北师大版八年级下册 1.3.1 线段的垂直平分线(第1课时)课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
数学八年级下册 BS
第 一 章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
第1课时
问题思考
如图所示,A，B表示两个仓库,要在A，B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置
学习新知
分析：线段是一个轴对称图形,其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们曾经用折纸的方法,得到线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.所以在这个问题中,要在“A，B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等”,利用此性质就能完成.
线段垂直平分线的性质定理及其判定定理
性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
已知:如图所示，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA=PB.
∵AC=BC,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
证明:∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
【解析】　要想证明PA=PB,可以考虑这两条线段所在的两个三角形全等.
已知:线段AB，点P是平面内一点且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
证法1:如图所示,过点P作已知线段AB的
垂线交 AB于点C.
∵PA=PB,PC=PC,
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).
∴AC=BC,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
证法2:如图所示,取线段AB的中点C,连接PC.
∵AP=BP,PC=PC,AC=CB, ∴△APC≌△BPC(SSS).
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应
角相等).
∵∠PCA+∠PCB=180°,
∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
证法3:如图所示,作∠APB的平分线,交AB于点C.
∵AP=BP,∠1=∠2,PC=PC,
∴△APC≌△BPC(SAS).
∴AC=BC,∠PCA=∠PCB.
∵∠PCA+∠PCB=180°,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
例 已知:如图所示,在△ABC 中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
求证:直线AO垂直平分线段BC.
证明:∵ AB=AC,
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
同理,点O在线段BC的垂直平分线上.
∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).
1.如图所示,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为D,点P是MN上一点,若AB=10 cm,则BD=　　　　cm;若PA=10 cm,则PB=　　　　cm.
【解析】∵直线MN是线段AB的垂直平分线,若AB=10 cm,则BD= AB= ×10=5(cm),若PA=10 cm,则PB=PA=10 cm.
5
10
检测反馈
2.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABD的周长是12 cm,AC=5 cm,
则AB+BD+AD=　　　　cm;
AB+BD+DC=　　　　cm;
△ABC的周长是　　　　cm.
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12
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3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的
垂直平分线,垂足为D,交BC于E,
BE=5,则AE=　　　,
∠AEC=　　　,AC=　　　　.
5
30°
2.5
4.已知线段AB及一点P,若PA=PB=3 cm,则点P在　　　　 上____________________________.
线段AB的垂直平分线
5.下列各图形中,是轴对称图形的有 (　　)
①等腰三角形;②等边三角形;③圆;④角;
⑤两个全等三角形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
6.已知△ABC,∠C=90°,AC(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AD,若∠B=37°,求∠CAD的度数.
解:(1)如图所示.
(2)在△ABC中，∠C=90°,∠B=37°,
∴∠BAC=53°.
∵AD=BD,
∴∠BAD=∠B=37°.
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=53°-37°=16°.