述简谐运动的物理量之间的关系
【问题导思】
1 .振幅与振子的位移有什么区别和联系？
2 .知道如何计算振子的路程吗？
3 .知道周期和频率与振幅的关系吗？
1 .对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五个特征．
(1)振动特征：一个完整的振动过程．
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
(3)时间特征：历时一个周期．
(4)路程特征：振幅的4倍．
(5)相位特征：增加2π.
2 .简谐运动中振幅和几个常见量的关系
(1)振幅和振动系统的能量关系：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统的能量越大．
(2)振幅与位移的关系：振 ( http: / / www.21cnjy.com )动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移的大小相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(3)振幅与路程的关系：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍的振幅．
(4)振幅与周期的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
1 .一次全振动是指物体的位移和速度的大小、方向连续两次完全相同所经历的过程(振子将除最大位移处所有可能到达的位置都到达了两次)．
2 .四分之一个周期内的路程可以等于一个振幅，可以大于一个振幅，也可以小于一个振幅．
弹簧振子从距离平衡位置5 cm处由静止释放，在4 s内完成5次全振动．
(1)这个弹簧振子的振幅为________cm，振动周期为________s，频率为________Hz.
(2)4 s末振子所在位置的位移大小为________cm，4 s内振子运动的路程为________cm.
(3)若其他条件不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5 cm处由静止释放，该振子的周期为________s.
【审题指导】 (1)根据全振动的次数计算周期和频率．
(2)根据一个周期通过4个振幅求路程．
(3)周期与振幅无关．
【解析】 (1)根据题意，振子从距平衡位置 ( http: / / www.21cnjy.com )5 cm处由静止释放，说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5 cm，即振幅为5 cm.振子在4 s内完成5次全振动，则T＝0.8 s，又因为f＝得f＝1.25 Hz.
(2)4 s内完成5次全振动，即4 s末振子 ( http: / / www.21cnjy.com )又回到原来的初始点，因而振子所在位置的位移大小为5 cm.振子一次全振动通过的路程为20 cm，则5次全振动通过的路程为100 cm.
(3)弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子质量决定，其周期与振幅大小无关，故周期仍为0.8 s.
【答案】 (1)5 0.8 1.25 (2)5 100 (3)0.8
1 .(2013· 厦门高二检测)一个做简 ( http: / / www.21cnjy.com )谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为( )
A．4 cm、10 cm B．4 cm、100 cm
C．0、24 cm D．0、100 cm
【解析】 质点的振动周期T＝＝0.4 s，
故时间t＝T＝6T，
所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，
质点通过的路程为s＝4A·＝4×4×6 cm＝100 cm，B正确．
【答案】 B
对简谐运动表达式的理解
【问题导思】
1 .你能正确写出简谐运动的表达式吗？
2 .简谐运动的表达式中各物理量的含义是什么？
3 .怎样利用简谐运动的表达式分析问题？
1. 简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．
2. 各量的物理含义
(1)圆频率：表达式中的ω称作简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物体振动的快慢．与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf.
(2)φ表示t＝0时，简谐运 ( http: / / www.21cnjy.com )动质点所处的状态，称为初相位或初相．ωt＋φ代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．
3 .从运动方程中得到的物理量
振幅、周期、圆频率和初相位，因此可应用运动方程和ω＝＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差．
1 .相位φ是时间t的线性函数，即φ＝ωt＋φ0.相位随时间的增加而增大，时间t在振动的表达式中是自变量．
2 .相位能够统一地表述简谐运动的状态和振动的周期性．
一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5 sin(8πt＋π) cm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋π) cm，求它们的相位差．
【审题指导】 (1)从表达式中直接读出振幅、圆频率和初相．
(2)利用关系式ω＝和f＝求出T、f.
(3)利用Δφ＝φ2－φ1求解相位差．
【解析】 (1)已知ω＝8π，由ω＝得T＝ s，f＝＝4 Hz.A＝5 cm，φ1＝.
(2)由Δφ＝φ2－φ1得Δφ＝π－＝π.
【答案】 (1) s、4 Hz、5 cm、 (2)π
用简谐运动表达式解答问题的方法
1 .明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相．
2 .ω＝＝2πf是解题时常涉及到的表达式．
3 .解题时画出其振动图象，会使解答过程简捷、明了．
2 .(2012·北京高考)一 ( http: / / www.21cnjy.com )个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图象是( )
【解析】 根据F＝－kx及牛顿第二定律得a ( http: / / www.21cnjy.com )＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．
【答案】 A
【备选例题】(教师用书独具)
如图教11－2－1所示的振动图象上有a ( http: / / www.21cnjy.com )、b、c、d、e、f六点，其中：(1)与a位移相同的点有哪些？(2)与a速度相同的点有哪些？(3)b点离开平衡位置的最大距离有多大？
图教11－2－1
【解析】 (1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)b离开平衡位置的最大距离即为振动物体最大位移的大小．由图知最大距离为2 cm.
【答案】 (1)b、e、f (2)d、e (3)2 cm
综合解题方略——简谐运动的对
称性和周期性的应用
物体做简谐运动，通过A点时的速度大小为v，经1 s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过1 s物体又通过B点，已知物体在2 s内所走过的总路程为12 cm.则该简谐运动的周期和振幅分别是多少？
【审题指导】 (1)物体通过A时速度方向可能向左也可能向右．
(2)画出运动轨迹图，注意速度、位移、时间的对称性．
【规范解答】
甲 乙
物体通过A点和B点的速度大小相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称．如果物
体从A先向平衡位置运动，根据题意作 ( http: / / www.21cnjy.com )出物体的运动路径图如图甲所示，物体从A点向右运动到B，即图甲中从1运动到2，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，从1到3共经历了0.5T，即0.5T＝2 s，T＝4 s，2A＝12 cm，A＝6 cm.
如果物体从A先远离平衡位置运动， ( http: / / www.21cnjy.com )如图乙所示，当物体第一次以相同的速度通过B点时，即图乙中从1运动到2时，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，同样A、B两点关于O点对称，从图中可以看出1到3共经历了1.5T，即1.5T＝2 s，T＝ s，1.5×4A＝12 cm，A＝2 cm.
【答案】 T＝4 s，A＝6 cm或T＝ s，A＝2 cm
简谐运动是一种周期性的运动，其运动过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中每一个物理量都随时间周期性变化．因此，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．分析此类问题，一般从简谐运动的周期性去思考，找出多解问题的表达方式，以保证解答的完整性．
1. (2013·深圳检测)有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1 1∶1 B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4 D．1∶2 1∶2
【解析】 弹簧的压缩量即为振子振动过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2.而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1∶1.
【答案】 B
2. 如图11－2－1所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间振动，则( )
图11－2－1
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．OB的大小不一定等于OC
【解析】 O为平衡位置，B、C为两侧最 ( http: / / www.21cnjy.com )远点，则从B起始经O、C、O、B路程为振幅的4倍，即A对；若从O起始经B、O、C、B路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B错；若从C起始经O、B、O、C路程为振幅的4倍，即C对；因弹簧振子系统的摩擦不考虑，所以振幅一定，D错．
【答案】 AC
3. 一质点做简谐运动的图象如图11－2－2所示，下列说法正确的是( )
图11－2－2
A．质点振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
【解析】 由振动图象可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz，故选项A错误．振幅为2 cm，一个周期内质点经过的路程为4A，10 s为2.5个周期，经过的路程为2.5×4A＝10A＝20 cm，选项B是正确的.4 s末质点在平衡位置，且速度最大，故选项C错误．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点分别在正最大位移和负最大位移处，质点位移大小相等、方向相反，故选项D错误．
【答案】 B
4 .有两个振动的振动方程分别是：x1＝3sin(100πt＋)，x2＝5sin(100πt＋)，下列说法正确的是( )
A．它们的振幅相同
B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定
D．它们的振动步调一致
【解析】 方程1代表的振子振动振幅 ( http: / / www.21cnjy.com )为3；圆频率为ω＝2πf＝100π，则f＝50 Hz；初相为.方程2代表的振子振动振幅为5；圆频率为ω＝2πf＝100π，则f＝50 Hz；初相为，所以A错，B对．由于它们的振动周期相同，所以它们的相位差为－＝，因此它们在振动时步调不一致，故正确选项为B、C.
【答案】 BC
5 .弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：
(1)振子的振幅；
(2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s内通过的路程及5 s时的位移大小．
【解析】 (1)振幅设为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以A＝10 cm.
(2)从B点首次到达C点的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1 s，
再根据周期和频率的关系可得f＝＝1 Hz.
(3) 振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，即一个周期运动的路程为40 cm，
s＝·4A＝5×40 cm＝200 cm
5 s的时间为5个周期，振子又回到原始点B，位移大小为10 cm.
【答案】 (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm 10 cm
1 .振动周期指振动物体( )
A．从任何一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用时间
C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用时间
D．经历了四个振幅的时间
【解析】 振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，C、D正确．
【答案】 CD
2 .关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
【解析】 振幅是振子离平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡位置最大的距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D错．
【答案】 A
3 .
图11－2－3
(2013·沈阳高二检测)两个简谐振动的曲线如图11－2－3所示．下列关于两个图象的说法正确的是( )
A．两个振动周期相同
B．两个振动振幅相同
C．两个振动的表达式相同
D．两个振动初相相同
【解析】 从振动图象可以看出两个振 ( http: / / www.21cnjy.com )动的周期相同，离开平衡位置的最大位移即振幅相同，A、B对．两个振动的零时刻相位即初相不同，相位不同，表达式不同，C、D错．
【答案】 AB
4 .有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m
B．x＝8×10－3sin(4πt－) m
C．x＝8×10－1sin(πt＋π) m
D．x＝8×10－1sin(t＋) m
【解析】 由题意知，ω＝＝4π，t＝0时具有负方向的最大加速度，所以t＝0时振子具有最大的正位移，故初相位φ＝.
【答案】 A
5 .一个做简谐运动的弹簧振子 ( http: / / www.21cnjy.com )，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到x＝处所经历的时间为t1，第一次从最大位移处运动到x＝所经历的时间为t2，关于t1与t2，以下说法正确的是( )
A．t1＝t2 B．t1＜t2
C．t1＞t2 D．无法判断
【解析】 画出x－t图象，从图象上，我们可以很直观地看出：t1＜t2，因而正确答案为B.
【答案】 B
6 .
图11－2－4
(2013·芜湖检测)如图11－2 ( http: / / www.21cnjy.com )－4所示为某一质点的振动图象，由图可知，在t1和t2两时刻|x1|＞|x2|，质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系正确的是( )
A．|v1|＜|v2|，方向相同
B．|v1|＜|v2|，方向相反
C．|a1|＞|a2|，方向相同
D．|a1|＞|a2|，方向相反
【解析】 在t1时刻，质点 ( http: / / www.21cnjy.com )向平衡位置运动，在t2时刻，质点远离平衡位置运动，故速度v1与v2方向相同，由于|x1|＞|x2|，所以|v1|＜|v2|，A对；在t1和t2时刻，质点离开平衡位置的位移方向相反，因而回复力方向相反，加速度方向相反，但|x1|＞|x2|，t1时刻回复力大于t2时刻回复力，故|a1|＞|a2|，D对．
【答案】 AD
7 .
图11－2－5
如图11－2－5所示，弹簧振子的频率为5 Hz，让它从B位置开始振动，并开始计时，则经过0.12 s时( )
A．小球位于BO之间，运动方向向右
B．小球位于BO之间，运动方向向左
C．小球位于CO之间，运动方向向右
D．小球位于CO之间，运动方向向左
【解析】 周期T＝＝0.2 s，则＝＝0.6，即t＝0.6T，T＜t＜T，所以小球位于CO之间，运动方向向右，C正确．
【答案】 C
8 .(2013·昆明检测)一个质点做简谐运动的图象如图11－2－6所示，下列叙述中正确的是( )
图11－2－6
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
【解析】 由振动图象可直接得到 ( http: / / www.21cnjy.com )周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故选项A是错误的．一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8 cm，10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B是正确的．由图象知位移与时间的关系为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sin(t) m．当t＝5 s时，其相位ωt＋φ0＝×5＝π，故C不正确．在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x＝Asin 135°＝A＝ cm，故D正确．
【答案】 BD
9 .
图11－2－7
(2013·银川检测)一个做简谐运动的质点， ( http: / / www.21cnjy.com )先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s(如图11－2－7)．过B点后再经过t＝0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( )
A．0.5 s B．1.0 s C．2.0 s D．4.0 s
【解析】 根据题意，由振动的对称性可 ( http: / / www.21cnjy.com )知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达右方极端位置(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．所以，质点从O到D的时间：tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s.
所以T＝2.0 s.
【答案】 C
10 .如图11－2－ ( http: / / www.21cnjy.com )8所示的三个图线分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图线．图中记录的声带振动图线总长和弹簧振子振动的图线总长都为10 cm，图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8 cm/s.从三个图线可知( )
图11－2－8
A．弹簧振子振动具有周期性，而声带振动和心脏跳动不具有周期性
B．弹簧振子振动和心脏跳动具有周期性，而声带振动不具有周期性
C．这三个物体振动的共同特点是都具有周期性，最简单的振动是心脏跳动
D．从心电图可知此人的心率约是67.5次/分
【解析】 三个振动图线都 ( http: / / www.21cnjy.com )是周期性变化的，因此，这三个振动物体的共同特点是具有周期性，其中最简单的振动是弹簧振子的振动，故A、B、C均错；由心脏跳动的图线可知，在心脏每跳一下时间间隔内，方格纸前移距离为x＝3.2×0.5 cm＝1.6 cm，所以心脏跳动的间隔时间为T＝＝ s＝ s，此人心率即每分钟心跳次数为次/分＝67.5次/分．故D正确．
【答案】 D
11 .(2013·潍坊高二检测) ( http: / / www.21cnjy.com )一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动．
(1)试写出用正弦函数表示的振动方程．
(2)10 s内通过的路程是多少？
【解析】 (1)简谐运动振动方程的一般 ( http: / / www.21cnjy.com )表示式为x＝Asin(ωt＋φ)．根据题目条件，有：A＝0.08 m，ω＝2πf＝π.所以x＝0.08sin(πt＋φ) m．将t＝0，x＝0.04 m，代入得0.04＝0.08sin φ，解得初相位φ＝或φ＝π，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝π.故所求的振动方程为x＝0.08sin(πt＋π) m.
(2)周期T＝＝2 s，所以t＝5T，因1T内的路程是4A，则通过的路程s＝5×4A＝20×8 cm＝160 cm.
【答案】 (1)x＝0.08sin(πt＋π) m (2)160 cm
12 .(2013·青岛检测)有一弹簧 ( http: / / www.21cnjy.com )振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图11－2－9中作出该振子的位移－时间图象；
图11－2－9
(3)写出振子的振动表达式．
【解析】 (1)振子的振幅A＝10 cm，振子的周期T＝＝0.2 s.
(2)如图所示．
(3)表达式为x＝－Asin ωt＝－0.1sin (10πt)m.
【答案】 见解析
3简谐运动的回复力和能量
(教师用书独具)
●课标要求
1 .知道简谐运动的回复力特点及回复力的来源．
2 .知道振幅越大，振动的能量(总机械能)越大．
3 .掌握简谐运动的判断方法．
4 .理解简谐运动中各物理量的变化规律，会分析具体问题．
●课标解读
1 .掌握简谐运动回复力的特征，能准确分析回复力的来源．
2 .理解简谐运动的规律，掌握在一次全振动过程中位移、加速度、速度和能量的变化规律．
3 .会用能量守恒的观点，分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律．
4 .通过对弹簧振子做简谐运动的分析，在培养学生分析和解决问题的能力的同时，使学生知道从个别到一般的思维方法．
●教学地位
本节内容是该章的重点内容，振动过程的特征分析是高考的热点，也是理解简谐运动的一个关键点．
(教师用书独具)
●新课导入建议
前面两节课我们从运动学的角度研究了简谐 ( http: / / www.21cnjy.com )运动的规律，物体的运动形式是由受力决定的，那么简谐运动的受力有何特点呢？这节课我们就来学习简谐运动的动力学特征和能量转化的规律．
●教学流程设计
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课 标 解 读 重 点 难 点
1.知道回复力的概念，会分析其来源.
2.能从力的角度说明什么样的振动是简谐运动.
3.会分析简谐运动中回复力、加速度、位移、速度、动能、势能等各物理量的变化.
4.能理解简谐运动中机械能守恒，知道能量大小与振幅有关. 1.简谐运动回复力的特征及相关物理量的变化规律．(重点)
2.对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析．(重点)
3.物体做简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度等变化规律的分析总结．(难点)
4.具体问题中分析回复力的来源．(难点)
简谐运动的回复力
1 .基本知识
(1)简谐运动的回复力
①方向特点：总是指向平衡位置．
②作用效果：把物体拉回到平衡位置．
③来源：回复力是根据力的效果(选填“性质”或“效果”)命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．
④表达式：F＝－kx．即回复力与物体的位移大小成正比，负号表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由振动系统决定．
(2)简谐运动的动力学特征
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
2. 思考判断
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反．(√)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反．(×)
(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反．(×)
3. 探究交流
图11－3－1
如图11－3－1，m和M保持相对静止，在弹簧的作用下一起在光滑的水平面上做简谐运动．m的回复力由谁提供？
【提示】 M对m的静摩擦力提供．
简谐运动的能量
1 .基本知识
(1)振动系统的状态与能量的关系
①振子的速度与动能：速度不断变化，动能也不断变化．
②弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断变化，因而势能也在不断变化．
(2)简谐运动的能量
一般指振动系统的机械能．振动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
①在最大位移处，势能最大，动能为零．
②在平衡位置处，动能最大，势能最小．
③在简谐运动中，振动系统的机械能守恒(选填“守恒”或“减小”)，因此简谐运动是一种理想化的模型．
(3)决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强．一个确定的简谐运动是等幅振动．
2. 思考判断
(1)简谐运动是一种理想化的振动．(√)
(2)弹簧振子位移最大时，加速度也最大．(√)
(3)弹簧振子位移最大时，势能也最大．(√)
3. 探究交流
图11－3－2
如图11－3－2所示，在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？
【提示】 在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最 ( http: / / www.21cnjy.com )大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端．动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候．
对回复力的理解
【问题导思】
1. 回复力是一种新性质的力吗？
2. 简谐运动的回复力有什么特点？
1. 回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的．可能是一个力的分力，也可能是几个力的合力．
2. 简谐运动的回复力：F＝－kx.
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
回复力F＝－kx和加速度a＝－x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用以上两式来证明某个振动为简谐运动．
图11－3－3
(2013·岳阳检测)一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图11－3－3所示．
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________；
(2)该小球的振动是否为简谐运动？
【审题指导】 (1)分析小球受力可知回复力来源．
(2)证明回复力与位移是否满足F＝－kx关系．
【解析】 (1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力．
(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①
当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为
F回＝mg－k(x＋h)②
将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动．
【答案】 (1)弹力和重力的合力 (2)是简谐运动
判断一个振动为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：
1 .通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图象是否满足正弦规律来判断．
2 .对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断．
3 .根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－x进行判断．
1. 若将弹簧下端固定，上端连接一个小球由平衡的位置下压弹簧一段距离后释放，小球的运动是否为简谐运动？
【解析】 小球静止时的位置为其 ( http: / / www.21cnjy.com )运动时的平衡位置，设此时弹簧压缩量为x0，由力的平衡条件可知：kx0＝mg，向下再压缩x，释放后小球受到指向平衡位置的合力大小为：F＝k(x＋x0)－mg＝kx，考虑到力的方向和位移方向的关系，应有：F＝－kx.由此可见，小球的运动为简谐运动．
【答案】 是简谐运动
简谐运动中各个物理量的变化规律
【问题导思】
1. 在简谐运动中，位移的含意是什么？
2. 做简谐运动的物体，在动能和势能相互转化的过程中，总能量守恒吗？
振子以O点为平衡位置做简谐运动，如图11－3－4所示：
图11－3－4
各物理量的变化规律为：
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位移
方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力
方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度
方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度
方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
1. 简谐运动中在最大位移处，x、F、a、Ep最大，v＝0，Ek＝0；在平衡位置处，x＝0，F＝0，a＝0，Ep最小，v、Ek最大．
2. 简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒．
(2013·长沙检测)一质点做简谐运动的图象如图11－3－5所示，则该质点( )
图11－3－5
A．在0.015 s时，速度和加速度都为－x方向
B．在0.01 s～0.03 s内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小
C．在第八个0.01 s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大
D．在每1 s内，回复力的瞬时功率有100次为零
【审题指导】 (1)由图象获取T、A和质点的振动特征．
(2)由简谐运动各参量的变化规律解析判断．
【解析】 该题考查各物理量在图象中 ( http: / / www.21cnjy.com )的表示，要根据图象把握运动过程．在0.015 s时，从图象中可以看出，速度方向沿－x方向，而加速度方向沿＋x方向，A项错误．在0.01 s～0.03 s时间内，速度方向先沿－x方向，后沿＋x方向，速度先减小后增大，而加速度方向始终沿＋x方向，加速度大小先增大后减小，所以B正确．在第八个0.01 s内的位移沿＋x方向且逐渐增大，而速度却在不断减小，所以C错误．由图可知：T＝0.04 s，1 s内的周期数n＝＝25，当回复力为零时，回复力的功率为零，当回复力最大时，质点速度为零，回复力的功率也为零，这样一个周期内，功率为零的时刻有四次，因此，在每1 s内回复力的瞬时功率为零的次数有4×25＝100(次)，所以D正确．
【答案】 BD
简谐运动的图象能够反映简谐运动的规律，因此将简谐运动的图象跟具体的运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法．根据图象可以获得以下信息：
1 .振幅A、周期T(注意单位)．
2 .某一时刻振动质点离开平衡位置的位移．
3 .某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向．
判定方法：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．
速度方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移增加，振动质点的速度方向是远离t轴，下一时刻位移减小，振动质点的速度方向是指向t轴．
4 .某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
2. 如图11－3－6所示，一弹簧振子在光滑水平面A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图11－3－6
(1)简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________和________相互转化，总________守恒．
(2)振子在振动过程中有以下说法，正确的是( )
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
【解析】 (1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时只有动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧往复 ( http: / / www.21cnjy.com )振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B对；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D对；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错．
【答案】 (1)振幅 动能 势能 机械能
(2)ABD
易错案例警示——不理解简谐运
动的能量与振幅的关系导致错误
(2013·无锡检测)如图11－3－7所示，一弹簧振子在B、C间做简谐运动，平衡位置为O，振幅为A，已知振子的质量为M.若振子运动到C处时，将一质量为m的物体放到M的上面，m和M一起运动且无相对滑动，下列叙述正确的是( )
图11－3－7
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
【正确解答】 振子运动到C处时速度恰为零，此 ( http: / / www.21cnjy.com )时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能．由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确、D错误．
【答案】 AC
【易错分析】 本题易错选项及错误原因分析如下：
易错选项 错误原因
B 不能从能量守恒的角度考虑问题，只简单认为质量变大了，运动的最大距离就短了，即振幅减小
D 应该是最大动能不变．质量大了，最大速度小了，把最大速度的变化简单地等效为最大动能的变化
eq \a\vs4\al(,,,,\x(\a\al(简谐运动,的回复力,和能量))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(力学特征 F＝－kx),\x(运动特征)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(位移),\x(速度),\x(加速度a＝－\f(k,m)x))),\x(图象特征) \x(正弦函数),\x(能量特征)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(动能),\x(势能)))\x(\a\al(总能量,守恒))))Ｋ
1 .如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图象是( )
【解析】 由F＝－kx知B选项正确．
【答案】 B
2. 弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
【解析】 振子的位移指由平衡位置指向振动物 ( http: / / www.21cnjy.com )体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小．而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝F/m得，加速度也减小，物体向平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大．
【答案】 D
图11－3－8
3 .(2013·大连质检)如图11－3－ ( http: / / www.21cnjy.com )8所示为某一质点的振动图象，|x1|>|x2|，由图可知，在t1和t2两个时刻，质点振动的速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为( )
A．v1B．v1C．a1>a2，方向相同
D．a1>a2，方向相反
【解析】 由图象知t1、t2两时刻质点都在沿x轴负方向运动，越衡位置，速度越大，故选项A正确．由a＝－k′x可知，选项D正确．
【答案】 AD
4 .做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速度为v，则下列说法中正确的是( )
A．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mv2之间的某一个值
C．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值
【解析】 相距半个周期的两个时 ( http: / / www.21cnjy.com )刻，速度的大小相等，方向相反．因此由W＝mv－mv＝0可知，A对，B错．由于在开始计时时速度的大小未知，由Δv＝v1－(－v1)＝2v1，0≤v1≤v可知，C错，D对．
【答案】 AD
5 .(2013·新课标全国卷Ⅱ)
图11－3－9
如图11－3－9，一轻弹簧一端固定，另一端连 ( http: / / www.21cnjy.com )接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅为A，则A________A0(填“>”、“<”或“＝”)．
【解析】 当弹簧振子通过平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡住置时，a、b之间粘胶脱开，a、b由于惯性继续向右运动，弹簧伸长，对物块有向左的拉力，物块a向右做减速运动，动能减少，物块b在光滑水平面上做匀速直线运动，动能不变，由能量守恒定律知只有物块a减少的动能转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大伸长量减小，故振幅减小．
【答案】 <
1. (2013·郑州检测)如图11－3－10所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析正确的是( )
图11－3－10
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
【解析】 弹簧振子的简谐运 ( http: / / www.21cnjy.com )动中忽略了摩擦力，C、D错；回复力为效果力，受力分析时不分析此力，B错；故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力，A正确．
【答案】 A
2. 关于做简谐运动的物体的说法正确的是( )
A．加速度与位移方向有时相同，有时相反
B．速度方向与加速度方向有时相同，有时相反
C．速度方向与位移方向有时相同，有时相反
D．加速度方向总是与位移方向相反
【解析】 回复力的方向与位移的方向始 ( http: / / www.21cnjy.com )终相反，加速度的方向与回复力的方向一致，选项A错误，D正确；当离开平衡位置时，速度与位移的方向相同，当向平衡位置运动时，速度与位移的方向相反，故选项B、C正确．
【答案】 BCD
3 .公路上匀速行驶的货车受一扰动，车 ( http: / / www.21cnjy.com )上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向振动可视为简谐运动，周期为T.竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图11－3－11所示，则( )
图11－3－11
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
【解析】 要使货物对车厢底板的压力 ( http: / / www.21cnjy.com )最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知在T时，货物向上的加速度最大，则C选项正确；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知在时，货物向下的加速度最大，所以选项A、B、D错误．
【答案】 C
4 .如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是( )
时刻状态物理量 0 T/4 T/2 3T/4 T
甲 零 正向
最大 零 负向
最大 零
乙 零 负向
最大 零 正向
最大 零
丙 正向
最大 零 负向
最大 零 正向
最大
丁 负向
最大 零 正向
最大 零 负向
最大
A.若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v
B．若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v
C．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v
D．若乙表示位移x，则丙表示相应的速度v
【解析】 本题可结合如图所示的弹簧 ( http: / / www.21cnjy.com )振子的振动情况具体分析．在振子从平衡位置(t＝0)向右(正方向)运动到正向最大位移的过程中，其速度为正且由最大值减小到零，A正确；在振子从负向最大位移处运动，经周期回到平衡位置时，振子向右运动，速度为正且增大，B正确；若振子从正向最大位移向平衡位置运动时，振子的速度为负且逐渐增大，C错误；若振子从平衡位置向负向最大位移处运动，则振子的速度为负且逐渐减小，D错误．
【答案】 AB
图11－3－12
5. (2013·黄山检测)如图11－3－12所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是( )
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第2 s内，质点速度逐渐增大
C．在第3 s内，动能转化为势能
D．在第4 s内，动能转化为势能
【解析】 质点在第1 s内， ( http: / / www.21cnjy.com )由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，势能转化为动能，所以选项D错误．
【答案】 BC
图11－3－13
6 .(2013·沈阳检测)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图11－3－13所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对滑动．设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．kx B．()kx C．()kx D．0
【解析】 本题考查连接体问题。A、B ( http: / / www.21cnjy.com )一起做简谐运动，对A、B组成的系统而言，回复力是弹簧的弹力，而对于A而言，回复力则是B对A的静摩擦力．利用整体法和牛顿第二定律求出整体的加速度，再利用隔离法求A受到的静摩擦力．
对A、B组成的系统，由牛顿第二定律得F＝(M＋m)a.
又F＝kx，则a＝.
对A由牛顿第二定律得f＝ma＝()kx.故选C.
【答案】 C
图11－3－14
7 .(2013·安庆高二检测)如图11－3－14是质点做简谐振动的图象，由此可知( )
A．t＝0时，质点的位移、速度均为零
B．t＝1 s时，质点的位移为正向最大，速度为零，加速度为负向最大
C．t＝2 s时，质点的位移为零，速度为负向最大值，加速度为零
D．质点的振幅为5 cm，周期为2 s
【解析】 t＝0时，质点的位移为零， ( http: / / www.21cnjy.com )但是速度不为零，A错；t＝1 s时，质点的位移为正向最大，速度为零，由a＝－x可知加速度为负向最大，B对；t＝2 s时，质点的位移为零，速度为负向最大值，加速度由a＝－x可知为零，C对；由图象可知质点的振幅为5 cm，周期为4 s，D错．
【答案】 BC
8. 如图11－3－15所示， ( http: / / www.21cnjy.com )物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是( )
图11－3－15
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
【解析】 m在平衡位置O处两弹簧均处 ( http: / / www.21cnjy.com )于原长状态，则m振动后任取一位置A，如图．设在A处m的位移为x，则在A处m所在水平方向的合力F＝k2x＋k1x＝(k2＋k1)x，考虑到回复力F与x方向关系有：F＝－(k2＋k1)x＝－3kx，选项D正确，C错误；可见m做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，选项A正确，B错误．
【答案】 AD
9 .做简谐运动的弹簧振子质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为( )
A．20 m/s2，向右 B．20 m/s2，向左
C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左
【解析】 加速度方向指向 ( http: / / www.21cnjy.com )平衡位置，因此方向向左．由力和位移的大小关系F＝kx可知，当x＝40 cm时，F＝8 N，a＝＝40 m/s2，方向指向平衡位置，D正确．
【答案】 D
10 .(2013·山东省实验中学检测)甲、乙两弹簧振子，振动图象如图11－3－16所示，则可知( )
图11－3－16
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
【解析】 由图可知f甲∶f ( http: / / www.21cnjy.com )乙＝1∶2，因此振子不相同，A选项不正确，D选项正确．由图可知C正确．因F甲＝k甲A甲，F乙＝k乙A乙，由于k甲和k乙关系未知，因此无法判断F甲∶F乙＝2∶1，所以B不正确．
【答案】 CD
图11－3－17
11. (2013·青岛检测 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图11－3－17所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中( )
A．小球最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
【解析】 小球平衡位置kx0＝mg ( http: / / www.21cnjy.com )，x0＝A＝，当到达平衡位置时，有mgA＝mv2＋kA2，A错．机械能守恒，是动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B错．从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Ep＝2mgA，最低点加速度等于最高点加速度g，据牛顿第二定律F－mg＝mg，F＝2mg，D错．
【答案】 C
12 .一质量为m，侧面积为S的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图11－3－18所示．现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动．
图11－3－18
【解析】
以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，当木块被压入水中x后所受力如图所示，则
F回＝mg－F浮，①
又F浮＝ρgS(Δx＋x)．②
由①式和②式，得
F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx.
mg＝ρgSΔx，所以F回＝－ρgSx.
即F回＝－kx(k＝ρgS)．
所以木块的振动为简谐运动．
【答案】 木块的振动是简谐运动
4单摆
(教师用书独具)
●课标要求
1 .知道什么是单摆，理解在什么情况下单摆的振动是简谐运动．
2 .知道单摆的周期跟哪些因素有关，理解单摆周期公式．
3 .知道用单摆可测定重力加速度．
●课标解读
1 .知道什么是单摆及单摆做简谐运动的条件．
2 .会分析单摆做简谐运动的回复力以及摆球受的合外力．
3 .掌握单摆做简谐运动的周期公式，并能求常见情况下单摆的周期．
4 .会用单摆的周期公式测重力加速度，会进行实验数据的处理和误差分析．
●教学地位
单摆是简谐运动的又一实例，既是本章重点又是高考热点，本节重点是单摆周期公式及其应用．
(教师用书独具)
●新课导入建议
1862年，18岁的伽利略离开神学 ( http: / / www.21cnjy.com )院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，他发现挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器．这节课我们共同探究单摆的特点及运动规律．
●教学流程设计
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步骤8：先由学生自己总结本节的主要知识，教师点评，安排学生课下完成【课后知能检测】
课 标 解 读 重 点 难 点
1.知道什么是单摆及单摆做简谐运动的条件.
2.会分析单摆做简谐运动的回复力以及摆球所受的合外力.
3.知道单摆的周期跟什么因素有关，理解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算.
4.知道用单摆可测定重力加速度. 1.单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件．(重点)
2.通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式．(重点)
3.单摆振动回复力的分析．(难点)
4.与单摆周期有关的因素．(难点)
单摆及单摆的运动
1. 基本知识
(1)单摆
如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫做单摆．单摆是实际摆的理想化的物理模型．
(2)单摆的回复力
①回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力．
②回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置．
③运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．
2. 思考判断
(1)制作单摆的细线弹性越大越好．(×)
(2)制作单摆的细线越短越好．(×)
(3)制作单摆的摆球越大越好．(×)
3. 探究交流
单摆的回复力是由摆球所受的合外力提供的吗？
【提示】 单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供，沿半径方向的合力提供向心力．
单摆的周期
1. 基本知识
(1)探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
①探究方法：控制变量法．
②实验结论
a．质量与周期：单摆振动的周期与摆球质量无关．
b．振幅与周期：振幅很小时周期与振幅无关．
c．摆长与周期：摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小．
(2)周期公式
①公式：T＝2π．
②单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质．
(3)应用
①计时器
a．原理：单摆的等时性．
b．校准：调节摆长可调节钟表的快慢．
②测重力加速度：
由T＝2π得g＝．可见，只要测出单摆的摆长和周期，就可测出当地的重力加速度．
2. 思考判断
(1)单摆的振幅越大周期越大．(×)
(2)单摆的周期与摆球的质量无关．(√)
(3)摆长应是从悬点到摆球球心的距离．(√)
3. 探究交流
图11－4－1
摆钟的结构如图11－4－1所示，发现它走时不准时，为什么要调整摆锤下面的螺母？
【提示】 调整摆锤下面的螺母，以改变摆的摆长，从而改变摆的周期，以调整摆的走时快慢．
单摆的受力及运动特征
【问题导思】
1. 单摆的受力有何特点？
2. 在什么情况下单摆的摆动可看成简谐运动？
图11－4－2
1. 单摆的回复力
如图11－4－2所示，重力G沿圆弧切线 ( http: / / www.21cnjy.com )方向的分力G1＝mgsin θ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力：F＝G1＝mgsin θ.
2. 单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又因 回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．
1 .小球的重力在沿圆弧切线方向上的分力提供回复力，而不是小球的合力．
2 .单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在5°以内，误差不超过0.01%.
(2013·徐州检测)下列关于单摆的说法，正确的是( )
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A
B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
【审题指导】 解答本题时把握以下几点：
(1)明确单摆的受力特点．
(2)明确平衡位置的概念．
(3)明确回复力的概念．
(4)根据振幅的概念，找出单摆的振幅．
【解析】 简谐运动中的位 ( http: / / www.21cnjy.com )移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零．摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等于重力沿圆弧切线方向的分力)提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零．故应选C.
【答案】 C
1. 对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )
A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
【解析】 该题考查单摆做简谐运动时的回复 ( http: / / www.21cnjy.com )力．单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为mv2/l，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零，故应选C.
【答案】 C
对单摆周期的理解
【问题导思】
1. 单摆的周期与哪些因素有关？
2. 若把单摆放在绕地球运动的宇宙飞船中，单摆还能摆动吗？
1 .摆长l
实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝l0＋，l0为摆线长，D为摆球直径．
2 .重力加速度g
若单摆系统只处在重力场中且悬点处 ( http: / / www.21cnjy.com )于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．
1 .单摆的摆长是指从悬点到球心的距离，不能把绳子的长度看成摆长．
2 .公式中的重力加速度指的是在地球表面的重力加速度，如果是类单摆(与单摆的形式相同，但回复力不是重力的分力)，要找出等效重力加速度．
(2013·青岛检测)有一单摆，其摆长l＝1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，试求：
(1)当地的重力加速度是多大？
(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？
【审题指导】
【解析】 (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式
T＝2π，由此可得g＝，只要求出T值代入即可．
因为T＝＝ s≈2.027 s，
所以g＝＝ m/s2≈9.79 m/s2.
(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：＝，
故有：l0＝eq \f(Tl,T2)＝ m≈0.993 m.
其摆长要缩短Δl＝l－l0＝1.02 m－0.993 m＝0.027 m.
【答案】 (1)9.79 m/s2 (2)缩短 0.027 m
计算单摆周期的两种方法
计算单摆的周期有两种方法，一是依 ( http: / / www.21cnjy.com )据T＝2π，二是根据T＝.第一种方法利用了单摆的周期公式，从公式可以看出，单摆的周期取决于两个因素：一是摆长，二是当地的重力加速度．计算的关键是正确确定摆长．第二种方法利用了粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响．所以，应该尽量选精密计时仪器测量时间，从振动的最低点开始计时，而且尽量选择较多的振动次数．
2. (2013·杭 ( http: / / www.21cnjy.com )州检测)如图11－4－3所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距l－l′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为( )
图11－4－3
A．2π B．2π
C．π(＋) D．2π
【解析】 碰钉子前摆长为l，故周期T1＝2π，碰钉子后摆长变为l′，则周期T2＝2π，所以此摆的周期T＝＋＝π(＋)．
【答案】 C
【备选例题】(教师用书独具)
如图教11－4－1所示，三根细 ( http: / / www.21cnjy.com )线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使ΔAOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球(直径可忽略)．下列说法中正确的是( )
图教11－4－1
A．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面方向摆动，其周期T＝2π
C．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
D．让小球在垂直纸面内摆动，周期为T＝2π
【解析】 让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为悬点，摆长为L，周期为T＝2π.
让小球在垂直纸面内摆动，摆球以OC的延长线与AB的交点为中心摆动，摆长为L＋cos 30°＝L＋L，周期为T′＝2π ，选项A正确．
【答案】 A
用单摆测定重力加速度
【问题导思】
1. 实验时对单摆的偏角有何要求？
2. 测周期时应在摆球经过什么位置开始计时？
1. 实验目的
用单摆测定重力加速度g.
2. 实验原理
由单摆的周期公式T＝2π，可得g＝.
所以，只要测出单摆的摆长l和周期T，就能算出当地的重力加速度g.
3. 实验步骤
(1)做单摆
①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结．
②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记．
(2)测摆长
用刻度尺测出细线的长度l′，用游标卡尺测出摆球的直径D，则l＝l′＋即为单摆的摆长．
(3)测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度， ( http: / / www.21cnjy.com )且满足偏角小于5°，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过平衡位置时用停表开始计时，测量30～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的周期T.
4. 数据处理
(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．
设计如下所示实验表格
实验
次数 摆长
l(m) 周期
T(s) 加速度
g(m/s2) g平均值
1
2
3g＝
(2)图象法：由T＝2π得T2＝l，作出T2－l图象，如图11－4－4所示，即以T2为纵轴，以l为横轴．其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g.
图11－4－4
(2013·泉州检测)下面是用单摆测定重力加速度的实验数据.
摆长l/m 0.5 0.6 0.8 1.1
周期T2/s2 2.2 2.5 3.2 4.5
(1)利用上述数据在坐标图11－4－5中描出l－T2图象；
图11－4－5
(2)利用图象，取T2＝0.1×4π2≈3.95 s2，求出重力加速度．
【审题指导】 l－T2图象的斜率k＝，所以g＝4π2k，求出斜率即可求重力加速度．
【解析】 (1)图象如图所示．
(2)由图象中读出当T2＝3.95 s2时，l＝0.96 m，重力加速度g＝＝ m/s2＝9.6 m/s2.
【答案】 见解析
3 .(2013·西安检测)(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材为________．
A．1 m长的细线 B．1 m长的粗线
C．10 cm长的细线 D．泡沫塑料小球
E．小铁球 F．1/10秒刻度秒表
G．时钟 H．厘米刻度米尺
I．毫米刻度米尺
(2)在该实验中，单摆的摆角φ应____ ( http: / / www.21cnjy.com )____，从摆球经过________开始计时，测出n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测出摆线长为L，用游标卡尺测出摆球的直径为d.用上述物理量的符号写出测出的重力加速度的一般表达式为g＝________．
【解析】 (1)做摆长的细线要用 ( http: / / www.21cnjy.com )不易伸长的轻线，一般不应短于1米，选A；小球应是密度较大，直径较小的金属球，选E；计时仪器宜选用秒表F；测摆长应选用毫米刻度米尺I.
(2)根据单摆做简谐运动的条件知θ<5°；因平衡位置易判断，且经平衡位置时速度大，用时少，误差小，所以从平衡位置开始计时．
根据T＝2π
又T＝，l＝L＋
得g＝.
【答案】 (1)A、E、F、I
(2)小于5° 平衡位置
eq \a\vs4\al(,,,,\x(单摆)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定义),\x(单摆的回复力),\x(单摆的周期)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(等时性),\x(T＝2π\r(\f(L,g))),\x(条件θ<5°))),\x(测定重力加速度)))Ｋ
1 .(2013·泉州高二检测)振动着的单摆摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力、合外力的方向分别为( )
A．指向地面 指向悬点 B．指向悬点 指向地面
C．数值为零 指向悬点 D．指向运动方向 指向悬点
【解析】 振动着的单摆摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力是0，合外力沿半径指向悬点，C对．
【答案】 C
2. 用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )
A．不变
B．变大
C．先变大后变小再回到原值
D．先变小后变大再回到原值
【解析】 单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短，因而周期先变大后变小再回到原值，故选项C正确．
【答案】 C
3. (2013·延安检测)如图1 ( http: / / www.21cnjy.com )1－4－6所示，光滑轨道的半径为2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6 cm与2 cm，a、b两小球分
(教师用书独具)
●课标要求
1 .知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和位移．
2 .知道弹簧振子的位移——时间图象，理解简谐运动及其图象．
3 .通过简谐运动图象的绘制，认识简谐运动的特点．
4 .通过对简谐运动图象的绘制，培养认真，严谨，实事求是的科学态度．
5 .从图象中了解简谐运动的规律，培养分析问题的能力及审美能力(客观存在的简洁美、对称美等)
●课标解读
1 .了解弹簧振子的结构，知道什么是弹簧振子．
2 .理解振动的平衡位置，知道振子位移的概念．
3 .理解简谐运动的含义，能从简谐运动的图象中了解简谐运动的规律．
●教学地位
1 .简谐运动是最简单、最基本、最有规 ( http: / / www.21cnjy.com )律的机械振动，通过学习，使学生了解到机械振动的基本特点，又体会到振动这种运动形式较直线运动、曲线运动都要复杂．
2 .本节是机械振动的基础，也是以后学好机械波的基础．
(教师用书独具)
●新课导入建议
在自然界中有一种常见的运动，如微风中树枝的 ( http: / / www.21cnjy.com )颤动，心脏的跳动，钟摆的摆动，水中浮标的上、下浮动，担物行走时扁担的颤动，声带的振动，地震时大地的剧烈振动……，这些运动有什么特点和规律呢？这就是这节课我们要探讨的问题．
●教学流程设计
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课 标 解 读 重 点 难 点
1.知道机械振动是物体机械运动的另一种形式，知道机械振动的概念.
2.知道什么是弹簧振子，明确弹簧振子是理想化的物理模型.
3.理解物体做简谐运动的条件，掌握简谐运动的共同特征.
4.明确简谐运动图象的物理意义及表示方法. 1.知道弹簧振子模型的建立过程．(重点)
2.理解简谐运动的位移－时间图象．(重点)
3.掌握简谐运动中位移、速度、加速度的变化规律．(难点)
4.绘制振动图象，理解简谐运动的振动特征．(难点)
弹簧振子
1 .基本知识
(1)平衡位置：振子原来静止时的位置．
(2)机械振动
振子在平衡位置附近所做的往复运动，简称振动．
(3)振子模型
图11－1－1
如图11－1－1所示，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．
(4)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和往复性．
(5)弹簧振子的位移—时间图象
建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．
2 .思考判断
(1)弹簧振子是一种理想化的模型．(√)
(2)弹簧振子的平衡位置都在原长处．(×)
(3)振动的物体可以做直线运动，也可以做曲线运动．(√)
3 .探究交流
有同学说，既然弹簧振子的振动图象是一条正弦曲线，那么振子的运动轨迹也应是正弦曲线，结合水平方向的弹簧振子想一下，这种说法对吗？为什么？
【提示】 不对，因为振动图象不是运动轨迹．例如，水平方向的弹簧振子振动时，振子的运动轨迹是一条直线．
简谐运动及其图象
1 .基本知识
(1)定义
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动．
(2)特点
简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动．弹簧振子的运动就是简谐运动．
(3)简谐运动的图象
①简谐运动的图象是振动物体的位移随时间的变化规律．
②简谐运动的图象是正弦(或余弦)曲线，从图象上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度大小和方向的变化趋势．
2 .思考判断
(1)医院里的心电图记录了心脏的振动情况．(√)
(2)振子的位移相同时，速度也相同．(×)
(3)简谐运动的图象都是正弦或余弦曲线．(√)
3 .探究交流
振子的位移与运动学中的位移意义相同吗？
【提示】 简谐运动中的位移和前面运动学中的 ( http: / / www.21cnjy.com )位移有不同之处，运动学中物体的位移参考点为出发点，简谐运动中质点的位移参考点为平衡位置．可巧记为“平衡位置就是家，位移总是相对它”．
对弹簧振子和简谐运动的理解
【问题导思】
1 .用手协调地拍皮球，使球上、下往复跳动的时间相等，皮球的往复运动是简谐运动吗？
2 .弹簧振子的运动是简谐运动吗？
3 .做简谐运动的物体，位移相同，加速度是不是一定相同？
1 .对弹簧振子的理解
(1)弹簧振子是一种理想模 ( http: / / www.21cnjy.com )型，如果小球所受的阻力可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可忽略，振动范围不超过弹性限度，则该装置可视为弹簧振子．
(2)弹簧振子不一定在水平面内运动．
弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧 ( http: / / www.21cnjy.com )振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子)，但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大．
2 .简谐运动的特点
(1)振动的位移
①振子在某一时刻的位移
研究振动时所说的位移，都是指振子相 ( http: / / www.21cnjy.com )对于平衡位置的位移，即振子在某时刻的位移是由平衡位置指向振子所在位置的有向线段．位移是矢量，若规定平衡位置右侧的位移为正，则振子在平衡位置左侧时位移就为负，与振子运动的速度方向无关．
②振子在某段时间内的位移
这种说法与运动学里位移的意义相同，是指由初位置指向末位置的有向线段．
(2)简谐运动的速度
①物理含义：速度是描述振子在平衡位 ( http: / / www.21cnjy.com )置附近振动快慢的物理量．在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．
②特点：如图11－1－2所示为一简谐运动的模型，振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零．
图11－1－2
(3)简谐运动的加速度
水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡位置时，弹簧的弹力为零，故加速度为零；在最大位移处，弹簧的弹力最大，故加速度最大．不管弹簧是拉伸或压缩，弹力对振子的作用力方向总是指向平衡位置，即加速度的方向总是指向平衡位置；大小随位移的增大而增大，随位移的减小而减小．
(4)简谐运动的对称性
如图11－1－3所示，物体在A、B间做简谐运动，O点为平衡位置，C、D两点关于O点对称，则有：
图11－1－3
①时间对称
tOB＝tBO＝tOA＝tAO＝，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA.
②速度对称
物体连续两次经过同一点(如 ( http: / / www.21cnjy.com )D点)的速度大小相等，方向相反．物体经过关于O点对称的两点(如C点和D点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
③加速度对称
物体经过关于O点对称的两点(如C点和D点)时，加速度总是大小相等，方向相反，与物体运动的方向无关．
1 .简谐运动中的位移如果不特别说明是在某段时间内的位移，均指某一时刻的位移．
2 .位移、速度、加速度都是矢量，当振子通过某一位置时，位移和加速度方向是一定的，速度方向有两种可能．
(2013·海口检测)一弹簧振子做简谐运动，以下说法正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
C．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
D．振子在平衡位置两侧对称的位置上，其速度、位移都反向
【审题指导】 结合最简单的水平弹簧振子的振动示意图，按照下列顺序判断：
位移x?弹簧弹力?加速度(a＝)?速度变化趋势．特别注意位移、速度、加速度都是矢量．
【解析】 加速度的方向与 ( http: / / www.21cnjy.com )位移方向相反，位移方向为负时，加速度方向一定为正，但速度方向为物体运动方向，与位移方向无关，可正可负，A错．振子每次经过平衡位置时，加速度为零且速度大小相等，但方向不一定相同，B错．每次通过同一位置时，位移相同，故加速度相同，速度大小相同，但方向不一定相同，C对．同理在平衡位置两侧对称的位置上，位移方向相反，速度方向可能相同，也可能相反，D错，故选C.
【答案】 C
1 .在机械振动中，位移是相对平衡位置而言的，规定平衡位置为位移的起始点．
2 .要注意结合运动学的知识分析简谐运动，矢量相同不仅仅是大小相等，方向也应该相同．
1 .在图11－1－4中，当振子由A向O运动时，下列说法中正确的是( )
图11－1－4
A．振子的位移在减小 B．振子的运动方向向左
C．振子的位移方向向左 D．振子的位移在增大
【解析】 对简谐运动而言，其位移总是相 ( http: / / www.21cnjy.com )对平衡位置O而言，所以C、D错误；由于振子在O点右侧由A向O运动，所以振子的位移方向向右，位移大小不断减小．故A、B选项正确．
【答案】 AB
简谐运动的图象
【问题导思】
1 .振动图象都是正弦或余弦曲线吗？
2 .能否根据振动图象的斜率判断速度的变化？
3 .如何根据振动图象分析位移、速度、加速度的变化？
1. 振动图象是振子的位移随时间的变化规律，根据振动图象：
(1)可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小．
(2)从振动图象上可直接读出正(负)位移的最大值．
(3)可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小和变化趋势．
2. 应用振动图象时，首先要注意理解好图象与振动物体的实际振动过程的对应关系：
(1)简谐运动的图象不是振动质点的轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )．做简谐运动的质点的轨迹是质点(如弹簧振子)往复运动的那一段线段．这种往复运动的位移图象，就是以x轴上纵坐标的数值表示质点相对平衡位置的位移，以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x－t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象．
(2)对同一振动物体，图象的形状与 ( http: / / www.21cnjy.com )起始时刻的选取和正方向的规定有关．利用图象解题，首先要深刻理解图象的意义并能做到见图象而知实际振动过程，同时也能由实际振动过程回归图象．
1 .图象法是物理学上研究和描述物体的运动时常用的方法，它能够形象直接地反应物理规律，帮助我们研究物理现象，解决实际问题．
2 .用图象研究振动时，应注意确定振动的周期、振幅、相位等．
将某弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，弹簧振子的振动图象如图11－1－5所示，则在t＝0.15 s时( )
图11－1－5
A．振子正在做加速度减小的加速运动
B．振子正在做加速度增大的减速运动
C．振子速度方向沿x轴正方向
D．振子的位移一定大于2 cm
【审题指导】 (1)振动图象中位移越大加速度越大，但速度越小．
(2)在平衡位置时加速度为零，速度最大．在偏离平衡位置时，振子运动的方向与位移方向相同．
【解析】 振子在t＝0.15 s时，正在 ( http: / / www.21cnjy.com )向负的最大位移处运动，加速度正在增大，速度正在减小，速度方向沿x轴负方向，选项A、C错误，B正确；因为振子在0.1～0.2 s内做减速运动，所以振子在0.1～0.15 s内运动的速度大于在0.15～0.2 s内运动的速度，故在t＝0.15 s时振子的位移一定大于2 cm，选项D正确．
【答案】 BD
利用振动图象解题方法
1 .图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段对应振动的一个过程．
2 .判断好平衡位置，最大位移和振动方向是解题的关键．
2 .如图11－1－6甲所示，在弹 ( http: / / www.21cnjy.com )簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线．若振动曲线如图乙所示，由图象判断下列说法正确的是( )
甲
乙
图11－1－6
A．振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm
B．1 s末到5 s末振子的路程为10 cm
C．2 s和4 s末振子的位移相等，运动方向也相同
D．振子在2 s内完成一次往复性运动
【解析】 由图象可知振子偏离平衡位置的 ( http: / / www.21cnjy.com )最大距离为10 cm，4 s内完成一次往复性运动，A对，D错；1 s末到5 s末振子的路程是振子运动路径的总长40 cm，故B错误；2 s末和4 s末振子位移均为零，位移相同，2 s末振子向负方向运动，4 s末振子向正方向运动，运动方向相反，故C错误．
【答案】 A
【备选例题】(教师用书独具)
如图教11－1－1，是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移－时间图象，下列有关该图象的说法正确的是( )
图教11－1－1
A．该图象的坐标原点建立在振子的平衡位置
B．从图象可以看出振子在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图象中振子的疏密显示出相同时间内振子位置变化的快慢不同
【审题指导】 由图可直观地获得以下信息：
(1)O时刻振子的位置．
(2)振子的振动方向．
(3)底片的运动方向(t轴负方向)．
(4)振子速度的变化情况等．
【解析】 由图象可知，O时刻振 ( http: / / www.21cnjy.com )子位移为0，故位于平衡位置，选项A正确；振子只在x轴上振动，选项B错误，C正确；图象中两相邻振子之间的时间间隔相同，疏处说明其位置变化快，密处说明其位置变化慢，故选项D正确．
【答案】 ACD
综合解题方略——简谐运动图象
的获取方法
如图11－1－7所示为获取弹簧振子的位移－时间图象的一种方法，小球的运动轨迹是往复运动的一段线段，而简谐运动的图象是正弦(或余弦)曲线．下列说法正确的是( )
图11－1－7
A．如果纸带不动，作出的振动图象仍然是正弦函数曲线
B．如果纸带不动，作出的振动图象是一段线段
C．图示时刻，振子正经过平衡位置向右运动
D．若纸带运动的速度不恒定，则纸带上描出 的仍然是简谐运动的图象
【规范解答】 当纸带不动时，描出的只是 ( http: / / www.21cnjy.com )振子在平衡位置两侧往复运动的轨迹，即一段线路，选项A错误，B正确；由振动图象可以看出，图示时刻振子正由平衡位置向右运动，选项C正确；只有当纸带匀速运动时，运动时间才与纸带运动的位移成正比，振动图象才是正弦或余弦函数曲线，而简谐运动的图象一定是正弦或余弦函数曲线，故选项D错误．
【答案】 BC
1 .简谐运动的位移－时间图象反映的是质 ( http: / / www.21cnjy.com )点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律，简谐运动的图象并不是质点的运动轨迹，运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度．
2 .改变纸带运动的速度，可以改变简谐运动的图象，但并不能改变质点运动的轨迹．
3 .在x－t图象上，质点在某时刻的位移，即为此时刻对应的纵坐标．
4 .质点在某段时间内的路程(轨迹的长度)，需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算．
1. 下列运动中属于机械振动的是( )
A．树枝在风的作用下运动
B．竖直向上抛出的物体的运动
C．说话时声带的运动
D．爆炸声引起窗扇的运动
【解析】 物体在平衡位置附近 ( http: / / www.21cnjy.com )所做的往复运动属于机械振动，故A、C、D正确；竖直向上抛出的物体到最高点后返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于机械振动，故B错误．
【答案】 ACD
2. (2013·合肥高二检测)简谐运动属于下列哪种运动( )
A．匀变速运动 B．匀速直线运动
C．非匀变速运动 D．匀加速直线运动
【解析】 简谐运动的速度是变化的，B错；加速度也是变化的，A、D错，C对．
【答案】 C
3.
图11－1－8
如图11－1－8所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是( )
A．钢球运动的最高处为平衡位置
B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度为零处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
【解析】 钢球振动的平衡位置应在钢球重力与弹力相等的位置，即钢球静止时的位置，故D正确．
【答案】 D
4 .如图11－1－9所示是表示一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是( )
图11－1－9
A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D．该图象是从平衡位置计时画出的
【解析】 从图象可以看出，t＝0时刻， ( http: / / www.21cnjy.com )振子在正的最大位移处，因此是从正最大位移处开始计时画出的图象，D项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此是通过平衡位置向负方向运动，A项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，B项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻正通过平衡位置向正方向运动，C项正确．
【答案】 BC
1 .做简谐运动的质点在通过平衡位置时，下列物理量中，具有最大值的物理量是( )
A．动能 B．加速度 C．速度 D．位移
【解析】 平衡位置处，合外力为0，位移为0，速度为最大值，故动能也为最大值．
【答案】 AC
2 .如图所示，属于简谐运动的是( )
【解析】 根据简谐运动的定义可知，其位移图象为正弦或余弦曲线A、B、C正确，D错误．
【答案】 ABC
3 .做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内( )
A．振子的位移越来越大
B．振子正向平衡位置运动
C．振子速度与位移方向相同
D．振子速度与位移方向相反
【解析】 弹簧振子在某段时间内速度越来 ( http: / / www.21cnjy.com )越大，说明它正向平衡位置运动，故位移越来越小，A错，B对；位移方向是从平衡位置指向振子，故振子速度与位移方向相反，C错，D对．
【答案】 BD
4 .如图11－1－10所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子m离开O点，再从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是( )
图11－1－10
A．大小为OC，方向向左 B．大小为OC，方向向右
C．大小为AC，方向向左 D．大小为AC，方向向右
【解析】 振子离开平衡位置，以O点为起点，C点为终点，位移大小为OC，方向向右．
【答案】 B
5 .
图11－1－11
如图11－1－11所示，一弹性小球被水平抛出，在两个互相竖直平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( )
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
【解析】 机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也肯定不是简谐运动．
【答案】 D
6 .
图11－1－12
(2013·临川月考)如图11－1－12所示，弹簧振子做简谐运动，其位移x与时间t的关系如图所示，由图可知( )
A．在t＝1 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零
B．在t＝2 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零
C．在t＝3 s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大
D．在t＝4 s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大
【解析】 t＝1 s时，位移最大，加速度 ( http: / / www.21cnjy.com )最大，速度为零，选项A错误；t＝2 s时，位移为零，加速度为零，而速度最大．速度方向要看该点切线斜率的正、负，t＝2 s时，速度为负值，选项B正确；t＝3 s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项C错误；t＝4 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项D错误．
【答案】 B
7 .
图11－1－13
如图11－1－13所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
【解析】 由图象可知从P→Q物体远离平衡位置 ( http: / / www.21cnjy.com )向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，选项C、D错误．
【答案】 A
8 .
图11－1－14
(2013·山东临沂检测)某弹簧振子的振动图象如图11－1－14所示．根据图象判断，下列说法正确的是( )
A．第1 s内振子相对于平衡位置的位移与速度方向相反
B．第2 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cm
C．第2 s末和第3 s末振子相对于平衡位置的位移不相同，但瞬时速度方向相反
D．第1 s内和第2 s内振子相对于平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反
【解析】 第1 s内振子相对于平衡位 ( http: / / www.21cnjy.com )置的位移为正方向，速度方向也为正方向，A错；第2 s末振子在平衡位置，位移为零，B错；第3 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cm，第2 s末振子恰好过平衡位置，且正向－x轴方向运动，而第3 s末振子瞬时速度刚好为零，所以C错；第2 s内振子的位移方向与速度方向相反，所以D正确．
【答案】 D
9 .一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图11－1－15所示，由图可知，t＝2.5 s时，质点的( )
图11－1－15
A．速度、加速度均为负方向
B．速度为正方向，加速度为负方向
C．质点正向平衡位置运动
D．质点正远离平衡位置向最大位移处运动
【解析】 质点在2.5 s时正由负位移处向平衡位置运动，C对，D错，位移为负，速度、加速度为正，A、B均错．
【答案】 C
10 .心电图是现代医疗诊断的重要手 ( http: / / www.21cnjy.com )段，医生从心电图上测量出相邻两波峰(或波谷)的时间间隔即为心动周期，由此可以计算出1 min内心脏跳动的次数(即心率)，甲、乙两人在同一台心电图机上作出的心电图如图11－1－16所示，医生通过测量记下甲的心率是60 次/min，则由两图及甲的心率可知心电图机图纸移动的速率v以及乙的心率是( )
甲 乙
图11－1－16
A．25 mm/s；48 次/min
B．25 mm/s；75 次/min
C．25 mm/min；75 次/min
D．25 mm/min；48 次/min
【解析】 甲的心率为60 次/min，则 ( http: / / www.21cnjy.com )甲1 s跳1次．结合甲图可知，心电图的移动速率为25 mm/s，再结合乙图可求乙的心率为75 次/min，故选B.
【答案】 B
11 .
图11－1－17
(2013·沈阳检测)如图11－1－17所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
(1)质点在第2 s末的位移是多少？
(2)质点振动过程中的最大位移为多少？
(3)在前4 s内，质点经过的路程为多少？
【解析】 (1)由x －t图象可以读出2 s末质点的位移为零．
(2)质点的最大位移在前4 s里发生在1 s末和3 s末，位移大小为10 cm.
(3)前4 s，质点先朝正方向运动了距离为10 cm的一个来回，又在负方向上进行了一个10 cm距离的来回，故总路程为40 cm.
【答案】 (1)0 (2)10 cm (3)40 cm
12 .在心电图仪、地震仪等仪器 ( http: / / www.21cnjy.com )工作过程中，要进行振动记录，如图11－1－18(甲)所示是一种常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带．当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图11－1－18(乙)所示．若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，作出P的振动图象．
图11－1－18
【解析】 该题考查简谐运动图象的画法 ( http: / / www.21cnjy.com )．题图(乙)中运动的位移值可以对应不同的时刻，由x＝vt可知，当x＝20 cm时，对应时间t＝＝0.2 s，作出图象如图所示
【答案】 见解析
2简谐运动的描述
(教师用书独具)
●课标要求
1 .知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义．
2 .理解周期和频率的关系，知道固有周期和频率与振幅无关．
3 .知道相位和相位差，理解简谐运动的表达式．
4 .通过观察演示实验，总结频率与振幅无关，培养学生的观察、概括能力．
5 .每种运动都要选取能反映本身特点的物理量来描述，使学生知道不同性质的运动包含各自不同的特殊矛盾．
●课标解读
1 .知道什么是简谐运动的振幅、周期和频率．
2 .理解周期和频率的关系，知道固有周期和频率与振幅无关．
3 .了解相位和相位差，知道简谐运动表达式的含义．
●教学地位
本节内容是在上一节了解简谐运动位移的基 ( http: / / www.21cnjy.com )础上，以简谐运动为例，学习描述振动特点的物理量，为描述其他振动奠定基础，进而使学生了解不同的运动形式应用不同的物理量描述，通过振动方程的学习，使学生对简谐运动的特征有更深刻的认识，是本章的重点内容．
(教师用书独具)
●新课导入建议
上节课学习了简谐运动的运动特点，简谐运动是一种新的运动形式，需要引入新的物理量来描述，然后得到它的运动规律，这节课我们探讨这个问题．
●教学流程设计
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课 标 解 读 重 点 难 点
1.知道简谐运动的振幅、周期和频率.
2.理解周期和频率的关系以及固有周期和固有频率的含义.
3.知道相位是描述简谐运动的状态量，会从简谐运动的图象上找出各个时刻的相位.
4.理解简谐运动的表达式，会根据振动方程描绘振动图象. 1.简谐运动的振幅、周期和频率的概念．(重点)
2.振幅和位移的区别和联系．(难点)
3.相位的物理意义．(难点)
描述简谐运动的物理量
1 .基本知识
(1)振幅
①定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振幅．用A表示，单位为米(m)．
②物理含义：振幅是描述振动强弱的物理量；振幅的大小反映了振动系统能量的大小．
(2)全振动
振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次全振动．
(3)周期和频率
内容 周期 频率
定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期 单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率
单位 单位为秒(s) 单位为赫兹(Hz)
物理
含义 振动周期是表示振动快慢的物理量 频率是表示振动快慢的物理量
决定
因素 物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关
关系式 T＝
(4)相位：描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．
2 .思考判断
(1)振幅就是振子的最大位移．(×)
(2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期．(×)
(3)两个相同的弹簧振子，同时放开小球让它们振动，它们的相位相同．(√)
3 .探究交流
如果改变弹簧振子的振幅，其振动的周期是否会改变呢？弹簧振子的周期与什么因素有关呢？我们可以提出哪些猜想？怎样设计一个实验来验证这个猜想？
【提示】 猜想：影响弹簧振子 ( http: / / www.21cnjy.com )周期的因素可能有：振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数等．我们可以设计这样一个实验：弹簧一端固定，弹簧的另一端连着有孔小球，使小球在光滑的水平杆上滑动．通过改变振幅、振子的质量和弹簧的劲度系数，测量不同情况下振子的周期，注意在改变一个物理量的时候其他物理量应保持不变．
简谐运动的表达式
1 .基本知识
简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)
(1)A表示简谐运动的振幅．
(2)ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf．
(3)ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相．
2 .思考判断
(1)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关．(×)
(2)一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动．(√)
(3)简谐运动的表达式x＝A sin(ωt＋φ)中，ωt＋φ的单位是弧度．(√)
3 .探究交流
简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的含义是什么？
【提示】 两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同，例如甲和乙两个简谐运动的相位差为π，意味着乙总比甲滞后个周期或次全振动．
描述简谐运动的物理量之间的关系
【问题导思】
1 .振幅与振子的位移有什么区别和联系？
2 .知道如何计算振子的路程吗？
3 .知道周期和频率与振幅的关系吗？
1 .对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五个特征．
(1)振动特征：一个完整的振动过程．
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
(3)时间特征：历时一个周期．
(4)路程特征：振幅的4倍．
(5)相位特征：增加2π.
2 .简谐运动中振幅和几个常见量的关系
(1)振幅和振动系统的能量关系：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统的能量越大．
(2)振幅与位移的关系：振 ( http: / / www.21cnjy.com )动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移的大小相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(3)振幅与路程的关系：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍的振幅．
(4)振幅与周期的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
1 .一次全振动是指物体的位移和速度的大小、方向连续两次完全相同所经历的过程(振子将除最大位移处所有可能到达的位置都到达了两次)．
2 .四分之一个周期内的路程可以等于一个振幅，可以大于一个振幅，也可以小于一个振幅．
弹簧振子从距离平衡位置5 cm处由静止释放，在4 s内完成5次全振动．
(1)这个弹簧振子的振幅为________cm，振动周期为________s，频率为________Hz.
(2)4 s末振子所在位置的位移大小为________cm，4 s内振子运动的路程为________cm.
(3)若其他条件不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5 cm处由静止释放，该振子的周期为________s.
【审题指导】 (1)根据全振动的次数计算周期和频率．
(2)根据一个周期通过4个振幅求路程．
(3)周期与振幅无关．
【解析】 (1)根据题意，振子从距平衡位置 ( http: / / www.21cnjy.com )5 cm处由静止释放，说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5 cm，即振幅为5 cm.振子在4 s内完成5次全振动，则T＝0.8 s，又因为f＝得f＝1.25 Hz.
(2)4 s内完成5次全振动，即4 s末振子 ( http: / / www.21cnjy.com )又回到原来的初始点，因而振子所在位置的位移大小为5 cm.振子一次全振动通过的路程为20 cm，则5次全振动通过的路程为100 cm.
(3)弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子质量决定，其周期与振幅大小无关，故周期仍为0.8 s.
【答案】 (1)5 0.8 1.25 (2)5 100 (3)0.8
1 .(2013· 厦门高二检测)一个做简 ( http: / / www.21cnjy.com )谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为( )
A．4 cm、10 cm B．4 cm、100 cm
C．0、24 cm D．0、100 cm
【解析】 质点的振动周期T＝＝0.4 s，
故时间t＝T＝6T，
所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，
质点通过的路程为s＝4A·＝4×4×6 cm＝100 cm，B正确．
【答案】 B
对简谐运动表达式的理解
【问题导思】
1 .你能正确写出简谐运动的表达式吗？
2 .简谐运动的表达式中各物理量的含义是什么？
3 .怎样利用简谐运动的表达式分析问题？
1. 简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．
2. 各量的物理含义
(1)圆频率：表达式中的ω称作简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物体振动的快慢．与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf.
(2)φ表示t＝0时，简谐运 ( http: / / www.21cnjy.com )动质点所处的状态，称为初相位或初相．ωt＋φ代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．
3 .从运动方程中得到的物理量
振幅、周期、圆频率和初相位，因此可应用运动方程和ω＝＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差．
1 .相位φ是时间t的线性函数，即φ＝ωt＋φ0.相位随时间的增加而增大，时间t在振动的表达式中是自变量．
2 .相位能够统一地表述简谐运动的状态和振动的周期性．
一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5 sin(8πt＋π) cm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋π) cm，求它们的相位差．
【审题指导】 (1)从表达式中直接读出振幅、圆频率和初相．
(2)利用关系式ω＝和f＝求出T、f.
(3)利用Δφ＝φ2－φ1求解相位差．
【解析】 (1)已知ω＝8π，由ω＝得T＝ s，f＝＝4 Hz.A＝5 cm，φ1＝.
(2)由Δφ＝φ2－φ1得Δφ＝π－＝π.
【答案】 (1) s、4 Hz、5 cm、 (2)π
用简谐运动表达式解答问题的方法
1 .明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相．
2 .ω＝＝2πf是解题时常涉及到的表达式．
3 .解题时画出其振动图象，会使解答过程简捷、明了．
2 .(2012·北京高考)一 ( http: / / www.21cnjy.com )个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图象是( )
【解析】 根据F＝－kx及牛顿第二定律得a ( http: / / www.21cnjy.com )＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．
【答案】 A
【备选例题】(教师用书独具)
如图教11－2－1所示的振动图象上有a ( http: / / www.21cnjy.com )、b、c、d、e、f六点，其中：(1)与a位移相同的点有哪些？(2)与a速度相同的点有哪些？(3)b点离开平衡位置的最大距离有多大？
图教11－2－1
【解析】 (1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)b离开平衡位置的最大距离即为振动物体最大位移的大小．由图知最大距离为2 cm.
【答案】 (1)b、e、f (2)d、e (3)2 cm
综合解题方略——简谐运动的对
称性和周期性的应用
物体做简谐运动，通过A点时的速度大小为v，经1 s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过1 s物体又通过B点，已知物体在2 s内所走过的总路程为12 cm.则该简谐运动的周期和振幅分别是多少？
【审题指导】 (1)物体通过A时速度方向可能向左也可能向右．
(2)画出运动轨迹图，注意速度、位移、时间的对称性．
【规范解答】
甲 乙
物体通过A点和B点的速度大小相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称．如果物
体从A先向平衡位置运动，根据题意作 ( http: / / www.21cnjy.com )出物体的运动路径图如图甲所示，物体从A点向右运动到B，即图甲中从1运动到2，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，从1到3共经历了0.5T，即0.5T＝2 s，T＝4 s，2A＝12 cm，A＝6 cm.
如果物体从A先远离平衡位置运动， ( http: / / www.21cnjy.com )如图乙所示，当物体第一次以相同的速度通过B点时，即图乙中从1运动到2时，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，同样A、B两点关于O点对称，从图中可以看出1到3共经历了1.5T，即1.5T＝2 s，T＝ s，1.5×4A＝12 cm，A＝2 cm.
【答案】 T＝4 s，A＝6 cm或T＝ s，A＝2 cm
简谐运动是一种周期性的运动，其运动过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中每一个物理量都随时间周期性变化．因此，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．分析此类问题，一般从简谐运动的周期性去思考，找出多解问题的表达方式，以保证解答的完整性．
1. (2013·深圳检测)有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1 1∶1 B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4 D．1∶2 1∶2
【解析】 弹簧的压缩量即为振子振动过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2.而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1∶1.
【答案】 B
2. 如图11－2－1所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间振动，则( )
图11－2－1
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．OB的大小不一定等于OC
【解析】 O为平衡位置，B、C为两侧最 ( http: / / www.21cnjy.com )远点，则从B起始经O、C、O、B路程为振幅的4倍，即A对；若从O起始经B、O、C、B路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B错；若从C起始经O、B、O、C路程为振幅的4倍，即C对；因弹簧振子系统的摩擦不考虑，所以振幅一定，D错．
【答案】 AC
3. 一质点做简谐运动的图象如图11－2－2所示，下列说法正确的是( )
图11－2－2
A．质点振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
【解析】 由振动图象可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz，故选项A错误．振幅为2 cm，一个周期内质点经过的路程为4A，10 s为2.5个周期，经过的路程为2.5×4A＝10A＝20 cm，选项B是正确的.4 s末质点在平衡位置，且速度最大，故选项C错误．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点分别在正最大位移和负最大位移处，质点位移大小相等、方向相反，故选项D错误．
【答案】 B
4 .有两个振动的振动方程分别是：x1＝3sin(100πt＋)，x2＝5sin(100πt＋)，下列说法正确的是( )
A．它们的振幅相同
B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定
D．它们的振动步调一致
【解析】 方程1代表的振子振动振幅 ( http: / / www.21cnjy.com )为3；圆频率为ω＝2πf＝100π，则f＝50 Hz；初相为.方程2代表的振子振动振幅为5；圆频率为ω＝2πf＝100π，则f＝50 Hz；初相为，所以A错，B对．由于它们的振动周期相同，所以它们的相位差为－＝，因此它们在振动时步调不一致，故正确选项为B、C.
【答案】 BC
5 .弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：
(1)振子的振幅；
(2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s内通过的路程及5 s时的位移大小．
【解析】 (1)振幅设为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以A＝10 cm.
(2)从B点首次到达C点的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1 s，
再根据周期和频率的关系可得f＝＝1 Hz.
(3) 振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，即一个周期运动的路程为40 cm，
s＝·4A＝5×40 cm＝200 cm
5 s的时间为5个周期，振子又回到原始点B，位移大小为10 cm.
【答案】 (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm 10 cm
1 .振动周期指振动物体( )
A．从任何一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用时间
C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用时间
D．经历了四个振幅的时间
【解析】 振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，C、D正确．
【答案】 CD
2 .关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
【解析】 振幅是振子离平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡位置最大的距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D错．
【答案】 A
3 .
图11－2－3
(2013·沈阳高二检测)两个简谐振动的曲线如图11－2－3所示．下列关于两个图象的说法正确的是( )
A．两个振动周期相同
B．两个振动振幅相同
C．两个振动的表达式相同
D．两个振动初相相同
【解析】 从振动图象可以看出两个振 ( http: / / www.21cnjy.com )动的周期相同，离开平衡位置的最大位移即振幅相同，A、B对．两个振动的零时刻相位即初相不同，相位不同，表达式不同，C、D错．
【答案】 AB
4 .有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m
B．x＝8×10－3sin(4πt－) m
C．x＝8×10－1sin(πt＋π) m
D．x＝8×10－1sin(t＋) m
【解析】 由题意知，ω＝＝4π，t＝0时具有负方向的最大加速度，所以t＝0时振子具有最大的正位移，故初相位φ＝.
【答案】 A
5 .一个做简谐运动的弹簧振子 ( http: / / www.21cnjy.com )，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到x＝处所经历的时间为t1，第一次从最大位移处运动到x＝所经历的时间为t2，关于t1与t2，以下说法正确的是( )
A．t1＝t2 B．t1＜t2
C．t1＞t2 D．无法判断
【解析】 画出x－t图象，从图象上，我们可以很直观地看出：t1＜t2，因而正确答案为B.
【答案】 B
6 .
图11－2－4
(2013·芜湖检测)如图11－2 ( http: / / www.21cnjy.com )－4所示为某一质点的振动图象，由图可知，在t1和t2两时刻|x1|＞|x2|，质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系正确的是( )
A．|v1|＜|v2|，方向相同
B．|v1|＜|v2|，方向相反
C．|a1|＞|a2|，方向相同
D．|a1|＞|a2|，方向相反
【解析】 在t1时刻，质点 ( http: / / www.21cnjy.com )向平衡位置运动，在t2时刻，质点远离平衡位置运动，故速度v1与v2方向相同，由于|x1|＞|x2|，所以|v1|＜|v2|，A对；在t1和t2时刻，质点离开平衡位置的位移方向相反，因而回复力方向相反，加速度方向相反，但|x1|＞|x2|，t1时刻回复力大于t2时刻回复力，故|a1|＞|a2|，D对．
【答案】 AD
7 .
图11－2－5
如图11－2－5所示，弹簧振子的频率为5 Hz，让它从B位置开始振动，并开始计时，则经过0.12 s时( )
A．小球位于BO之间，运动方向向右
B．小球位于BO之间，运动方向向左
C．小球位于CO之间，运动方向向右
D．小球位于CO之间，运动方向向左
【解析】 周期T＝＝0.2 s，则＝＝0.6，即t＝0.6T，T＜t＜T，所以小球位于CO之间，运动方向向右，C正确．
【答案】 C
8 .(2013·昆明检测)一个质点做简谐运动的图象如图11－2－6所示，下列叙述中正确的是( )
图11－2－6
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
【解析】 由振动图象可直接得到 ( http: / / www.21cnjy.com )周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故选项A是错误的．一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8 cm，10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B是正确的．由图象知位移与时间的关系为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sin(t) m．当t＝5 s时，其相位ωt＋φ0＝×5＝π，故C不正确．在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x＝Asin 135°＝A＝ cm，故D正确．
【答案】 BD
9 .
图11－2－7
(2013·银川检测)一个做简谐运动的质点， ( http: / / www.21cnjy.com )先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s(如图11－2－7)．过B点后再经过t＝0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( )
A．0.5 s B．1.0 s C．2.0 s D．4.0 s
【解析】 根据题意，由振动的对称性可 ( http: / / www.21cnjy.com )知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达右方极端位置(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．所以，质点从O到D的时间：tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s.
所以T＝2.0 s.
【答案】 C
10 .如图11－2－ ( http: / / www.21cnjy.com )8所示的三个图线分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图线．图中记录的声带振动图线总长和弹簧振子振动的图线总长都为10 cm，图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8 cm/s.从三个图线可知( )
图11－2－8
A．弹簧振子振动具有周期性，而声带振动和心脏跳动不具有周期性
B．弹簧振子振动和心脏跳动具有周期性，而声带振动不具有周期性
C．这三个物体振动的共同特点是都具有周期性，最简单的振动是心脏跳动
D．从心电图可知此人的心率约是67.5次/分
【解析】 三个振动图线都 ( http: / / www.21cnjy.com )是周期性变化的，因此，这三个振动物体的共同特点是具有周期性，其中最简单的振动是弹簧振子的振动，故A、B、C均错；由心脏跳动的图线可知，在心脏每跳一下时间间隔内，方格纸前移距离为x＝3.2×0.5 cm＝1.6 cm，所以心脏跳动的间隔时间为T＝＝ s＝ s，此人心率即每分钟心跳次数为次/分＝67.5次/分．故D正确．
【答案】 D
11 .(2013·潍坊高二检测) ( http: / / www.21cnjy.com )一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动．
(1)试写出用正弦函数表示的振动方程．
(2)10 s内通过的路程是多少？
【解析】 (1)简谐运动振动方程的一般 ( http: / / www.21cnjy.com )表示式为x＝Asin(ωt＋φ)．根据题目条件，有：A＝0.08 m，ω＝2πf＝π.所以x＝0.08sin(πt＋φ) m．将t＝0，x＝0.04 m，代入得0.04＝0.08sin φ，解得初相位φ＝或φ＝π，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝π.故所求的振动方程为x＝0.08sin(πt＋π) m.
(2)周期T＝＝2 s，所以t＝5T，因1T内的路程是4A，则通过的路程s＝5×4A＝20×8 cm＝160 cm.
【答案】 (1)x＝0.08sin(πt＋π) m (2)160 cm
12 .(2013·青岛检测)有一弹簧 ( http: / / www.21cnjy.com )振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图11－2－9中作出该振子的位移－时间图象；
图11－2－9
(3)写出振子的振动表达式．
【解析】 (1)振子的振幅A＝10 cm，振子的周期T＝＝0.2 s.
(2)如图所示．
(3)表达式为x＝－Asin ωt＝－0.1sin (10πt)m.
【答案】 见解析
3简谐运动的回复力和能量
(教师用书独具)
●课标要求
1 .知道简谐运动的回复力特点及回复力的来源．
2 .知道振幅越大，振动的能量(总机械能)越大．
3 .掌握简谐运动的判断方法．
4 .理解简谐运动中各物理量的变化规律，会分析具体问题．
●课标解读
1 .掌握简谐运动回复力的特征，能准确分析回复力的来源．
2 .理解简谐运动的规律，掌握在一次全振动过程中位移、加速度、速度和能量的变化规律．
3 .会用能量守恒的观点，分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律．
4 .通过对弹簧振子做简谐运动的分析，在培养学生分析和解决问题的能力的同时，使学生知道从个别到一般的思维方法．
●教学地位
本节内容是该章的重点内容，振动过程的特征分析是高考的热点，也是理解简谐运动的一个关键点．
(教师用书独具)
●新课导入建议
前面两节课我们从运动学的角度研究了简谐 ( http: / / www.21cnjy.com )运动的规律，物体的运动形式是由受力决定的，那么简谐运动的受力有何特点呢？这节课我们就来学习简谐运动的动力学特征和能量转化的规律．
●教学流程设计
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课 标 解 读 重 点 难 点
1.知道回复力的概念，会分析其来源.
2.能从力的角度说明什么样的振动是简谐运动.
3.会分析简谐运动中回复力、加速度、位移、速度、动能、势能等各物理量的变化.
4.能理解简谐运动中机械能守恒，知道能量大小与振幅有关. 1.简谐运动回复力的特征及相关物理量的变化规律．(重点)
2.对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析．(重点)
3.物体做简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度等变化规律的分析总结．(难点)
4.具体问题中分析回复力的来源．(难点)
简谐运动的回复力
1 .基本知识
(1)简谐运动的回复力
①方向特点：总是指向平衡位置．
②作用效果：把物体拉回到平衡位置．
③来源：回复力是根据力的效果(选填“性质”或“效果”)命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．
④表达式：F＝－kx．即回复力与物体的位移大小成正比，负号表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由振动系统决定．
(2)简谐运动的动力学特征
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
2. 思考判断
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反．(√)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反．(×)
(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反．(×)
3. 探究交流
图11－3－1
如图11－3－1，m和M保持相对静止，在弹簧的作用下一起在光滑的水平面上做简谐运动．m的回复力由谁提供？
【提示】 M对m的静摩擦力提供．
简谐运动的能量
1 .基本知识
(1)振动系统的状态与能量的关系
①振子的速度与动能：速度不断变化，动能也不断变化．
②弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断变化，因而势能也在不断变化．
(2)简谐运动的能量
一般指振动系统的机械能．振动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
①在最大位移处，势能最大，动能为零．
②在平衡位置处，动能最大，势能最小．
③在简谐运动中，振动系统的机械能守恒(选填“守恒”或“减小”)，因此简谐运动是一种理想化的模型．
(3)决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强．一个确定的简谐运动是等幅振动．
2. 思考判断
(1)简谐运动是一种理想化的振动．(√)
(2)弹簧振子位移最大时，加速度也最大．(√)
(3)弹簧振子位移最大时，势能也最大．(√)
3. 探究交流
图11－3－2
如图11－3－2所示，在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？
【提示】 在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最 ( http: / / www.21cnjy.com )大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端．动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候．
对回复力的理解
【问题导思】
1. 回复力是一种新性质的力吗？
2. 简谐运动的回复力有什么特点？
1. 回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的．可能是一个力的分力，也可能是几个力的合力．
2. 简谐运动的回复力：F＝－kx.
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
回复力F＝－kx和加速度a＝－x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用以上两式来证明某个振动为简谐运动．
图11－3－3
(2013·岳阳检测)一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图11－3－3所示．
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________；
(2)该小球的振动是否为简谐运动？
【审题指导】 (1)分析小球受力可知回复力来源．
(2)证明回复力与位移是否满足F＝－kx关系．
【解析】 (1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力．
(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①
当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为
F回＝mg－k(x＋h)②
将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动．
【答案】 (1)弹力和重力的合力 (2)是简谐运动
判断一个振动为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：
1 .通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图象是否满足正弦规律来判断．
2 .对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断．
3 .根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－x进行判断．
1. 若将弹簧下端固定，上端连接一个小球由平衡的位置下压弹簧一段距离后释放，小球的运动是否为简谐运动？
【解析】 小球静止时的位置为其 ( http: / / www.21cnjy.com )运动时的平衡位置，设此时弹簧压缩量为x0，由力的平衡条件可知：kx0＝mg，向下再压缩x，释放后小球受到指向平衡位置的合力大小为：F＝k(x＋x0)－mg＝kx，考虑到力的方向和位移方向的关系，应有：F＝－kx.由此可见，小球的运动为简谐运动．
【答案】 是简谐运动
简谐运动中各个物理量的变化规律
【问题导思】
1. 在简谐运动中，位移的含意是什么？
2. 做简谐运动的物体，在动能和势能相互转化的过程中，总能量守恒吗？
振子以O点为平衡位置做简谐运动，如图11－3－4所示：
图11－3－4
各物理量的变化规律为：
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位移
方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力
方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度
方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度
方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
1. 简谐运动中在最大位移处，x、F、a、Ep最大，v＝0，Ek＝0；在平衡位置处，x＝0，F＝0，a＝0，Ep最小，v、Ek最大．
2. 简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒．
(2013·长沙检测)一质点做简谐运动的图象如图11－3－5所示，则该质点( )
图11－3－5
A．在0.015 s时，速度和加速度都为－x方向
B．在0.01 s～0.03 s内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小
C．在第八个0.01 s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大
D．在每1 s内，回复力的瞬时功率有100次为零
【审题指导】 (1)由图象获取T、A和质点的振动特征．
(2)由简谐运动各参量的变化规律解析判断．
【解析】 该题考查各物理量在图象中 ( http: / / www.21cnjy.com )的表示，要根据图象把握运动过程．在0.015 s时，从图象中可以看出，速度方向沿－x方向，而加速度方向沿＋x方向，A项错误．在0.01 s～0.03 s时间内，速度方向先沿－x方向，后沿＋x方向，速度先减小后增大，而加速度方向始终沿＋x方向，加速度大小先增大后减小，所以B正确．在第八个0.01 s内的位移沿＋x方向且逐渐增大，而速度却在不断减小，所以C错误．由图可知：T＝0.04 s，1 s内的周期数n＝＝25，当回复力为零时，回复力的功率为零，当回复力最大时，质点速度为零，回复力的功率也为零，这样一个周期内，功率为零的时刻有四次，因此，在每1 s内回复力的瞬时功率为零的次数有4×25＝100(次)，所以D正确．
【答案】 BD
简谐运动的图象能够反映简谐运动的规律，因此将简谐运动的图象跟具体的运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法．根据图象可以获得以下信息：
1 .振幅A、周期T(注意单位)．
2 .某一时刻振动质点离开平衡位置的位移．
3 .某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向．
判定方法：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．
速度方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移增加，振动质点的速度方向是远离t轴，下一时刻位移减小，振动质点的速度方向是指向t轴．
4 .某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
2. 如图11－3－6所示，一弹簧振子在光滑水平面A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图11－3－6
(1)简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________和________相互转化，总________守恒．
(2)振子在振动过程中有以下说法，正确的是( )
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
【解析】 (1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时只有动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧往复 ( http: / / www.21cnjy.com )振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B对；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D对；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错．
【答案】 (1)振幅 动能 势能 机械能
(2)ABD
易错案例警示——不理解简谐运
动的能量与振幅的关系导致错误
(2013·无锡检测)如图11－3－7所示，一弹簧振子在B、C间做简谐运动，平衡位置为O，振幅为A，已知振子的质量为M.若振子运动到C处时，将一质量为m的物体放到M的上面，m和M一起运动且无相对滑动，下列叙述正确的是( )
图11－3－7
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
【正确解答】 振子运动到C处时速度恰为零，此 ( http: / / www.21cnjy.com )时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能．由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确、D错误．
【答案】 AC
【易错分析】 本题易错选项及错误原因分析如下：
易错选项 错误原因
B 不能从能量守恒的角度考虑问题，只简单认为质量变大了，运动的最大距离就短了，即振幅减小
D 应该是最大动能不变．质量大了，最大速度小了，把最大速度的变化简单地等效为最大动能的变化
eq \a\vs4\al(,,,,\x(\a\al(简谐运动,的回复力,和能量))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(力学特征 F＝－kx),\x(运动特征)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(位移),\x(速度),\x(加速度a＝－\f(k,m)x))),\x(图象特征) \x(正弦函数),\x(能量特征)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(动能),\x(势能)))\x(\a\al(总能量,守恒))))Ｋ
1 .如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图象是( )
【解析】 由F＝－kx知B选项正确．
【答案】 B
2. 弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
【解析】 振子的位移指由平衡位置指向振动物 ( http: / / www.21cnjy.com )体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小．而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝F/m得，加速度也减小，物体向平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大．
【答案】 D
图11－3－8
3 .(2013·大连质检)如图11－3－ ( http: / / www.21cnjy.com )8所示为某一质点的振动图象，|x1|>|x2|，由图可知，在t1和t2两个时刻，质点振动的速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为( )
A．v1
D．a1>a2，方向相反
【解析】 由图象知t1、t2两时刻质点都在沿x轴负方向运动，越衡位置，速度越大，故选项A正确．由a＝－k′x可知，选项D正确．
【答案】 AD
4 .做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速度为v，则下列说法中正确的是( )
A．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mv2之间的某一个值
C．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值
【解析】 相距半个周期的两个时 ( http: / / www.21cnjy.com )刻，速度的大小相等，方向相反．因此由W＝mv－mv＝0可知，A对，B错．由于在开始计时时速度的大小未知，由Δv＝v1－(－v1)＝2v1，0≤v1≤v可知，C错，D对．
【答案】 AD
5 .(2013·新课标全国卷Ⅱ)
图11－3－9
如图11－3－9，一轻弹簧一端固定，另一端连 ( http: / / www.21cnjy.com )接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅为A，则A________A0(填“>”、“<”或“＝”)．
【解析】 当弹簧振子通过平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡住置时，a、b之间粘胶脱开，a、b由于惯性继续向右运动，弹簧伸长，对物块有向左的拉力，物块a向右做减速运动，动能减少，物块b在光滑水平面上做匀速直线运动，动能不变，由能量守恒定律知只有物块a减少的动能转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大伸长量减小，故振幅减小．
【答案】 <
1. (2013·郑州检测)如图11－3－10所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析正确的是( )
图11－3－10
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
【解析】 弹簧振子的简谐运 ( http: / / www.21cnjy.com )动中忽略了摩擦力，C、D错；回复力为效果力，受力分析时不分析此力，B错；故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力，A正确．
【答案】 A
2. 关于做简谐运动的物体的说法正确的是( )
A．加速度与位移方向有时相同，有时相反
B．速度方向与加速度方向有时相同，有时相反
C．速度方向与位移方向有时相同，有时相反
D．加速度方向总是与位移方向相反
【解析】 回复力的方向与位移的方向始 ( http: / / www.21cnjy.com )终相反，加速度的方向与回复力的方向一致，选项A错误，D正确；当离开平衡位置时，速度与位移的方向相同，当向平衡位置运动时，速度与位移的方向相反，故选项B、C正确．
【答案】 BCD
3 .公路上匀速行驶的货车受一扰动，车 ( http: / / www.21cnjy.com )上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向振动可视为简谐运动，周期为T.竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图11－3－11所示，则( )
图11－3－11
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
【解析】 要使货物对车厢底板的压力 ( http: / / www.21cnjy.com )最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知在T时，货物向上的加速度最大，则C选项正确；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知在时，货物向下的加速度最大，所以选项A、B、D错误．
【答案】 C
4 .如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是( )
时刻状态物理量 0 T/4 T/2 3T/4 T
甲 零 正向
最大 零 负向
最大 零
乙 零 负向
最大 零 正向
最大 零
丙 正向
最大 零 负向
最大 零 正向
最大
丁 负向
最大 零 正向
最大 零 负向
最大
A.若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v
B．若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v
C．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v
D．若乙表示位移x，则丙表示相应的速度v
【解析】 本题可结合如图所示的弹簧 ( http: / / www.21cnjy.com )振子的振动情况具体分析．在振子从平衡位置(t＝0)向右(正方向)运动到正向最大位移的过程中，其速度为正且由最大值减小到零，A正确；在振子从负向最大位移处运动，经周期回到平衡位置时，振子向右运动，速度为正且增大，B正确；若振子从正向最大位移向平衡位置运动时，振子的速度为负且逐渐增大，C错误；若振子从平衡位置向负向最大位移处运动，则振子的速度为负且逐渐减小，D错误．
【答案】 AB
图11－3－12
5. (2013·黄山检测)如图11－3－12所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是( )
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第2 s内，质点速度逐渐增大
C．在第3 s内，动能转化为势能
D．在第4 s内，动能转化为势能
【解析】 质点在第1 s内， ( http: / / www.21cnjy.com )由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，势能转化为动能，所以选项D错误．
【答案】 BC
图11－3－13
6 .(2013·沈阳检测)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图11－3－13所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对滑动．设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．kx B．()kx C．()kx D．0
【解析】 本题考查连接体问题。A、B ( http: / / www.21cnjy.com )一起做简谐运动，对A、B组成的系统而言，回复力是弹簧的弹力，而对于A而言，回复力则是B对A的静摩擦力．利用整体法和牛顿第二定律求出整体的加速度，再利用隔离法求A受到的静摩擦力．
对A、B组成的系统，由牛顿第二定律得F＝(M＋m)a.
又F＝kx，则a＝.
对A由牛顿第二定律得f＝ma＝()kx.故选C.
【答案】 C
图11－3－14
7 .(2013·安庆高二检测)如图11－3－14是质点做简谐振动的图象，由此可知( )
A．t＝0时，质点的位移、速度均为零
B．t＝1 s时，质点的位移为正向最大，速度为零，加速度为负向最大
C．t＝2 s时，质点的位移为零，速度为负向最大值，加速度为零
D．质点的振幅为5 cm，周期为2 s
【解析】 t＝0时，质点的位移为零， ( http: / / www.21cnjy.com )但是速度不为零，A错；t＝1 s时，质点的位移为正向最大，速度为零，由a＝－x可知加速度为负向最大，B对；t＝2 s时，质点的位移为零，速度为负向最大值，加速度由a＝－x可知为零，C对；由图象可知质点的振幅为5 cm，周期为4 s，D错．
【答案】 BC
8. 如图11－3－15所示， ( http: / / www.21cnjy.com )物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是( )
图11－3－15
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
【解析】 m在平衡位置O处两弹簧均处 ( http: / / www.21cnjy.com )于原长状态，则m振动后任取一位置A，如图．设在A处m的位移为x，则在A处m所在水平方向的合力F＝k2x＋k1x＝(k2＋k1)x，考虑到回复力F与x方向关系有：F＝－(k2＋k1)x＝－3kx，选项D正确，C错误；可见m做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，选项A正确，B错误．
【答案】 AD
9 .做简谐运动的弹簧振子质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为( )
A．20 m/s2，向右 B．20 m/s2，向左
C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左
【解析】 加速度方向指向 ( http: / / www.21cnjy.com )平衡位置，因此方向向左．由力和位移的大小关系F＝kx可知，当x＝40 cm时，F＝8 N，a＝＝40 m/s2，方向指向平衡位置，D正确．
【答案】 D
10 .(2013·山东省实验中学检测)甲、乙两弹簧振子，振动图象如图11－3－16所示，则可知( )
图11－3－16
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
【解析】 由图可知f甲∶f ( http: / / www.21cnjy.com )乙＝1∶2，因此振子不相同，A选项不正确，D选项正确．由图可知C正确．因F甲＝k甲A甲，F乙＝k乙A乙，由于k甲和k乙关系未知，因此无法判断F甲∶F乙＝2∶1，所以B不正确．
【答案】 CD
图11－3－17
11. (2013·青岛检测 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图11－3－17所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中( )
A．小球最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
【解析】 小球平衡位置kx0＝mg ( http: / / www.21cnjy.com )，x0＝A＝，当到达平衡位置时，有mgA＝mv2＋kA2，A错．机械能守恒，是动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B错．从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Ep＝2mgA，最低点加速度等于最高点加速度g，据牛顿第二定律F－mg＝mg，F＝2mg，D错．
【答案】 C
12 .一质量为m，侧面积为S的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图11－3－18所示．现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动．
图11－3－18
【解析】
以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，当木块被压入水中x后所受力如图所示，则
F回＝mg－F浮，①
又F浮＝ρgS(Δx＋x)．②
由①式和②式，得
F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx.
mg＝ρgSΔx，所以F回＝－ρgSx.
即F回＝－kx(k＝ρgS)．
所以木块的振动为简谐运动．
【答案】 木块的振动是简谐运动
4单摆
(教师用书独具)
●课标要求
1 .知道什么是单摆，理解在什么情况下单摆的振动是简谐运动．
2 .知道单摆的周期跟哪些因素有关，理解单摆周期公式．
3 .知道用单摆可测定重力加速度．
●课标解读
1 .知道什么是单摆及单摆做简谐运动的条件．
2 .会分析单摆做简谐运动的回复力以及摆球受的合外力．
3 .掌握单摆做简谐运动的周期公式，并能求常见情况下单摆的周期．
4 .会用单摆的周期公式测重力加速度，会进行实验数据的处理和误差分析．
●教学地位
单摆是简谐运动的又一实例，既是本章重点又是高考热点，本节重点是单摆周期公式及其应用．
(教师用书独具)
●新课导入建议
1862年，18岁的伽利略离开神学 ( http: / / www.21cnjy.com )院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，他发现挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器．这节课我们共同探究单摆的特点及运动规律．
●教学流程设计
???
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步骤8：先由学生自己总结本节的主要知识，教师点评，安排学生课下完成【课后知能检测】
课 标 解 读 重 点 难 点
1.知道什么是单摆及单摆做简谐运动的条件.
2.会分析单摆做简谐运动的回复力以及摆球所受的合外力.
3.知道单摆的周期跟什么因素有关，理解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算.
4.知道用单摆可测定重力加速度. 1.单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件．(重点)
2.通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式．(重点)
3.单摆振动回复力的分析．(难点)
4.与单摆周期有关的因素．(难点)
单摆及单摆的运动
1. 基本知识
(1)单摆
如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫做单摆．单摆是实际摆的理想化的物理模型．
(2)单摆的回复力
①回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力．
②回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置．
③运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．
2. 思考判断
(1)制作单摆的细线弹性越大越好．(×)
(2)制作单摆的细线越短越好．(×)
(3)制作单摆的摆球越大越好．(×)
3. 探究交流
单摆的回复力是由摆球所受的合外力提供的吗？
【提示】 单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供，沿半径方向的合力提供向心力．
单摆的周期
1. 基本知识
(1)探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
①探究方法：控制变量法．
②实验结论
a．质量与周期：单摆振动的周期与摆球质量无关．
b．振幅与周期：振幅很小时周期与振幅无关．
c．摆长与周期：摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小．
(2)周期公式
①公式：T＝2π．
②单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质．
(3)应用
①计时器
a．原理：单摆的等时性．
b．校准：调节摆长可调节钟表的快慢．
②测重力加速度：
由T＝2π得g＝．可见，只要测出单摆的摆长和周期，就可测出当地的重力加速度．
2. 思考判断
(1)单摆的振幅越大周期越大．(×)
(2)单摆的周期与摆球的质量无关．(√)
(3)摆长应是从悬点到摆球球心的距离．(√)
3. 探究交流
图11－4－1
摆钟的结构如图11－4－1所示，发现它走时不准时，为什么要调整摆锤下面的螺母？
【提示】 调整摆锤下面的螺母，以改变摆的摆长，从而改变摆的周期，以调整摆的走时快慢．
单摆的受力及运动特征
【问题导思】
1. 单摆的受力有何特点？
2. 在什么情况下单摆的摆动可看成简谐运动？
图11－4－2
1. 单摆的回复力
如图11－4－2所示，重力G沿圆弧切线 ( http: / / www.21cnjy.com )方向的分力G1＝mgsin θ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力：F＝G1＝mgsin θ.
2. 单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又因 回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．
1 .小球的重力在沿圆弧切线方向上的分力提供回复力，而不是小球的合力．
2 .单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在5°以内，误差不超过0.01%.
(2013·徐州检测)下列关于单摆的说法，正确的是( )
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A
B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
【审题指导】 解答本题时把握以下几点：
(1)明确单摆的受力特点．
(2)明确平衡位置的概念．
(3)明确回复力的概念．
(4)根据振幅的概念，找出单摆的振幅．
【解析】 简谐运动中的位 ( http: / / www.21cnjy.com )移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零．摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等于重力沿圆弧切线方向的分力)提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零．故应选C.
【答案】 C
1. 对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )
A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
【解析】 该题考查单摆做简谐运动时的回复 ( http: / / www.21cnjy.com )力．单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为mv2/l，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零，故应选C.
【答案】 C
对单摆周期的理解
【问题导思】
1. 单摆的周期与哪些因素有关？
2. 若把单摆放在绕地球运动的宇宙飞船中，单摆还能摆动吗？
1 .摆长l
实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝l0＋，l0为摆线长，D为摆球直径．
2 .重力加速度g
若单摆系统只处在重力场中且悬点处 ( http: / / www.21cnjy.com )于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．
1 .单摆的摆长是指从悬点到球心的距离，不能把绳子的长度看成摆长．
2 .公式中的重力加速度指的是在地球表面的重力加速度，如果是类单摆(与单摆的形式相同，但回复力不是重力的分力)，要找出等效重力加速度．
(2013·青岛检测)有一单摆，其摆长l＝1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，试求：
(1)当地的重力加速度是多大？
(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？
【审题指导】
【解析】 (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式
T＝2π，由此可得g＝，只要求出T值代入即可．
因为T＝＝ s≈2.027 s，
所以g＝＝ m/s2≈9.79 m/s2.
(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：＝，
故有：l0＝eq \f(Tl,T2)＝ m≈0.993 m.
其摆长要缩短Δl＝l－l0＝1.02 m－0.993 m＝0.027 m.
【答案】 (1)9.79 m/s2 (2)缩短 0.027 m
计算单摆周期的两种方法
计算单摆的周期有两种方法，一是依 ( http: / / www.21cnjy.com )据T＝2π，二是根据T＝.第一种方法利用了单摆的周期公式，从公式可以看出，单摆的周期取决于两个因素：一是摆长，二是当地的重力加速度．计算的关键是正确确定摆长．第二种方法利用了粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响．所以，应该尽量选精密计时仪器测量时间，从振动的最低点开始计时，而且尽量选择较多的振动次数．
2. (2013·杭 ( http: / / www.21cnjy.com )州检测)如图11－4－3所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距l－l′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为( )
图11－4－3
A．2π B．2π
C．π(＋) D．2π
【解析】 碰钉子前摆长为l，故周期T1＝2π，碰钉子后摆长变为l′，则周期T2＝2π，所以此摆的周期T＝＋＝π(＋)．
【答案】 C
【备选例题】(教师用书独具)
如图教11－4－1所示，三根细 ( http: / / www.21cnjy.com )线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使ΔAOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球(直径可忽略)．下列说法中正确的是( )
图教11－4－1
A．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面方向摆动，其周期T＝2π
C．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
D．让小球在垂直纸面内摆动，周期为T＝2π
【解析】 让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为悬点，摆长为L，周期为T＝2π.
让小球在垂直纸面内摆动，摆球以OC的延长线与AB的交点为中心摆动，摆长为L＋cos 30°＝L＋L，周期为T′＝2π ，选项A正确．
【答案】 A
用单摆测定重力加速度
【问题导思】
1. 实验时对单摆的偏角有何要求？
2. 测周期时应在摆球经过什么位置开始计时？
1. 实验目的
用单摆测定重力加速度g.
2. 实验原理
由单摆的周期公式T＝2π，可得g＝.
所以，只要测出单摆的摆长l和周期T，就能算出当地的重力加速度g.
3. 实验步骤
(1)做单摆
①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结．
②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记．
(2)测摆长
用刻度尺测出细线的长度l′，用游标卡尺测出摆球的直径D，则l＝l′＋即为单摆的摆长．
(3)测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度， ( http: / / www.21cnjy.com )且满足偏角小于5°，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过平衡位置时用停表开始计时，测量30～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的周期T.
4. 数据处理
(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．
设计如下所示实验表格
实验
次数 摆长
l(m) 周期
T(s) 加速度
g(m/s2) g平均值
1
2
3g＝
(2)图象法：由T＝2π得T2＝l，作出T2－l图象，如图11－4－4所示，即以T2为纵轴，以l为横轴．其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g.
图11－4－4
(2013·泉州检测)下面是用单摆测定重力加速度的实验数据.
摆长l/m 0.5 0.6 0.8 1.1
周期T2/s2 2.2 2.5 3.2 4.5
(1)利用上述数据在坐标图11－4－5中描出l－T2图象；
图11－4－5
(2)利用图象，取T2＝0.1×4π2≈3.95 s2，求出重力加速度．
【审题指导】 l－T2图象的斜率k＝，所以g＝4π2k，求出斜率即可求重力加速度．
【解析】 (1)图象如图所示．
(2)由图象中读出当T2＝3.95 s2时，l＝0.96 m，重力加速度g＝＝ m/s2＝9.6 m/s2.
【答案】 见解析
3 .(2013·西安检测)(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材为________．
A．1 m长的细线 B．1 m长的粗线
C．10 cm长的细线 D．泡沫塑料小球
E．小铁球 F．1/10秒刻度秒表
G．时钟 H．厘米刻度米尺
I．毫米刻度米尺
(2)在该实验中，单摆的摆角φ应____ ( http: / / www.21cnjy.com )____，从摆球经过________开始计时，测出n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测出摆线长为L，用游标卡尺测出摆球的直径为d.用上述物理量的符号写出测出的重力加速度的一般表达式为g＝________．
【解析】 (1)做摆长的细线要用 ( http: / / www.21cnjy.com )不易伸长的轻线，一般不应短于1米，选A；小球应是密度较大，直径较小的金属球，选E；计时仪器宜选用秒表F；测摆长应选用毫米刻度米尺I.
(2)根据单摆做简谐运动的条件知θ<5°；因平衡位置易判断，且经平衡位置时速度大，用时少，误差小，所以从平衡位置开始计时．
根据T＝2π
又T＝，l＝L＋
得g＝.
【答案】 (1)A、E、F、I
(2)小于5° 平衡位置
eq \a\vs4\al(,,,,\x(单摆)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定义),\x(单摆的回复力),\x(单摆的周期)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(等时性),\x(T＝2π\r(\f(L,g))),\x(条件θ<5°))),\x(测定重力加速度)))Ｋ
1 .(2013·泉州高二检测)振动着的单摆摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力、合外力的方向分别为( )
A．指向地面 指向悬点 B．指向悬点 指向地面
C．数值为零 指向悬点 D．指向运动方向 指向悬点
【解析】 振动着的单摆摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力是0，合外力沿半径指向悬点，C对．
【答案】 C
2. 用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )
A．不变
B．变大
C．先变大后变小再回到原值
D．先变小后变大再回到原值
【解析】 单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短，因而周期先变大后变小再回到原值，故选项C正确．
【答案】 C
3. (2013·延安检测)如图1 ( http: / / www.21cnjy.com )1－4－6所示，光滑轨道的半径为2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6 cm与2 cm，a、b两小球分