【课堂新坐标，同步备课参考】2013-2014学年高中物理（沪科版）选修3－4教师用书

HK 物 理 选修3－4
1.1研究简谐运动
(教师用书独具)
●课标要求
1．通过观察和分析，理解简谐运动的特征．
2．能用公式和图像描述简谐运动的特征．
●课标解读
1．理解弹簧振子这一物理模型．了解机械振动、平衡位置、一次全振动的概念．
2．知道什么是简谐运动．
3．知道简谐运动的振动图像为一正弦曲线．
4．理解振幅、周期、频率的含义．
●教学地位
本节学习简谐运动，了解其运动过程、振动图像周期、频率和振幅等概念．简谐运动是比较重要的一种运动形式，也是高考中经常考查的内容．
(教师用书独具)
●新课导入建议
振动现象在自然界中广泛存在，如：摆钟的摆动、水中浮标的上下浮动、上课铃声、耳膜的振动、高层建筑随风摆动、机器有节奏的轰鸣、扁担的晃动，某些同学上课时腿的抖动……这些运动与我们前面学习的直线运动有什么区别呢？通过本节课的学习我们就能解决这些问题．
●教学流程设计
课前预习
1．看教材
2．填写【课前自主导学】?步骤1：导入新课，并分析本节教学地位?步骤2：老师提问检查学生预习效果，可进行提问和讨论交流?步骤3：师生互动完成“探究1”，总结弹簧振子的振动并讲解例1?步骤4：学生练习，完成【迁移应用】?步骤5：师生互动研究简谐运动的图像及应用完成“探究2”?步骤6：师生互动理解描述简谐运动的物理量，完成“探究3”?步骤7：师生互动，完成“探究4”(重在讲解规律方法技巧)?步骤8：学生练习完成【当堂双基达标】?步骤9：总结本节知识布置【课后知能检测】
课　 标　解　读 重　点　难　点
1.掌握弹簧振子的运动特点，知道什么是简谐运动．2.掌握简谐运动的位移－时间图像．3.掌握简谐运动的周期、频率和振幅的概念. 1.简谐运动及描述简谐运动的概念．(重点)2.简谐运动的图像．(重点)3.简谐运动过程的分析．(难点)4.简谐运动图像的应用．(难点)
什么是简谐运动
1.基本知识
(1)弹簧振子
①弹簧振子：在一根水平的光滑金属杆上穿一根轻质螺旋弹簧，弹簧一端固定，另一端和一个质量为m的带孔小球相连接，就构成一个弹簧振子．
球与杆间的摩擦不计，弹簧的质量与小球质量相比可以忽略．
②平衡位置：振子原来静止时的位置．
③机械振动：振子以平衡位置为中心的周期性的往复运动，简称振动．
(2)简谐运动
图1－1－1
①全振动：小球从O到B，再从B到A，最后回到O的过程．
②位移：小球球心离开平衡位置的位移．
③简谐运动：做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数规律的振动．
2．思考判断
(1)弹簧最短时的位置是弹簧振子振动时的平衡位置．(×)
(2)弹簧振子的小球的运动是一种周期性的往复运动．(√)
(3)弹簧振子的位移－时间图像是正弦曲线(或余弦
曲线)．(√)
3．探究交流
如图1－1－2，若水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点为平衡位置，C、D关于O点对称并为AO、BO的中点．
图1－1－2
根据上图请思考以下问题：
从O点开始向右运动，经过哪条路径才能完成一次全振动？
【提示】　经过O→D→B→D→O→C→A→C→O就完成一次全振动.
用图像描述振动
1.基本知识
(1)以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，纵坐标
图1－1－3
表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图1－1－3所示，这就是弹簧振子运动时的位移—时间图像．
(2)位移—时间图像(x－t图像)的物理意义
振动图像表示振动物体相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律．
2．思考判断
(1)简谐运动的图像就是振动物体的运动轨迹．(×)
(2)物体运动的方向可以通过简谐运动图像的走势来
判断．(√)
(3)位移越大，速度越小，在最大位移处，速度为零，加速度也为零．(×)
3．探究交流
简谐运动的图像表达的物理意义是什么？
【提示】　简谐运动的图像表示振动物体的位移随时间的变化规律，不代表振动物体的运动轨迹.
描述简谐运动的物理量
1.基本知识
(1)位移x
从平衡位置指向振子所在位置的有向线段叫做振子的位移，振子在振动过程中经过平衡位置时，位移方向改变．
(2)速度v
振子在振动过程中，在最大位移处速度为零；在平衡位置时速度最大；振子在最大位移处速度方向发生改变．
(3)周期T
做简谐运动的物体完成一次全振动所经历的时间叫做振动的周期．
(4)频率f
单位时间内物体完成全振动的次数叫做振动的频率．
(5)某物体振动的周期T和频率f的关系式
T＝或f＝.
(6)振幅A
简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移叫做振幅，振幅是标量．它反映了物体运动幅度的大小．
2．思考判断
(1)简谐运动的周期越大，频率也越大．(×)
(2)周期和频率是表示物体振动快慢的物理量．(√)
(3)振幅就是简谐运动离开平衡位置的位移．(×)
3．探究交流
简谐运动物体振动的快慢与周期和频率是什么关系？
【提示】　周期越大，频率越小，物体振动越慢；周期越小，频率越大，物体振动越快.
简谐运动及其位移的理解
【问题导思】　
1．什么是弹簧振子？
2．怎样表示简谐运动的位移？
3．怎样理解位移的正、负？
1．弹簧振子
一种理想化模型，表现在：
(1)构造上是把一根不计质量的弹簧一端固定，另一端连接一个小球．
(2)运动时质点不受任何摩擦和介质阻力．
判定一个实际系统能否看成弹簧振子，就从这两个方面去权衡．
2．对机械振动位移的理解
(1)振动位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段，方向为平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离．
(2)振动位移也是矢量，若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移就为负．
(3)位移的表示方法(如图1－1－4所示)：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，用振动图像中该时刻振子所在的位置坐标来表示．在t1时刻振子的位移为x1，t2时刻振子的位移为x2，t4时刻为－x4.
图1－1－4
(4)区别机械运动中的位移：机械运动中的位移是从初位置到末位置的有向线段；在简谐运动中，振动质点在任意时刻的位移总是相对于平衡位置而言的，都是从平衡位置开始指向振子所在位置．
　
图1－1－5
如图1－1－5，小球套在光滑水平杆上，与弹簧组成弹簧振子，O为平衡位置，小球在O附近的AB间做简谐运动，设向右为正方向，则：
(1)速度由正变负的位置在________点；
(2)位移为负向最大的位置在________点．
【审题指导】　(1)小球的振动是往复运动，并且规定向右为正方向．
(2)简谐运动的位移都是相对平衡位置来说的，其正负根据设定的正方向来判断．
【解析】　(1)最大位移处是振动小球改变运动方向的位置，因此速度由正变负的位置在A点．
(2)位移最大的位置在B点和A点，由于题干中设向右为正方向，故位移为负向最大的位置在B点．
【答案】　(1)A　(2)B
1．(多选)(2013·陕西师大附中检测)如图1－1－6，一水平弹簧振子，O为平衡位置，振子在B、C之间做简谐运动，设向右为正方向，则振子
图1－1－6
A．由C向O运动时，位移为正值，速度为正值，加速度为正值
B．由O向B运动时，位移为正值，速度为正值，加速度为负值
C．由B向O运动时，位移为负值，速度为正值，加速度为负值
D．由O向C运动时，位移为负值，速度为负值，加速度为正值
【解析】　由C向O运动时，位移向左为负值，速度向右为正值，加速度方向与位移方向相反为正值，故A错；由O向B运动时，位移向右为正值，速度向右为正值，加速度方向与位移方向相反为负值，故B对；由B向O运动时，位移向右为正值，速度向左为负值，加速度方向与位移方向相反为负值，故C错；由O向C运动时，位移向左为负值，速度向左为负值，加速度方向与位移方向相反为正值，故D对．
【答案】　BD
简谐运动图像的理解和应用
【问题导思】　
1．简谐运动图像的物理意义是什么？
2．怎样从图像上判断振动质点位移的正、负？
3．怎样由图像确定质点的振动方向？
1．形状
正(余)弦曲线．
2．物理意义
表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．
图1－1－7
3．获取信息
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1－1－7所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2.
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动．
振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．
　
图1－1－8
(2013·东北师大附中检测)如图1－1－8所示是某质点做简谐运动的振动的图像，根据图像中的信息，回答下列问题：
(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？
(2)质点在第2 s末的位移是多少？在前4 s内的路程是多少？
【审题指导】　(1)由x－t图像可以得出质点离开平衡位置的最大距离和图像上x的最大值．
(2)质点在某时刻的位移可以由图像确定，而一段时间内的路程要根据其往复运动的情况计算．
【解析】　由图像上的信息，结合质点的振动过程可断定：
(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值10 cm.
(2)质点在2 s时在平衡位置，因此位移为零，质点在前4 s内完成一个周期性运动，其路程为s＝10 cm×4＝40 cm
【答案】　(1)10 cm　(2)0　40 cm
2．如图1－1－9所示，简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
图1－1－9
(1)与a点位移相同的点有哪些？
(2)与a点速度相同的点有哪些？
(3)b点离开平衡位置的最大距离多大？
【解析】　(1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a点位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a点速度相同的点有d、e.
(3)b点离开平衡位置的最大距离即为振动物体最大位移的大小，由图知最大距离为2 cm.
【答案】　(1)b、e、f　(2)d、e　(3)2 cm
位移、振幅、周期、频率的理解和相互关系
【问题导思】　
1．简谐运动的位移、路程和振幅有什么区别和联系？
2．怎样描述简谐运动的快慢？
3．简谐运动的周期和振幅有怎样的关系？
1．振幅与位移、路程的关系
(1)振幅与位移
振动中的位移是矢量，振动中位移有某时刻的位移和某段时间内的位移之分，在数值上，振幅与位移的大小可能相等，但同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(2)振幅与路程
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅.周期内的路程与振幅之间没有确定的关系．若从特殊位置开始计时，如平衡位置或最大位移处，周期内的路程等于1倍的振幅．
2．周期(或频率)与速度
(1)振动的快慢，指完成一次全振动经历时间的长短．
(2)振动速度是指振动物体在振动过程中某时刻或经过某位置时运动的快慢，振动中物体的速度是时刻改变的，是状态量．速度大振动的不一定快，即周期和速度没有关系．
3．振幅与周期
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
　弹簧振子从距平衡位置5 cm处由静止释放，4 s内完成5次全振动，则这个弹簧振子的振幅为______　 cm，振动周期为________ s，频率为________Hz，4 s末振子的位移大小为________ cm；4 s内振子运动的路程为________cm；若其他条件都不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5 cm处由静止释放，则振子的周期为________ s.
【审题指导】　根据完成一次全振动的时间确定周期，根据单位时间内完成全振动的次数确定频率，简谐运动中的位移是相对平衡位置而言的．
【解析】　根据题意，振子从距平衡位置5 cm处由静止开始释放，说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5 cm，即振幅为5 cm，由题设条件可知，振子在4 s内完成5次全振动，则完成一次全振动的时间为0.8 s，即T＝0.8 s；又因为f＝，可得频率为1.25 Hz.4 s内完成5次全振动，也就是说振子又回到原来的初始位置，因而振子的位移大小为5 cm，振子一次全振动的路程为20 cm，所以5次全振动的路程为100 cm，由于弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子质量决定，其周期与振幅大小无关，所以从距平衡位置2.5 cm处由静止释放，不会改变周期的大小，仍为0.8 s.
【答案】　5　0.8　1.25　5　100　0.8
在描述振动的物理量中要明确振幅、位移和路程的关系和区别．振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；位移是物体相对平衡位置的位置变化，是矢量；路程是振动物体运动轨迹的长度，是标量，振幅在数值上等于最大位移的绝对值，振动物体在一个全振动内通过的路程为振幅的四倍．
3．弹簧振子在AB间做简谐振动，O为平衡位置，AB间距离是20 cm，A到B运动时间是2 s，如图1－1－10所示，则(　　)
图1－1－10
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
【解析】　振子从O→B→O只完成半个全振动，A选项错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动是2 s，所以振动周期是4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10 cm，选项B错误；t＝6 s＝1T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，选项C正确；从O开始经过3 s，振子处在极限位置A或B，D选项错误．
【答案】　C
综合解题方略——简谐运动图像的综合应用
　(多选)(2013·长安一中检测)如图1－1－11所示为质点的振动图像，下列判断中正确的是(　　)
图1－1－11
A．质点振动周期是8 s
B．振幅是±2 cm
C．4 s末质点的速度为负
D．10 s末质点的速度最大
【审题指导】　(1)质点的振动周期和振幅可以从图像上直接读数．
(2)由振动图像的走向趋势可以确定质点振动的速度方向．
(3)质点在平衡位置速度最大，在最大位移处速度为零．
【规范解答】　由振动图像可得，质点的振动周期为8 s，A对；振幅为2 cm，B错；4秒末质点经平衡位置向负方向运动，速度为负向最大，C对；10 s末质点在正的最大位移处，速度为零，D错．
【答案】　AC
巧用振动图像的斜率来解题
振动图像的斜率表示了该时刻质点的速度大小和方向，斜率的绝对值表示了速度的大小，斜率的正、负表示了速度的方向．由此可以判断振动物体在某一时刻的速度的大小和方向，也可以比较振动物体在各个不同时刻的速度的大小及方向关系．
简谐运动弹簧振子的振动过程简谐运动的描述位移周期振幅频率振动图像
【备课资源】　(教师用书独具)
如何减小洗衣机的振动与噪声
洗衣机使用日久后，由于机械磨损、缺乏润滑油、机件老化、弹簧疲劳变形等原因，会出现各种不正常的振动与噪声．若不及时修理，会导致洗衣机的机件加速磨损甚至损坏．实际上，通过适当的调整和简单的修理，即可以消除或减小振动与噪声．
洗衣时，机身发出“砰砰”的响声．该故障多是因为洗衣桶与外壳之间产生碰撞或者是洗衣机放置的地面不平整或四只底脚未与地面保持良好的接触．这时需将洗衣机重心调整，放置平稳，或在四个底脚垫上适当垫块．
洗衣时，波轮转动发出“咯咯”的摩擦声．检修时，可放入水，不放衣物进行检查．此时若在波轮转动时仍有“咯咯”的摩擦声，说明是由于波轮旋转时与洗衣桶的底部有摩擦引起的，如再放入衣物，响声会更大．故障原因可能是波轮螺钉松动，可先拆卸出波轮，再在轴底端加垫适当厚度的垫圈，以增加波轮与桶底的间隙，消除两者的碰撞或摩擦．若是波轮外圈碰擦洗衣桶，则应卸下波轮，重新修整后再装上．
电动机转动时，转动皮带发出“噼啪”声．该故障是由于传动皮带松弛而引起的．检修时，可将电动机机座的紧固螺钉拧松，将电动机向远离波轮轴方向转动，使传动皮带绷紧，再将机座的紧固螺钉拧紧.
1．(多选)下列运动中属于机械振动的是(　　)
A．树枝在风的作用下运动
B．竖直向上抛出的物体的运动
C．说话时声带的运动
D．爆炸声引起窗扇的运动
【解析】　物体在平衡位置附近所做的往复运动属于机械振动，故A、C、D正确；竖直向上抛出的物体到最高点后返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于机械振动，故B错误．
【答案】　ACD
2．(2013·海口检测)如图1－1－12所示
图1－1－12
，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，下列说法正确的是(　　)
A．钢球的最低处为平衡位置
B．钢球的最高处为平衡位置
C．钢球速度为0处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
【解析】　竖直弹簧振子的小球所受合力为零处为平衡位置，故选项D正确．
【答案】　D
3．(多选)有一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是
(　　)
A．位移最大时，速度也最大
B．速度最大时，位移也最大
C．位移最大时，速度为零
D．位移最小时，速度最大
【解析】　解答本题的最好方法是结合图像求解，如图所示．当位移最大时，如A点，此时速度为零；当速度最大时，如B点，此时位移为零，故选C、D.
【答案】　CD
4．如图1－1－13所示，
图1－1－13
质点在前6 s内通过的路程是多少？在6～8 s内平均速度大小为多少？方向如何？
【解析】　质点在前6 s内通过的路程s＝×4×2 cm＝6 cm.6～8 s内平均速度大小＝＝＝1×10－2 m/s，方向沿x轴正方向．
【答案】　6 cm　1×10－2 m/s　方向沿x轴正方向
1．(2013·海南华侨中学检测)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是(　　)
A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
【解析】　平衡位置是物体可以静止的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关．如乒乓球竖直落在台上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的中心位置不是其平衡位置，所以A不正确；位移是以平衡位置为初始点，到物体所在位置的有向线段，位移随时间而变，物体偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，所以只有选项B正确．
【答案】　B
2．对简谐运动，下列说法中正确的是(　　)
A．物体振动的最大位移等于振幅
B．物体离开平衡位置的最大距离叫振幅
C．振幅随时间做周期性变化
D．物体两次通过平衡位置的时间叫周期
【解析】　振幅是标量，位移是矢量．振幅是振动质点离开平衡位置的最大距离，是定值，位移是随时间变化的，B正确，A、C错误；物体连续两次通过平衡位置的时间等于半个周期，故D错．
【答案】　B
3．(多选)(2013·西安中学检测)如图1－1－14所示，下列说法正确的是(　　)
图1－1－14
A．振动图像是从平衡位置开始计时的
B．1 s末速度沿x轴负方向
C．1 s末速度最大
D．1 s末速度最小，为0
【解析】　图像从原点位置开始画，原点表示平衡位置，即物体从平衡位置起振；1 s末物体处于最大位移处，速度为0.故选A、D.
【答案】　AD
4．如图1－1－15所示
图1－1－15
，弹簧振子在BC间做简谐运动，O点为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是(　　)
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
【解析】　振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm,3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm.
【答案】　D
5．下列运动性质可以描述简谐运动的是(　　)
A．匀变速运动　　　　　B．匀速直线运动
C．非匀变速运动 D．匀加速直线运动
【解析】　简谐运动的速度是变化的，B错；加速度也是变化的，A、D错，C对．
【答案】　C
6．(2013·玉林高二检测)如图1－1－16所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐振动．当振子从平衡位置O向a运动的过程中，下列说法中正确的是(　　)
图1－1－16
A．加速度和速度均不断减小
B．加速度和速度均不断增大
C．加速度不断增大，速度不断减小
D．加速度不断减小，速度不断增大
【解析】　当振子从平衡位置O向a运动的过程中，弹簧的形变量逐渐增大，弹簧的弹力也逐渐增大，因此振子的加速度也是不断增大的，在此过程中，小球的运动方向与弹力的方向始终相反，因此速度会越来越小，故只有C正确．
【答案】　C
7．(多选)物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体(　　)
A．在A点和A′点的位移相同
B．在两点处的速度可能相同
C．在两点处的加速度可能相同
D．在两点处的动能一定相同
【解析】　由于A、A′关于平衡位置对称，所以物体在A、A′点时位移大小相等，方向相反；速度大小一定相同，但速度方向可能相同也可能相反；加速度一定大小相等、方向相反；动能一定相同，故正确选项为B、D.
【答案】　BD
图1－1－17
8．(2012·重庆高考)装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图1－1－17所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像中可能正确的是(　　)
【解析】　试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.
【答案】　D
9．一质点做简谐运动，振幅是4 cm，频率是2.5 Hz.该质点从平衡位置起向正方向运动，经过2.5 s质点的位移和路程分别是(选初始运动方向为正方向)(　　)
A．4 cm,24 cm B．－4 cm,100 cm
C．0,100 cm D．4 cm,100 cm
【解析】　质点振动的周期为T＝＝0.4 s，则t＝2.5 s＝6T＋，在内质点从平衡位置到达正向最大位移处，即在2.5 s末，质点的位移为4 cm，在2.5 s内质点通过的路程为s＝4A×6＋A＝25A＝100 cm.
【答案】　D
10．(2013·银川检测)一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，如图1－1－18所示，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)经过1/4周期，振子具有负方向的最大位移，那么下列四个x－t图像能正确反映运动情况的是(　　)
图1－1－18
【解析】　由于经过周期振子具有负方向的最大位移，故开始时小球应从平衡位置向负方向运动．故D正确．
【答案】　D
11．一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越小，则在这段时间内，振子的位移越来越______，速度越来越________，其位置越来越________平衡位置，振子的速度方向与加速度方向________．
【解析】　加速度减小，说明位移减小，其位置衡位置，速度方向指向平衡位置，与加速度方向相同，由于这个过程中外力做正功，所以振子的速度变大．
【答案】　小　大　靠近　相同
12．(2013·海南中学检测)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C之间做简谐运动，B、C相距20 cm.某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：
(1)振子运动的周期和频率；
(2)振子在5 s内通过的路程及位移的大小．
【解析】　(1)设振幅为A，由题意BC＝2A＝20 cm，所以A＝10 cm.
振子从B到C所用时间t＝0.5 s，为周期T的一半，所以T＝1 s，f＝＝1 Hz.
(2)振子在一个周期内通过的路程为4A则5 s内通过的路程：s＝×4A＝5×4×10 cm＝200 cm.
5 s内振子振动了五个周期，5 s末振子仍处于B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10 cm.
【答案】　(1)1 s　1 Hz　(2)200 cm　10 cm
1.2探究物体做简谐运动的原因
(教师用书独具)
●课标要求
1．知道回复力．
2．比较做简谐运动的物体在不同位置所受的力、速度、加速度、动能和势能．
●课标解读
1．掌握简谐运动的力的特征，明确回复力的概念．
2．理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化关系．
3．知道简谐运动的能量特征，知道简谐运动的能量与振幅大小的关系．
●教学地位
本节学习简谐运动的回复力、简谐运动的受力特征：加速度、速度和能量的变化．学习本节内容可以提高学生分析解决问题的能力．本节内容也是高考经常考查的知识点.
(教师用书独具)
●新课导入建议
英国科学家成功开发出一款能将振动转化为电能的“迷你发电机”，能为心脏起搏器供电．科学家相信手机、MP3等电子设备将来也可以利用这一技术，仅靠人类的心跳就能充电，而不必再使用电池．你能简述一下“迷你发电机”的原理吗？
●教学流程设计
课前预习安排：
1．看教材
2．填写【课前自主导学】(同学之间可进行讨论)?步骤1：导入新课，本节教学地位分析?步骤2：老师提问，检测预习效果(可多提问几个学生)?步骤3：师生互动完成“探究1”，分析理解简谐运动受力特征?步骤4：例题讲解，总结简谐运动回复力分析方法?步骤5：让学生完成【迁移应用】，检查完成情况并点评?步骤6：师生互动完成“探究2”(方式同完成“探究1”)?步骤7：完成“探究3”(重在讲解规律方法技巧)?步骤8：指导学生完成【当堂双基达标】，验证学习情况?步骤9：先由学生自己总结本节的主要知识，教师点评，安排学生课下完成【课后知能检测】
课　 标　解　读 重　点　难　点
1.知道什么是回复力，掌握简谐运动的条件．2.掌握简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等各量的变化规律． 1.回复力的概念和分析方法．(重点)2.简谐运动的变化规律．(重点)3.不同情况下振动过程中的受力分析．(难点)4.简谐运动速度、加速度的变化和能量转化．(难点)
回复力使物体做间谐运动
1.基本知识
(1)回复力
①概念：始终要把物体拉回到平衡位置的力．
②表达式：F＝－kx.即回复力与物体的位移大小成正比，负号表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由振动系统决定．
③方向特点：总是指向平衡位置．
④作用效果：把物体拉回到平衡位置．
⑤来源：回复力是根据力的效果(选填“性质”或“效果”)命名的，可能由合外力、某个力或某个力的分力提供．
(2)简谐运动的动力学定义
当物体受到跟位移大小成正比，方向始终指向平衡位置的合力的作用时，物体的运动就是简谐运动．
2．思考判断
(1)若弹簧振子的位移为正，则加速度一定为正．(×)
(2)若弹簧振子的回复力增大，则速度一定是减小的．(√)
(3)弹簧振子在平衡位置时，速度最大，加速度也最大．(×)
3．探究交流
如图1－2－1所示，一水平平台在竖直方向上做简谐运动，一物体置于平台上一起振动．
图1－2－1
请根据上面的情景，思考以下问题：
(1)振动物体在平衡位置受什么力？合力是多少？
(2)平台振动到什么位置时，物体对平台的压力最小？
(3)平台振动到什么位置时，物体对平台的压力最大？
【提示】　(1)在平衡位置受重力和支持力，合力为零．
(2)平台振动到最高点时，加速度方向向下且达到最大，物体失重，对平台压力最小．
(3)平台振动到最低点时，加速度方向向上且达到最大，物体超重，对平台压力最大.
研究简谐运动的能量
1.基本知识
(1)振动系统的状态与能量的关系
①振子的速度与动能：速度不断变化，动能也不断变化．
②弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断变化，因而势能也在不断变化．
(2)简谐运动的能量
一般指振动系统的机械能．振动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
①在最大位移处，势能最大，动能为零．
②在平衡位置处，动能最大，势能最小．
③在简谐运动中，振动系统的机械能守恒(选填“守恒”或“减小”)，因此简谐运动是一种理想化的模型．
(3)决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强．一个确定的简谐运动是等幅振动．
2．思考判断
(1)简谐运动总的机械能和振动周期有关．(×)
(2)振幅减小时，弹簧振子的机械能减小．(√)
(3)弹簧振子在振动过程中，不同位置的机械能是不同的．(×)
3．探究交流
弹簧振子的总能量是由哪些因素决定的？
【提示】　由弹簧的劲度系数和振幅决定.
简谐运动的受力特征
【问题导思】　
1．简谐运动回复力的表达式是怎样的？
2．回复力有什么样的特点？
3．怎样判断一个物体是否做简谐运动？
1.对F＝－kx的理解
(1)公式中的F表示做简谐运动的物体所受的回复力，它是根据力的效果命名的，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某几个力的合力或分力等．如图1－2－2所示，(a)图中是弹簧的弹力充当回复力，(b)图中是物体重力和弹簧弹力的合力充当回复力，而(c)图中则是两弹簧的弹力充当回复力．
图1－2－2
(2)公式中的k是一个比例系数，对弹簧振子来说，k等于弹簧的劲度系数，与振子的质量等无关，单位为 N/m.
(3)公式中的“－”号表示回复力的方向与位移方向始终相反．
2．简谐运动的动力学判断方法
(1)判断一个振动是不是简谐运动，关键是判断回复力是否满足其大小与位移成正比，方向总与位移方向相反．
(2)分析思路
①确定物体静止时的位置——即平衡位置．
②对振动物体进行受力分析．
③沿振动方向对力进行合成与分解．
④分析振动物体在任一点受到的回复力是否满足F＝－kx.
　(2013·石嘴山检测)
图1－2－3
如图1－2－3所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于(　　)
A．0　　B．kx　　C.kx　　D.kx
【审题指导】　(1)振动过程中，A、B之间无相对运动，可先用整体法分析A、B共同受力，确定位移为x时的受力情况和加速度．
(2)对物体A受力分析，确定A、B之间的摩擦力．
【解析】　当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力(即弹簧弹力)的大小为kx，以整体为研究对象，此时m与M具有相同的加速度，根据牛顿第二定律kx＝(m＋M)a得：a＝.以A为研究对象，使m产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝kx.
【答案】　D
1．(多选)物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是(　　)
A．平衡位置就是回复力为零的位置
B．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
C．物体到达平衡位置，合力一定为零
D．物体到达平衡位置，回复力一定为零
【解析】　本题考查简谐运动平衡位置这一知识点，并考查了处于平衡位置时回复力和物体所受合力等问题．应注意平衡位置是回复力等于零的位置，但物体所受到的合力不一定为零．因此A、D正确．
【答案】　AD
简谐运动过程中物理量变化规律
【问题导思】　
1．简谐运动的加速度和位移有什么关系？
2．简谐运动速度的变化有什么规律？
3．简谐运动的动能和势能怎样相互转化？
简谐运动中，由于位移x时刻变化，所以会引起回复力F、加速度a、速度v、动能Ek和势能Ep的变化，具体的变化规律见下表：
弹簧
振子
振子
的运动 位移 加速度
(回复力) 速度 动能 势能
O→B 增大，
方向向右 增大，
方向向左 减小，
方向向右 减小 增大
B 最大 最大 0 0 最大
B→O 减小，
方向向右 减小，
方向向左 增大，
方向向左 增大 减小
O 0 0 最大 最大 0
O→C 增大，
方向向左 增大，
方向向右 减小，
方向向左 减小 增大
C 最大 最大 0 0 最大
C→O 减小，
方向向左 减小，
方向向右 增大，
方向向右 增大 减小
1．简谐运动中的机械能守恒．动能和势能相互转化，平衡位置处动能最大，势能为零，最大位移处势能最大，动能为零．简谐运动的能量由振幅决定，振幅大，能量大．
2．分析时，充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起来，通过胡克定律、牛顿第二定律可以计算出在位移最大处的加速度的值．
图1－2－4
　(多选)(2013·海口市第一中学检测)如图1－2－4所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子用M表示，若振子运动到B处时将一物体m放到M的上面，且m和M保持相对静止而一起运动，下述正确的是(　　)
A．振幅不变　　　　
B．振幅减小
C．最大动能不变
D．最大动能减少
【审题指导】　将质量为m的物体，放到M的上面且保持相对静止，振动系统的总能量不变，故振幅和最大动能都保持不变.
【解析】　当振子运动到B处时，M的动能为零，放上m，系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能Ep，由于简谐运动过程中系统的机械能守恒，即振幅不变，故A正确．当M和m运动至平衡位置O时，M和m的动能之和即为系统的总能量，此时动能最大，系统总能量不变，故最大动能不变，C正确．
【答案】　AC
简谐运动是一种无能量损失的振动，它只是在动能与势能之间发生转化，但总机械能守恒，其能量只由振幅决定，即振幅不变振动系统的能量不变，当m在最大位移处轻放在M上，说明m刚放上时动能为0，m和M间无相对运动，m放上前后振幅没改变，振动系统机械能总量不变．
2．(多选)如图1－2－5所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，下列关于振子的振动过程中正确的是(　　)
图1－2－5
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
【解析】　振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻，只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误．
【答案】　ABC
综合解题方略——应用对称法解答简谐运动问题
　弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.50 s时，振子速度第二次变为－v.
图1－2－6
(1)求弹簧振子振动周期T.
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.00 s内通过的路程．
【审题指导】　(1)振子到达P点关于O点的对称点Q速度第二次变为－v，可以确定，P→B→P→O→Q所用时间为T，由此可以确定弹簧振子的周期T.
(2)B、C之间距离为25 cm，是T时间内的路程．
【规范解答】　(1)根据运动的对称性，振子在t＝0.50 s运动到P关于O的对称点Q，历时T，如图，故周期T＝2 t＝1.00 s.
(2)振动通过的路程为s＝×4A＝×4×cm＝200 cm.
【答案】　(1)1.00 s　(2)200 cm
对称性的应用技巧
简谐运动的对称性主要体现在六个物理量上，即位移、速度、加速度、回复力、动能、势能，这六个量中前四个量是矢量，不仅要注意它们的大小，还要注意它们的方向，势能应是振动物体重力势能和弹性势能的总和．
物体做简谐
运动的原因回复力表达式：F＝－kx特点：大小和位移成
正比，方向和位移相反能量动能和势能相互转化系统的机械能守恒
1．如图1－2－7所示，在水平方向上振动的弹簧振子受力情况是(　　)
图1－2－7
A．重力、支持力和弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力和回复力
C．重力、支持力和回复力
D．重力、支持力
【解析】　回复力是按力的作用效果命名的，不是性质力，在对物体进行受力分析时是对性质力进行分析，因此不能添加上回复力，故选项B、C、D错误，选项A正确．
【答案】　A
2．(2013·赣州高二检测)对于弹簧振子的回复力与位移的关系的图像，下列选项中正确的是(　　)
【解析】　根据公式F＝－kx，可判断回复力与位移的关系图像是一条直线，斜率为负值，故选项C正确．
【答案】　C
3．(2013·宝鸡检测)如图1－2－8所示为一弹簧振子的振动图像，在A、B、C、D、E、F各时刻中：
图1－2－8
(1)哪些时刻振子有最大动能？
(2)哪些时刻振子有相同速度？
(3)哪些时刻振子有最大势能？
(4)哪些时刻振子有最大相同的加速度？
【解析】　由图可知，B、D、F点在平衡位置，具有最大动能，而A、C、E点在最大位移处，具有最大势能．
根据振动方向：B、F两点向负方向振动，D点向正方向振动，可知D点与B、F点虽然速度大小相等，但方向相反．
根据位移：A、E两点位移相同，C点位移虽然大小与A、E两点相同，但方向相反．可知C点与A、E点虽然受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反．
【答案】　(1)B、D、F时刻振子有最大动能
(2)A、C、E时刻振子速度都为零，B、F时刻振子速度相同
(3)A、C、E时刻振子有最大势能
(4)A、E时刻振子有相同的最大加速度
1．关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是(　　)
A．可以是恒力
B．可以是方向不变而大小变化的力
C．可以是大小不变而方向改变的力
D．一定是变力
【解析】　由F＝－kx可知，由于位移的大小和方向在变化，因此回复力的大小和方向也在变化．一定是变力．
【答案】　D
2．(多选)关于简谐振动，以下说法中正确的是(　　)
A．回复力总指向平衡位置
B．加速度、速度方向永远一致
C．在平衡位置加速度、速度均达到最大值
D．在平衡位置速度达到最大值，而加速度为零
【解析】　回复力是把物体拉回到平衡位置的力，A对；加速度方向始终指向平衡位置，速度方向可能指向平衡位置，也可能远离平衡位置，B错；平衡位置位移为零，据a＝－知加速度为零，势能最小，动能最大，速度最大，C错，D对．
【答案】　AD
3．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　)
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
【解析】　振子的位移指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小．而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝F/m得，加速度也减小，物体向平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大．
【答案】　D
4．(多选)(2013·咸阳检测)如图1－2－9所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)
图1－2－9
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第2 s内，质点速度逐渐增大
C．在第3 s内，动能转化为势能
D．在第4 s内，动能转化为势能
【解析】　质点在第1 s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，势能转化为动能，所以选项D错误．
【答案】　BC
5．(多选)如图1－2－10所示
图1－2－10
，轻质弹簧下挂一个重为300 N的物体A，伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时又伸长了2 cm，若将连接A、B两物体的细线烧断，使A在竖直面内振动，则(　　)
A．最大回复力为300 N
B．最大回复力为200 N
C．振幅为3 cm
D．振幅为2 cm
【解析】　在最低点绳被烧断后，A受到的合力是200 N，B对；振幅应是2 cm，D对．
【答案】　BD
6．(2013·榆林检测)如图1－2－11甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从振子处于最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示．关于这个图像，下列说法正确的是(　　)
甲
　乙
图1－2－11
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负
C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值
D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值
【解析】　t＝1.25 s时，加速度为负，速度为负；t＝1.7 s时，加速度为正，速度为负；t＝1.0 s时，速度为零，加速度为负向最大值；t＝1.5 s时，速度为负向最大值，加速度为零，故C正确．
【答案】　C
7．(多选)做简谐运动的物体，每次经过同一位置时，都具有相同的(　　)
A．加速度　　　　　　B．速度
C．位移 D．动能
【解析】　做简谐运动的物体，每次经过同一位置时具有相同的位移，位移相同则回复力相同，回复力相同则加速度相同；速度大小相等，但方向可能相同，也可能相反，但动能一定是相等的，所以A、C、D正确．
【答案】　ACD
8．(2013·赤峰检测)
图1－2－12
如图1－2－12所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中(　　)
A．小球最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
【解析】　设小球受力平衡时弹簧的压缩量为x0，则有mg＝kx0，由题意知x0＝A，小球振动到最低点时，弹簧的压缩量为2x0＝2A，弹力为k·2x0＝2mg，选项D错误；由动能定理知，小球由最高点到最低点的过程中，重力势能减少量mg·2A全部转化为弹簧的弹性势能，选项C正确；在平衡位置时，小球的动能最大，由最高点振动到平衡位置的过程中，重力势能减少量mgA一部分转化为动能，一部分转化为弹性势能，故选项A错误；小球在振动过程中还有重力势能的变化，故选项B错误．
【答案】　C
9．(多选)
图1－2－13
如图1－2－13所示是某弹簧振子的振动图像，试由图像判断下列说法中正确的是(　　)
A．振幅是3 cm
B．周期是8 s
C. 4 s末小球速度为负，加速度为零，回复力为零
D．第22 s末小球的加速度为正，速度最大
【解析】　纵轴是质点离开平衡位置的位移，横轴是时间，图像是振动图像．由图像可知振幅A＝3 cm，故A正确；而周期T＝8 s，故B正确；4 s末时质点在“下坡路程”，因而速度为负，而质点正好在平衡位置，因而a＝0，C正确；第22 s末恰是2个周期，因而质点正处于负向最大位移处，速度为0，加速度正向最大，则D错误，故正确选项为A、B、C.
【答案】　ABC
10．如图1－2－14所示，小球被套
图1－2－14
在光滑的水平杆上，跟弹簧相连组成弹簧振子，小球在平衡位置附近的A、B间往复运动，以O为位移起点，向右为位移x的正方向，则：
(1)速度由正变负的位置在________；
(2)位移为负向最大值的位置在________；
(3)加速度由正变负的位置在________；
(4)加速度达到正向最大值的位置在________．
【解析】　矢量由正变负时，就是矢量改变方向时，也就是该矢量数值为零时，故速度由正变负的位置在B点，加速度由正变负的位置在O点，负向最大位移的位置在A点．加速度a＝－x，正向最大加速度处的位置在A点．
【答案】　(1)B　(2)A　(3)O　(4)A
11．已知水平弹簧振子的质量为2 kg，当它运动到平衡位置左侧2 cm时受到的回复力为4 N，求当它运动到平衡位置右侧4 cm时，受到的回复力的大小和方向以及加速度的大小和方向．
【解析】　F＝－kx，所以F1的大小F1＝kx1，由此可得k＝200 N/m.F2＝kx2＝200×4 ×10－2 N＝8 N，由于位移向右，故回复力F2的方向向左．
根据牛顿第二定律a2＝＝ m/s2＝4 m/s2，方向向左．
【答案】　回复力大小为8 N，方向向左　加速度大小为4 m/s2，方向向左
12．如图1－2－15所示，质量为m的小球在两根劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧作用下在光滑水平面上的运动(小球在O点时两根弹簧均处于自由状态)是否是简谐运动？
图1－2－15
【解析】　弹力的合力，其大小为F＝F1＋F2＝(k1＋k2)x，令k＝k1＋k2，上式可写成：F＝kx.由于小球所受回复力的方向与位移x的方向相反，考虑方向后，上式可表示为：F＝－kx.所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平面做简谐运动．
【答案】　是简谐运动
1.3探究摆钟的物理原理
1.4探究单摆振动的周期
(教师用书独具)
●课标要求
1．通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系．
2．知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系．会用单摆测定重力加速度．
●课标解读
1．知道什么是单摆，知道单摆做简谐运动的条件．
2．会分析单摆做简谐运动的回复力．
3．了解振动的步调问题．
4．掌握单摆的周期公式、理解影响单摆周期的因素．
5．掌握用单摆测重力加速度的方法．
●教学地位
本节学习简谐运动的又一个模型——单摆．并分析单摆受力情况、运动过程和周期公式．单摆模型是一个很重要的简谐运动模型，在高考中也经常涉及．
(教师用书独具)
●新课导入建议
日常生活中，我们常常见到钟表店里摆钟锤的振动，如图教1－3－1所示，
图教1－3－1
这种振动有什么特点呢？它是根据什么原理制成的？摆钟类似于物理上的一种理想模型——单摆．这节课我们就来学习有关单摆的知识，那么以上问题我们就能迎刃而解．
●教学流程设计
课前预习安排：
1．看教材
2．填写【课前自主导学】(同学之间可以进行讨论)?步骤1：导入新课，本节教学地位分析?步骤2：老师提问，检查预习效果(可多提问几个学生)?步骤3：师生互动完成“探究1”，分析单摆模型的运动特点和回复力?步骤4：例题讲解并总结单摆受力情况和运动情况分析方法?步骤5：让学生完成【迁移应用】检查完成情况并点评?步骤6：师生互动完成“探究2”(方式同完成“探究1”)?步骤7：师生互动完成“探究3”(方式同完成“探究1”)?步骤8：完成“探究4”(重在讲解规律方法技巧)?步骤9：指导学生完成【当堂双基达标】验证学习情况?步骤10：先由学生自己总结本节的主要知识，教师点评，安排学生课下完成【课后知能检测】
课　 标　解　读 重　点　难　点
1.知道什么是单摆，了解单摆的构成．2.掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动．3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算． 1.分析单摆回复力的来源及证明单摆满足简谐运动的条件．(重点)2.通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式并能应用公式分析、解决问题．(重点)3.对单摆振动回复力的分析．(难点)4.与单摆振动周期相关的因素．(难点)
单摆的运动特点和步调问题
1.基本知识
(1)组成
一根很轻的细线系着一个有质量的质点．
(2)理想化要求
①细线质量与小球质量相比可以忽略．
②细线的长度比小球直径大得多．
(3)探究单摆运动的特点
①回复力的提供
摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．
②回复力的特点
在偏角很小时，单摆所受到的回复力跟位移成正比，而方向相反，即F＝－x，令＝k，则F＝－kx.
③运动规律
单摆在偏角很小时，单摆做简谐运动．
(4)研究振动的步调问题
①“相”(或“相位”、“位相”、“周相”)
描述振动步调的物理量．两个单摆振动步调一致，我们称为同相．
两个单摆振动步调不一致，就说它们存在着相差，两个单摆振动步调正好相反，叫做反相．
②相差
它是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异．
2．思考判断
(1)一根长弹性绳和一个密度大、体积小的小球可以构成一个单摆．(√)
(2)单摆在平衡位置的合力为零．(×)
(3)单摆的回复力是由小球受到的合力提供的．(×)
3．探究交流
单摆的回复力是由什么提供的？
【提示】　单摆的回复力是由小球受到的重力沿切线方向的分力来提供的．
探究单摆的周期
1.基本知识
(1)单摆振动的周期跟哪些因素有关
①探究方法：控制变量法．
②实验结论
(2)单摆的周期公式
①公式：T＝2π，即T与摆长l的平方根成正比，与重力加速度g的平方根成反比．
②应用：计时器(摆钟)
原理：单摆的等时性．
校准：调节摆长可调节摆钟的快慢．
(3)追寻惠更斯的足迹——测重力加速度
由T＝2π得g＝，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度．
2．思考判断
(1)摆球的质量越大，单摆的周期越小．(×)
(2)有一单摆在摆角小于5°的情况下，摆角越大，周期越大．(×)
(3)把一单摆从上海带到西藏，单摆的周期变大．(√)
3．探究交流
小明家从广州搬到北京，搬家时把家中的大摆钟也带到北京去了．请思考以下问题：
(1)这个摆钟到北京后是否还准时？
(2)若不准，是偏慢还是偏快？
(3)如需调整应该怎样调整？
【提示】　(1)不准时．(2)由于g变大，T变小，故摆钟偏快．(3)可以调节摆长，使l变大些.
单摆的运动特点和受力分析
【问题导思】　
1．摆球在摆动时做什么运动？什么情况下可看做简谐运动？
2．为什么说θ很小时，单摆的运动可以看做简谐运动？
3．单摆摆球在最低点时受力是否平衡？
1.运动特点
(1)摆球以悬挂点为圆心，在竖起平面内做变速圆周运动．
(2)摆角很小时(θ＜5°)摆球的运动可以看做以最低点为平衡位置做简谐运动．
2．摆球的受力
(1)一般位置：如图1－3－1所示
图1－3－1
，G1＝Gsin θ，G2＝Gcos θ，G1的作用是提供摆球以O为中心做简谐运动的回复力，T－G2为摆球做圆周运动提供向心力．
(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G1＝0，回复力F＝0；G2＝G，T－G的作用是提供向心力．
(3)单摆的简谐运动在θ很小时(小于5°)，sin θ≈tan θ＝，G1＝Gsin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝－x＝－kx.因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律，图像是正弦或余弦曲线．
(4)单摆的圆周运动F向＝T－G2＝T－mgcos θ＝.
1．单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力．
2．单摆的运动不一定是简谐运动，只有在摆角较小的情况下才能看做简谐运动，理论上θ角一般不超过5°，但在实验中，摆角很小时单摆运动的细节不易观察清楚，带来的测量误差反而会大，因此实验中一般认为θ角不超过10°，甚至认为不超过15°.
　(多选)(2013·吴忠检测)关于单摆，下列说法正确的是(　　)
A．单摆的回复力等于摆球所受的合外力
B．单摆的回复力等于摆球重力沿圆弧切线方向的分力
C．摆球到平衡位置时，所受回复力等于零
D．摆球到平衡位置时，所受合外力等于零
【审题指导】　(1)明确摆球的受力情况(只受重力和拉力)．
(2)明确摆动的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，其方向始终指向平衡位置．
(3)明确向心力和回复力的区别．
【解析】　单摆在振动过程中受重力和绳的拉力，重力沿圆弧切线方向的分力使摆球返回平衡位置，即为回复力，绳拉力与重力沿半径方向分力的合力指向圆心，即为向心力．摆球在摆动过程中既有回复力又有向心力(平衡位置和最大位移处除外)，所以选项A错误，B正确．在平衡位置，单摆的回复力等于零，但合外力不等于零，合外力提供向心力，选项C正确，D错误．
【答案】　BC
单摆振动的回复力是重力在圆弧切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在圆弧切线方向的分力，摆球所受的合外力在沿摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是所有合外力都作为回复力．
1．(多选)对于单摆的振动，以下说法中正确的是(　　)
A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时向心力最大
【解析】　单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为mv2/l，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零．故应选C、D.
【答案】　CD
单摆的周期公式及应用
【问题导思】　
1．单摆的周期是由什么因素决定的？
2．确定公式中的g值应注意哪些问题？
3．确定单摆的摆长应注意什么问题？
1.重力加速度影响周期
周期与重力加速度有关，重力加速度越大，周期越短．
(1)单摆所处的空间位置
地球表面附近的物体一般有＝mg，即g＝，可见，g随单摆高度的变化而变化．在越高的地方，离地心越远，g越小，周期越长．在不同星球上，M和R一般不同，g也不同．因此公式中的g不一定等于9.8 m/s2.
(2)系统的运动状态
如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a，则系统中的等效重力加速度g′＝g＋a，但单摆如果在轨道上正常运行的航天舱内，摆球将完全失重，等效重力加速度g′＝0，单摆的周期无穷大，即单摆不摆动．
2．摆长l
(1)在单摆模型中，由于球直径与摆线长相比可以忽略，摆长等于摆线长．在实际问题中，如探究单摆周期与摆长的关系实验，用单摆测定重力加速度实验，摆球不能看成质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度，因此在这两个实验中，摆长都等于摆线长加上摆球半径．
(2)等效摆长：如图1－3－2甲、乙所示．图中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sin α，这就是等效摆长．其周期T＝2π .图1－3－3所示，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．
　　
图1－3－2　 图1－3－3
1．单摆的摆长是指从悬点到球心的距离，不能把细线的长度看成摆长．
2．公式中的重力加速度指的是在地球表面的单摆，如果是类单摆(与单摆的形式相同，但回复力不是重力的分力)，要找出等效重力加速度．
　如图1－3－4所示，固定在天花板上等长的两根细线AO、BO长0.8 m，与水平面夹角都为53°，下端拴着质量m＝0.2 kg的小球(小球大小可忽略)，使小球在垂直
图1－3－4
纸面的竖直平面内摆动起来．求：
(1)如果摆角θ<5°，小球的摆动周期．
(2)如果小球在摆动中到达最低点速度v＝0.5 m/s，则此时两细线受到的拉力各为多少．
【审题指导】　(1)小球的大小可以忽略，小球的摆长等于△OAB的高OC.
(2)根据圆周运动向心力分析两细线的拉力．
【解析】　(1)此题首先设置了一个障碍，悬点未知，摆球的摆长是多少？此时双线摆的悬点为C点，所以等效摆长应为l＝CO＝L·sin 53°＝0.64 m，
所以单摆周期为T＝2π＝1.6 s.
(2)通过受力分析可知2F·sin 53°－mg＝m，所以F≈1.3 N.
【答案】　(1)1.6 s　(2)1.3 N
2．(2013·西安高新一中检测)如图
图1－3－5
1－3－5所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距l－l′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为 (　　)
A．2π　　　　　　　B．2π
C．π(＋) D．2π
【解析】　碰钉子前摆长为l，故周期T1＝2π，碰钉子后摆长变为l′，则周期T2＝2π，所以此摆的周期T＝＋＝π(＋)．
【答案】　C
实验：用单摆测重力加速度
1.做单摆
(1)让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结．
(2)把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记．
2．测摆长
用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米；则l＝l′＋，即为单摆的摆长．
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于10°，然后由静止释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30次～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T.
4．算重力加速度
(1)应用公式g＝计算重力加速度的值．
(2)改变摆长，重复实验三次，计算重力加速度的平均值．
5．分析和比较
将测得的重力加速度的值和当地的重力加速度比较，分析产生误差的原因．
　(2013·海口九中检测)在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图1－3－6甲所示，则单摆摆长是________ m．若测定了40次全振动的时间如图1－3－6乙中秒表所示，则秒表读数是________ s，单摆摆动周期是________．
　　　 甲　　　 乙
图1－3－6
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图1－3－7中用“·”表示的点，则
图1－3－7
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________；
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________ m/s2.(结果取两位有效数字)
【审题指导】　(1)在读数时，需注意有效数字问题，毫米刻度尺的有效数字在0.1 mm位，需估读，而秒表为0.1 s，不估读．
(2)在作图像时，由于有测量误差，会造成并非所有的点都在一条直线上，作图时应让误差较大的点均匀分布在直线两侧．提高实验的准确性．
【解析】　由T＝2π可知g＝，
由图可知：摆长l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm
＝0.875 m，
秒表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，
所以T＝＝1.88 s.
(1)单摆做简谐运动的条件是θ≤5°.
(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点均匀分布在直线的两侧，则直线斜率k＝.
由g＝＝，
可得g＝9.6 m/s2.
【答案】　　0.875　75.2　1.88 s
(1)摆角≤5°　(2)图略　9.6
3．一位同学用单摆做测定重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤：
A．测摆长l：用米尺量出摆线的长度；
B．测周期T：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下停表开始计时，同时将此次通过最低点作为第1次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按下停表停止计时，读出这段时间t，算出单摆的周期T＝；
C．将所测得的l和T代入单摆的周期公式T＝2π ，算出g，将它作为实验的最后结果写入报告中去．
指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正(不要求进行误差计算)．
【解析】　A．要用游标卡尺测摆球直径d，摆长l等于摆线长加上d/2.
B．周期T＝.
C．应多测量几次，然后取g的平均值作为实验的最后结果．
【答案】　见解析
综合解题方略——类单摆问题的综合分析
　如图1－3－8所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R A.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问：
图1－3－8
(1)两球第1次到达C点的时间之比．
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
【审题指导】　解答本题时应注意以下两点：
(1)小球在光滑圆弧内的小幅度运动可看做是单摆模型，周期公式同样是T＝2π，其中l是这个圆弧的半径．
(2)解题时，应注意单摆的往返运动导致的多解性．
【规范解答】　(1)甲球做自由落体运动
R＝gt，所以t1＝
乙球沿圆弧做简谐运动(由于A R，可认为摆角θ＜5°)．此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此第1次到达C处的时间为
t2＝T＝×2π＝
所以t1∶t2＝2∶π.
(2)设甲球从离圆弧最低点h高处开始自由下落t甲＝
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达最低点时间为t乙＝＋n＝(2n＋1)　(n＝0,1,2…)
由于甲、乙相遇t甲＝t乙
解得h＝(n＝0,1,2…)．
【答案】　(1)2：π　(2)(n＝0,1,2…)
类单摆问题分析技巧
1．类单摆的特点
(1)物体沿圆弧做往复运动．
(2)摆动角度很小，θ＜5°.
(3)回复力F＝－kx.
2．实例
小球沿光滑圆弧做小角度的往复运动，圆弧半径远大于小球的直径．
3．周期
T＝2π，其中l为等效摆长，g为等效重力加速度．
4．注意问题
小球沿光滑圆弧轨道做往复运动时具有周期性，可能有多解．要审清题意，防止漏解或无中生有的添加解．
单摆单摆的组成看做简谐运动
的条件周期公式T＝2π周期公式的应用和类单摆
【备课资源】　(教师用书独具)
昆虫的“嗡嗡”声
为什么昆虫在飞的时候会发出“嗡嗡”声呢？它们大多数是没有发声的特殊器官的．这个“嗡嗡”声只有在昆虫飞行的时候才能发出，原因是昆虫飞行的时候，每秒钟都要振动它的小翅膀几百次．
振动着的翅膀事实上就是振动着的膜片，而我们知道，所有振动得足够频繁的膜片(每秒钟振动次数超过16次)，都会产生一定高低的音调．现在你就能明白，人们是用什么方法知道各种昆虫飞行的时候翅膀振动的次数了．这件事情很简单，只要从听觉上判定昆虫发出“嗡嗡”声的音调高低就行了．因为每一种音调都是跟一定的振动频率相当的．通过高速摄影技术，人们确定了各种昆虫的翅膀振动次数是几乎不变的；昆虫要调节它们的飞行，只是改变翅膀振动幅度即“振幅”的大小和翅膀的倾斜度；只有到天冷的时候才增加每秒钟振动翅膀的次数．正是因为这个缘故，昆虫在飞行的时候发出的音调总是不变的．
人们已经测定，譬如说，苍蝇(飞行的时候发出F调音)每秒钟振动翅膀352次．山蜂每秒钟振动翅膀220次．蜜蜂在没采到蜜飞行的时候发出A调音，每秒钟振动翅膀440次，如果带着蜜飞行，翅膀每秒钟只振动330次(B调音)．甲虫飞行的时候发出的音调比较低，翅膀振动得比较慢．相反蚊子每秒钟要振动翅膀500次～600次．为了使大家对上面这些数目有进一步的了解，还可以比较一个数目：飞机的螺旋桨，平均每秒钟转25转．
1.下列装置哪些可视为单摆(　　)
【解析】　A摆小球质量大体积小，摆线质量小且不可伸长，可以看做单摆；B摆摆线为橡皮筋，长度可变，不符合单摆的要求；C摆粗麻绳质量太大；D摆用乒乓球作摆球，质量太小．
【答案】　A
2．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　　)
A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用
B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大
C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
【解析】　单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力作用，故A错．重力垂直于摆线方向的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，拉力等于重力沿摆线方向的分力大小，则拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错，B对．
【答案】　B
3．(2013·佛山高二检测)某一单摆的周期为2 s，现要将该摆的周期变为4 s，下面措施中正确的是(　　)
A．将摆球质量变为原来的
B．将振幅变为原来的2倍
C．将摆长变为原来的2倍
D．将摆长变为原来的4倍
【解析】　由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与其他因素无关，故A、B均错．要想使周期变为原来的2倍，则可以使摆长变为原来的4倍，故C错，D对．
【答案】　D
4．下述哪些情况下，单摆的周期会增大(　　)
A．增大摆球质量
B．缩短摆长
C．减小单摆振幅
D．将单摆由山下移到山顶
【解析】　由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小时周期会变大，正确答案为D.
【答案】　D
5．(2013·西安高级中学检测)甲、乙两只相同的摆钟同时计时，当甲钟指示45 min时，乙钟已指示1 h，则甲、乙两钟的摆长之比l甲∶l乙＝________.
【解析】　设甲、乙两钟经过的时间为t，周期分别为T甲、T乙，标准钟的周期为Ts.则两钟在t时间内完成全振动的次数为
N甲＝，N乙＝.
两钟显示的时间为：t甲＝·Ts，t乙＝·Ts.
所以＝.由T＝2π ，得l甲∶l乙＝t∶t＝16∶9.
【答案】　16∶9
1．(2013·海南国兴中学检测)单摆做简谐运动的回复力是(　　)
A．摆球的重力
B．摆球所受重力与悬线对摆球的拉力的合力
C．悬线对摆球的拉力
D．摆球所受重力在圆弧切线方向上的分力
【解析】　单摆做简谐运动时，摆球如同做圆周运动，摆球重力的切向分力充当回复力，摆球重力的径向分力与摆线拉力的合力充当向心力，D正确．
【答案】　D
2．要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是(　　)
A．增大摆球的质量　　　　　B．缩短摆长
C．减小摆动的角度 D．升高气温
【解析】　由单摆的周期公式T＝2π，可知周期只与l、g有关，而与质量、摆动的幅度无关．当l增大时，周期增大；g增大时，周期减小；l减小时，周期减小，频率增大．所以选B.
【答案】　B
3．两个单摆都做简谐运动，在同一地点甲摆振动20次时，乙摆振动了40次，则(　　)
A．甲、乙摆的振动周期之比为1∶2
B．甲、乙摆的振动周期之比为∶1
C．甲、乙摆的摆长之比为1∶4
D．甲、乙摆的摆长之比为4∶1
【解析】　由题意知20T甲＝40T乙，故T甲∶T乙＝2∶1，A、B错；而T＝2π，所以l甲∶l乙＝T∶T＝4∶1，C错，D对．
【答案】　D
4．(2011·上海高考)两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v1、v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则(　　)
A．f1>f2，A1＝A2
B．f1C．f1＝f2，A1>A2
D．f1＝f2，A1【解析】　单摆的频率由摆长决定，摆长相等，频率相等，所以A、B错误；由机械能守恒，小球在平衡位置的速度越大，其振幅越大，所以C正确，D错误．
【答案】　C
5．(2013·延安检测)如图
图1－3－9
1－3－9所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若摆线长为l，两线与天花板的左右两侧夹角为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为(　　)
A．2π 　　　　　　B．2π
C．2π D．2π
【解析】　这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π.但注意此处的l与题中的摆线长不同，公式中的l指质点到悬点(等效悬点)的距离，即做圆周运动的半径．单摆的等效摆长为lsin α，故周期T＝2π ，故选D.
【答案】　D
6．如图1－3－10
图1－3－10
所示，光滑轨道的半径为2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6 cm与2 cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开 ，则两小球相碰的位置是(　　)
A．C点 B．C点右侧
C．C点左侧 D．不能确定
【解析】　由于半径远大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆．因此周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故选项A正确．
【答案】　A
7．甲、乙
图1－3－11
两个单摆在同一地方做简谐运动的图像如图1－3－11所示，由图可知(　　)
A．甲和乙的摆长一定相同
B．甲的摆球质量一定较小
C．甲和乙的摆角一定相等
D．在平衡位置时甲、乙摆线受到的拉力一定相同
【解析】　由图像可知周期相等，因T＝2π，故两单摆摆长相等，A正确；摆动周期与摆球质量、摆角无关，故B、C错误；因不知摆球质量和摆角大小，故D错误．
【答案】　A
8．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀地附着在摆球的表面，下列说法正确的是(　　)
A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大
B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小
C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大
D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大
【解析】　在最大位移处，雨滴落到摆球上，质量增大，同时摆球获得初速度，故振幅增大；但摆球质量不影响周期，周期不变，D正确．
【答案】　D
9.
图1－3－12
如图1－3－12所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有(　　)
A．A球先到达C点
B．B球先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪一个球先到达C点
【解析】　A做自由落体运动，到C所需时间tA＝ ，R为圆弧轨道的半径．
因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为R的单摆)，则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即tB＝＝>tA，所以A球先到达C点．
【答案】　A
10．(2013·长安一中检测)下面是用单摆测定重力加速度的实验数据．
摆长l/m 0.5 0.6 0.8 1.1
周期T2/s2 2.2 2.5 3.2 4.5
(1)利用上述数据在坐标图1－3－13中描出l－T2图像；
图1－3－13
(2)利用图像，取T2＝0.1×4π2 s2≈3.95 s2，求出重力加速度．
【解析】　(1)图像如图所示：
(2)由图像中读出当T2＝3.95 s2时，l＝0.96 m，
重力加速度g＝＝ m/s2＝9.6 m/s2.
【答案】　见解析
11．有一单摆，其摆长l＝1.02 m，摆球的质量m＝0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，试求：当地的重力加速度是多大？
【解析】　当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2π，由此可得g＝4π2l/T2，只要求出T值代入即可．
因为T＝＝ s＝2.027 s
所以g＝4π2l/T2＝ m/s2＝9.97 m/s2.
【答案】　9.97 m/s2
12．(2013·西安一中检测)某同学在做《研究单摆的运动、用单摆测重力加速度》实验的步骤为：
(1)用长为l的轻质细线一端固定在铁架台上，另一端系一质量为m的小钢球制成一单摆．
(2)用毫米刻度尺测量悬点到球心的距离为L.
(3)把单摆从平衡位置拉开一个很小角度，释放后让摆球在竖直平面内摆动，从摆球过________位置开计始时，测得单摆完成n次全振动的时间为t.
(4)根据以上测量物理量计算当地重力加速度g＝________(用以上字母表达)．
请将步骤补充完整．
【解析】　测量单摆运动周期从摆球过平衡位置开始计时，测得单摆完成n次全振动的时间为t.由t＝nT，T＝2π联立解得g＝
【答案】　(3)平衡　(4)
1.5受迫振动与共振
(教师用书独具)
●课标要求
1．通过实验，认识受迫振动的特点．
2．了解产生共振的条件以及在技术上的应用．
●课标解读
1．知道什么是阻尼振动，了解阻尼振动的图像．
2．掌握受迫振动的概念，理解受迫振动的振幅与驱动力的频率之间的关系．
3．理解共振的原因，掌握产生共振的条件．知道生活中共振的应用与防止．
●教学地位
本节学习阻尼振动、受迫振动和共振的概念，学生了解日常生活和工农业生产中的共振现象．可以激发兴趣，培养热爱科学的探索精神.
(教师用书独具)
●新课导入建议
明代抗倭名将戚继光曾在城墙根下每隔一定距离挖一深坑，
图教1－5－1
坑里埋置一只容量有七八十升的陶瓮，瓮口蒙上皮革，让听觉聪敏的人伏在这个瓮上听动静，遇有敌人挖地道攻城的响声，不仅可以发觉，而且根据各瓮瓮声的响度差异可以识别来敌的方向和远近．你知道其中的道理吗？
●教学流程设计
课前预习安排
1．看教材
2．填写【课前自主导学】(同学之间可进行讨论)?步骤1：导入新课，本节教学地位分析?步骤2：老师提问，检测预习效果(可多提问几个学生)?步骤3：师生互动完成“探究1”，了解阻尼振动的特点和图像?步骤4：例题讲解，教师总结阻尼振动的特点及图像的应用?步骤5：让学生完成【迁移应用】检查完成情况并点评?步骤6：师生互动完成“探究2”(方式同完成“探究1”)?步骤7：完成“探究3”(重在讲解规律方法技巧)?步骤8：指导学生完成【当堂双基达标】，验证学习情况?步骤9：先由学生自己总结本节的主要知识，教师点评，安排学生课下完成【课后知能检测】
课　 标　解　读 重　点　难　点
1.知道什么是阻尼振动；知道在什么情况下可以把实际发生的振动看做简谐运动． 1.受迫振动和驱动力的概念．(重点)
2.知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，能举出受迫振动的实例．知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关． 2.共振及产生共振的条件．(重、难点)
3.知道什么是共振以及发生共振的条件． 3.当f驱＝f固时，物体做受迫振动的振幅最大．(难点)
振动中的能量损失
1.基本知识
(1)阻尼振动
振动中振幅逐渐减小的振动．振动系统受到的阻力越大，振幅减小的越快．
(2)阻尼振动产生的原因
振动系统克服摩擦力和其他阻力做了功，系统的机械能不断减小，振幅也不断减小．
(3)阻尼振动的图像
如图1－5－1所示，振幅逐渐减小，最后停止振动．
图1－5－1
(4)实际振动的理想化
当阻力很小时，在不太长的时间内看不出振幅明显减小，可以把它当做简谐运动来处理．
2．思考判断
(1)阻尼振动是振幅逐渐减小的振动．(√)
(2)当介质阻力较大时，弹簧振子的周期会增大，频率会
减小．(×)
(3)通过补充能量可以使阻尼振动保持振幅不变．(√)
3．探究交流
图1－5－2
观察图1－5－2，思考以下问题：
(1)在不加任何外力的情况下，秋千的振幅怎么变化？
(2)在从最高点运动到最低点的过程中，人的动能怎么变化？重力势能怎么变化？机械能怎么变化？
【提示】　(1)由于阻力作用，秋千的振幅会越来越小．
(2)人从最高点运动到最低点，动能增大，重力势能减小，机械能减小.
受迫振动和共振
1.基本知识
(1)驱动力
作用于振动系统的周期性变化的外力．
(2)受迫振动
振动系统在周期性变化的驱动力作用下的振动．
(3)受迫振动的频率
做受迫振动的物体振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关．
(4)固有周期(或固有频率)
物体做自由振动的周期(或频率)．它是物体本身的属性，与物体是否振动无关．
(5)共振
驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，物体做受迫振动的振幅最大的现象．
(6)共振条件
驱动力频率等于物体的固有频率．
(7)共振曲线
如图1－5－3所示．
图1－5－3
2．思考判断
(1)受迫振动的频率一定等于振动系统的固有频率．(×)
(2)当驱动力的频率和物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大．(√)
(3)乐器的共鸣箱是共振现象的一种应用．(√)
3．探究交流
洗衣机在把衣服脱水完毕拔掉电源后，电动机还要转动一会才能停下来．在拔掉电源后，发现洗衣机先振动得比较小，然后有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减小直至停下来．
请思考以下问题：
(1)开始时，洗衣机为什么振动比较小？
(2)期间剧烈振动的原因是什么？
【提示】　(1)开始时，洗衣机转动很快，驱动力的频率很大，远远大于洗衣机的固有频率，故振动较小．
(2)洗衣机剧烈振动是因为发生了共振现象.
阻尼振动和简谐运动的对比
【问题导思】　
1．阻尼振动的振幅、能量有什么变化？
2．阻尼振动和简谐运动的图像有什么不同？
3．举例说明日常生活中的阻尼振动？
阻尼振动与简谐运动的比较
　　振动类型比较项目　　 阻尼振动 简谐运动
产生原因 受到阻力作用 不受阻力作用
振幅 如果没有能量补充，物体的振幅会越来越小 振幅不变
振动能量 有损失 保持不变
振动频率 不变 不变
振动图像
实例 用锤敲锣，由于锣的振动，发出响亮的锣声，但锣声越来越弱，振幅越来越小，属阻尼振动 弹簧振子的振动
1．阻尼振动不改变振动系统的周期和频率．
2．实际振动中，系统中的阻力比较小时，可以认为是简谐运动．
　(多选)如图1－5－4所示是单摆做阻尼振动的振动图像，下列说法中正确的是(　　)
图1－5－4
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能
【审题指导】　(1)由阻尼振动图像，A、B两时刻摆球的位移相同，故势能相同．
(2)由于阻尼振动的能量有损失，A、B两时刻机械能不相等．
【解析】　由于单摆做阻尼振动，机械能减小，故A时刻机械能大于B时刻机械能．由于A、B两时刻势能相同，故A时刻的动能大于B时刻的动能，由此可确定A、C错误，B、D正确．
【答案】　BD
1．(多选)(2013·汉中检测)若空气阻力不可忽略，单摆在偏角很小的摆动中，总是减小的物理量为(　　)
A．振幅　　 B．位移　　
C．周期　　 D．机械能
【解析】　有空气阻力时，振动为阻尼振动，振幅不断减小，机械能也不断减小；在平衡位置，位移为零，而后位移增大，直至动能为零时位移达到最大，然后位移又减小到零，所以位移不是一直减小；根据单摆的周期公式T＝2π ，l不变，则T不变．故A、D正确．
【答案】　AD
受迫振动和共振的对比
【问题导思】　
1．受迫振动和共振的驱动力有什么不同？
2．受迫振动的频率是由什么决定的？
3．共振发生时系统振动的能量有什么特点？
受迫振动和共振的比较
　 振动类型项目　　　 受迫振动 共振
振动原因 周期性驱动力作用 驱动力的方向与物体自身回复力的方向步调一致
振动周期或频率 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T固或f驱＝f固
振动能量 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
1．受迫振动的振幅可以不变，但受迫振动的机械能是不守恒的．
2．共振不是一种振动，它是受迫振动中的一种现象，当驱动力的频率和振子的固有频率相等时，就会发生共振现象．
　(2013·西安市铁一中学检测)如图1－5－5所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动，开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它们振动的周期为(　　)
图1－5－5
A．0.5 s　　　　　　　
B．0.25 s
C．2 s D．4 s
【审题指导】　(1)振子的固有频率为2 Hz.
(2)驱动力的频率通过摇把的转速确定．
(3)振子振动的频率应和驱动力的频率相等．
【解析】　匀速转动摇把后，振子将做受迫振动，驱动力的周期跟摇把转动的周期是相同的，振子做受迫振动的周期又等于驱动力的周期，其频率也等于驱动力的频率，与原固有频率无关．
摇把匀速转动的转速为240 r/min＝4 r/s，角速度ω＝8π rad/s，所以驱动力的周期T＝＝ s＝0.25 s.
【答案】　B
求解自由振动、受迫振动和共振问题的技巧
1．深刻理解“固有频率”“共振”概念是解答这类问题的基础．任何物体产生振动后，由于其本身的构成、大小、形状等物理特性，振动会固定在某一频率上，这个频率叫做该物体的“固有频率”．当人们从外界再给这个物体加上一个周期性驱动力时，如果驱动力的频率与该物体的固有频率正好相同，物体振动的振幅达到最大，这种现象叫做“共振”．
2．掌握规律是解题的关键．掌握共振的产生条件、共振的现象及共振曲线是熟练解决共振类问题的关键．
3．根据规律特点，用大家熟悉的成语去比拟，会收到意想不到的效果：
(1)自由振动：江山易改，本性难移．
(2)受迫振动：寄人篱下，身不由己．
(3)共振：情投意合，心随你动．
2．如图－1－5－6所示，在一根木条
图1－5－6
上挂几个摆长不等的单摆，其中A、E的摆长相等，A摆球的质量远大于其他各摆，当A摆振动起来后，带动其余各摆也随之振动，达到稳定后，以下关于各摆的振动的说法正确的是(　　)
A．只有A、E摆振动的周期相等
B．C摆振动的振幅最大
C．B、C、D、E四摆中，E摆的振幅最大
D．C摆振动的周期最大
【解析】　A摆的振动带动其他单摆都做受迫振动，且其他单摆的摆动周期都与A摆的摆动周期相同，A、D错；由于A、E摆的摆长相等，B、C、D、E摆中只有E摆的固有周期等于驱动力的周期，E摆发生共振现象，振幅最大，B错，C对．
【答案】　C
综合解题方略——共振现象的实际应用
　(2013·泉州高二检测)蜘蛛虽有8只眼睛，但视力很差，完全靠感觉来捕食和生活，它的腿能敏捷地感觉到丝网的振动，当丝网的振动频率为f＝200 Hz左右时，网的振幅最大．
(1)对于落在网上的昆虫，当其翅膀振动的频率为____________Hz左右时，蜘蛛能立即捕捉到它．
(2)如果该丝网共振时的最大振幅为0.5 cm，试定性画出其共振曲线．
【审题指导】　(1)当f＝200 Hz时丝网的振幅最大，即丝网的固有频率为200 Hz.
(2)当昆虫翅膀的振动频率等于丝网的固有频率时，发生共振的现象，振幅最大．
【规范解答】　(1)当驱动力的频率等于物体的固有频率时物体发生共振，物体的振幅最大，故昆虫翅膀的振动频率应为200 Hz左右．
(2)共振曲线如图所示．
【答案】　(1)200　(2)见规范解答图
分析、解答有关共振问题的方法
1．确定物体的固有频率．
2．明确驱动力的频率是否能够变化．
3．当驱动力的频率等于物体的固有频率且达到稳定时，物体出现最大振幅，此时发生共振．
4．物体发生共振时，振幅是稳定的，并不是无限大．
5．若要防止共振现象的发生，驱动力的频率应远离物体的固有频率．
受迫振动
与共振阻尼振动能量损失振幅逐渐减小受迫振动驱动力固有频率振动频率等于
驱动力频率共振条件：驱动力频率
等于固有频率共振图像
【备课资源】　(教师用书独具)
共振筛
共振筛是根据弹簧共振原理制成的．给弹簧施加拉力，弹簧将伸长，拉力取消后弹簧将发生振动．由于弹簧有内摩擦力(阻尼)，故振幅将愈来愈小，最后将停止振动．在振动过程中如能周期性地施以外力，则振动将保持下去．利用这种原理制成的筛子称共振筛．
弹性连杆式共振筛的结构如图教1－5－2所示：
图教1－5－2
当传动机构(曲柄连杆)的偏心轴旋转时，装在偏心轴上的弹性连杆迫使上筛箱发生振动．当上筛箱振动时，通过板弹簧将振动传给下筛箱，同时在橡胶弹簧的作用下使下筛箱与上筛箱发生共振，上、下筛箱做振动角为45°方向的相对运动．此时，处在上、下筛箱上的橡胶弹簧就不断地进行能量交换，即动能和势能的相互转化，使筛子获得振动．因为上、下筛箱振动方向相反，故整个筛子工作很平稳．
共振筛是一种在接近共振状态下进行工作的振动筛．它的优点是处理能力大，电能消耗少，物料在筛面上向前方做45°跳跃前进，分层好，筛分效率高，振幅大，筛网磨损也轻．其缺点是设备重量大，制造工艺复杂，安装要求严格，橡胶弹簧容易老化等．但是，利用适当的方式完全可以克服上述缺点.
1．下列说法中正确的是(　　)
A．阻尼振动一定是减幅振动
B．物体做阻尼振动时，随振幅的减小，频率不断减小
C．受迫振动稳定时的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关
D．受迫振动的频率由驱动力和物体结构特点共同决定
【解析】　物体做阻尼振动时，如果有恰当的能量补充，也可保持振幅不变，做等幅振动，A错；物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化，如用力敲锣，由于锣振动中受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声逐渐减弱，但音调不变，故B错；受迫振动稳定时的频率，只取决于驱动力的频率，与物体自身结构特点无关，即与物体的固有频率无关．故C正确，D错．
【答案】　C
2．(多选)(2013·渭南检测)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是(　　)
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
【解析】　单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A和D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故选项B、C不对．
【答案】　AD
3．一列队伍过桥时，不能齐步走，这是为了(　　)
A．减小对桥的压力
B．使桥受力均匀
C．减小对桥的冲力
D．避免使桥发生共振
【解析】　不能齐步走，是为了防止发生共振．
【答案】　D
4．(多选)如图1－5－7所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系，下列说法正确的是(　　)
图1－5－7
A．此单摆的固有频率为0.5 Hz
B．此单摆的固有周期为2 s
C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动
D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
【解析】　由题图知f固＝0.5 Hz
T固＝＝2 s
由T固＝2π可求得l＝1 m
当l变大时，T固变大，f固变小
曲线的“峰”向左移动，选项A、B、D正确．
【答案】　ABD
5.
图1－5－8
如图1－5－8所示，为一单摆的共振曲线．图中横轴表示周期性驱动力的频率，纵轴表示单摆的振幅，求此单摆的摆长．
【解析】　由图像可以看出，当驱动力的频率为0.4 Hz时，单摆的振幅最大，此时单摆共振．由共振的条件可知，单摆的固有频率为0.4 Hz.
由于T＝2π＝，可得l＝＝1.55 m.
【答案】　1.55 m
1.(多选)一单摆做阻尼振动，则在振动过程中(　　)
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变
D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变
【解析】　因单摆做阻尼振动，根据阻尼振动的定义可知，其振幅越来越小．而单摆振动过程中的周期是其固有周期，是由本身条件决定的，是不变的，故A项错误，B项正确．又因单摆做阻尼振动的过程中，振幅逐渐减少，振动的能量也在减少，即机械能在减少，所以C项错误，D项正确．
【答案】　BD
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．只有受迫振动才能发生