数学人教A版（2019）必修第二册8.6.1直线与直线垂直（共23张ppt）

(共23张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
复习导入
面面平行
判定
性质
线线平行
线面平行
判定
性质
性质
类比：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
异面直线所成角
温故知新
共面直线
异面直线：
平行直线：
相交直线：
在同一平面内，有且只有一个公共点；
在同一平面内，没有公共点；
不同在任何一个平面内，没有公共点.
空间中直线与直线的位置关系
表示
判别
反证法：两条直线既不相交、也不平行
定义法：两条直线不同在任何一个平面内
判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不经过
该点的直线是异面直线。
探究新知
有区别
问题1：如下图，其中的直线与是什么位置关系？
(1)
(2)
(3)
追问①：它们的位置关系有区别吗？区别在哪里？
都是异面直线
“歪”的程度不一样
追问②：怎么刻画这种区别呢？
用“角”度量“歪”的程度
图中的角θ即为直线a与直线b的夹角．
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．
平面直线所成角
范围:
特例：如果两条异面直线所成的角是直角（90°），那么这两条异面
直线互相垂直，记作。
学习新知
已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角(或夹角).
异面直线所成角
空间中两直线垂直
异面垂直：
相交垂直：
有垂足
无垂足
异面直线平移至共面——立体问题平面化
应用新知
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
例1. 如图，在正方体中， 求异面直线与所成角的大小。
平移至
异面直线与所成角
即为
即，∠
=
直线与所成角
直接平移法
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
例2如图，在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m>0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值．
[解]　过点F作MF∥BD，交BC
于点M，连接ME，
则CM∶MB＝CF∶FD＝m，
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝AE∶EB，
所以EM∥AC，
所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，AC与BD所成的角为∠EMF，
因为AC⊥BD，∠EMF＝90°，
所以α＋β＝90°.
中位线平移法
应用新知
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
例3.如图，在正方体中， 是点，求异面直线
与所成角的大小。
在原正方体右侧补一个全等的正方体
连接，并平移至
连接
在中，利用余弦定理
异面直线与所成角
即为
直线所成角
补形平移法
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
　1．作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线所成的角(或其补角)；
　2．证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（注：证明线线平行）
　3．求：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小；（注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）．
[练习1]　1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
解析：连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成角，由正方体结构得∠B′AB＝45°，故异面直线EF与CD所成角的度数为45°.
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
题型一：求异面直线所成角(数学运算)
题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理)
例4.如图，在正方体中，为底面的中心.
求证：.
分析：要证明应先构造直线所成的角，再证明这个角是直角
解： 连接.∵是正方体，
∴且.
∴四边形是平行四边形.
∴
∴直线与所成的角即为直线与所成的角.
连接，易证.
又为底面的中心，
∴为的中点，∴.∴.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O1
题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理)
步骤：1.平移——作异面直线所成角；
2.计算——求异面直线所成角的大小（余弦值、特殊三角形）；
3.结论——异面直线所成角是否为90°，即线线垂直；
证明两异面直线垂直的步骤
题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理)
练习　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.
题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理)
练习.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点．求证：A1E⊥GF.
题型三：异面直线所成角的应用(数学运算)
例5. 在四面体中,,分别是,的中点.若,所成的角为,
且,则________.
解：如图,取中点,连接,.
因为∥,∥,
所以与所成的锐角(或直角)即为与所成的角.
而,所成的角为,
所以或
当时,;
当时,取的中点,连接,
则,.
题型三：异面直线所成角的应用(数学运算)
解析　如图，连接CD1，AC.
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角
题型三：异面直线所成角的应用(数学运算)
小结
已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角(或夹角).