参考答案：
1．C2．C3．D4．D5．B6．D7．D8．B9．ABD10．ACD11．BD12．ABC
24 9
13． 0 14． 7215． 16．
17 4
17．
【详解】（1）由题意得： AB 2 m, 1 ， BC 2,m 2 m 2 ，
A,B,C三点共线， 2 m m2 m 2 2 ，
即m3 3m2 2 m3 m2 2 m2 1 m 1 m2 2m 2 0 ，
解得：m 1或1 3或1 3；
（2）由题意知： AB BC， AB BC 2 2 m m 2 m 2 0 ，
m2即 m 6 m 3 m 2 0，解得：m 3或m 2 .
18．
【详解】（1）因为 a 2, b 1， (a 3b) (a b) 3，
2 2
所以 a 2a b 3b 3， 4 2a b 3 3，得 a b 1，
2 2
所以 a b a 2a b b 4 2 1 3
（2 2）因为 a (a 2b) a 2a b 4 2 6，
2 2
a 2b a 4a b 4b 4 4 4 2 3，
cos a, (a 2b) a (a 2b ) 6 3所以 a a 2b 2 2 3 2 ，
因为 a, (a 2b) [0, ]，
所以 a, (a 2b)
，
6
r r
即 a与 a 2b的夹角为 6
19
【详解】（1） f x a b 2sin x π 2cos x 3 2sin xcos x 2 3 sin2 x 3
3
sin 2x 3cos2x 2sin(2x π ) ,
3
2π
∴T π
2
π π π π 4π
（2）当 x ,
时， 2x ,
12 2 3 6 3
，
3
sin(2x π ) 1，
2 3
3 2sin(2x π ) 2，
3
π π
即函数 f x 在区间 , 上的值域为12 2 [ 3, 2] .
（3）将函数 f x π图象向右平移 个单位，得到 y 2sin[2(x π ) π ] 2sin 2x ，
6 6 3
再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 a 0 a 1 倍得到 g x 2sin 2 x的图象,
a
2 x π令 2kπ x
aπ
akπ,k Z，
a 2 4
要使 y g x 在区间 1,1 上至少有 100个最大值，
aπ
1 50aπ 4 4
由正弦函数的性质可得 a ，
aπ 49aπ 199π 1
4
4
0 a
199π .
20．
sin B
2a 2sin A 1 cosB 1 sin BcosC sin BcosC sinC cosB sin(B C)【详解】（1）
c sinC sinC
，
sinC cosB sinC cosB sinC cosB
cosC
又 sin(B C) sin(π A) sin A, sin A 0,sinC 0
2sin A sin A
，则 ，
sinC sinC cos B
cos B 1即 ，
2
又 B (0, π) B
2π
，则 ；
3
（2）由 BD平分 ABC得： S△ABC S△ABD S△BCD
1 2π 1 π 1
则有 ac sin 1 c sin 1 a sin
π
，即 ac a c
2 3 2 3 2 3
ABC b2 2 2在 中，由余弦定理可得： a c 2ac cos
2π
3
又b 2 3，则 a2 c2 ac 12
ac a c
联立 a2 2 c ac 12
可得 a2c2 ac 12 0
解得： ac 4（ ac 3舍去）
1 2π 1 3
故 S△ABC ac sin 4 3 .2 3 2 2
21
1 a b
1 2sin 2 C 1【详解】（ ） c
1
，由倍角公式得 a b cosC c，
2 2 2
a2 b2 c2 1
由余弦定理， a b c ，化简得 a2 c2 b2 ac，
2ab 2
a2 2cos B c b
2 1
则 ，由 B 0, π B π，得 .
2ac 2 3
a c b 6
4 3
（2）由正弦定理得︰ sin A sinC sin B sin π ，
3
2π
∴ a 4 3sin A ， c 4 3sinC ， A C π B ，3
a c 4 3(sin A sinC ) 4 3 sin A sin 2π A
3
4 3 3 3
sin A cos A
3 1
12 sin A cos A 12sin
A
π
，
2 2
2 2 6
2π π π 5π π π
由0 A ， A ，∴6 12sin A 12 ，即6 a c 12（当且仅当 A 3 6 6 6 6 3
时，等号成立），
从而周长的取值范围是 12,18
22
BC 4, OBC 2π【详解】（1）由 可得m BC sin π OBC 2 3，
3
1 T BC cos π OBC 2，所以T 8，
4
2π π
由T 可得 ，
4
由OA 6可得 A 0, 6 ，
代入 f (x) 2 3 cos
π x 可得 6 2 3 cos
2
，即
4 cos
，
2
π
因为 | |
π
，结合图象可得 ，
2 4
所以 f (x) 2 3 cos
π x π 4 4
；
π π
（2）由（1）可得 g(x) 6cos 3 x loga x ，
4 4
令 g(x) 0，即 2cos
π π
x
log x，
4 4 a
故 g(x)在 0,13 π π 上的零点个数可看作是函数 y 2cos x 与 y loga x在 0,13 的交点 4 4
个数，
作出 y 2cos
π x
π
的图象，如图
4 4
x 0 1 3 5 7 9 11 13
π x π π π 3π 5π 0 π 2π 3π
4 4 4 2 2 2
2cos π x
π
2 2 0 2 0 2 04 4 2
①若 a 1时，由图可知，
当 loga 9 2，即1 a 3时，
函数 y 2cos
π x π 与 y loga x在 0,13 有1个交点， 4 4
即 g x 在 0,13 上有1个零点，
当 loga 9 2，即 a 3时，
y 2cos π x π 函数 4 4
与 y loga x在 0,13 有 2个交点，
即 g x 在 0,13 上有 2个零点，
当 loga 9 2，即 a 3时，
y 2cos π x π 函数 与 y loga x在 0,13 有3个交点， 4 4
即 g x 在 0,13 上有3个零点，
②若 0 a 1时，由图可知，
5
当 loga 5 2，即 a 1时，
5
y 2cos π x π函数
与 y loga x在 0,13 有1个交点， 4 4
即 g x 在 0,13 上有1个零点，
当 loga 5 2 a 5，即 时，
5
函数 y 2cos
π x π 与 y loga x在 0,13 有 2个交点， 4 4
即 g x 在 0,13 上有 2个零点，
当 loga13 2 log 5
13 5
a ，即 a 时，
13 5
函数 y 2cos
π x π 与 y loga x在 0,13 有3个交点， 4 4
即 g x 在 0,13 上有3个零点，
log 13 2 0 a 13当 a ，即 时，
13
函数 y 2cos
π x π 与 y loga x在 0,13 有4个交点， 4 4
即 g x 在 0,13 上有 4个零点，
5
综上所述，当 a 1或1 a 3时， g x 在 0,13 上有1个零点；
5
a 5当 或 a 3时， g x 在 0,13 上有 2个零点；
5
13 5
当 a 或a 3时， g x 在 0,13 上有3个零点；
13 5
0 a 13当 时， g x 在 0,13 上有 4个零点.
13A a B b
大庆名校2022——2023 学年度下学期期中考试 8．设△ ABC的三边长为 BC a，CA b，AB c，若 tan ，tan ，则△ ABC是（ ）．2 b c 2 a c
高一年级数学试题 A．等腰三角形 B．直角三角形
一、单选题 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
2023π
1． sin =（ ）
6
A 1 3
1 二、多选题
． B． C． 2 D
3
．
2 2 2 9．下列说法中正确的是（ ）
2．已知向量a 2, 3 ，b 1,2 ， c 9,4 ，若 c ma nb ，则m n （ ） a
A．对任一非零向量 a， 是一个单位向量
A．5 B．6 C．7 D．8 a
3．若在△ABC中， AB a， BC b，且 | a | |b | 1， | a b | 2，则△ABC的形状是（ ） B．两个非零向量 a、b，若 a b a b ，则 a与b共线且反向
A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 r r C．若 a//b，则存在唯一实数 使得 a b
4．在 ABC中，角 A B C的对边分别为 a b c，若 A : B :C 3 : 2 :1，则 a :b : c （ ）
D．若 P是三角形 ABC的重心，则 PA PB PC 0
A．1: 2 :3 B．3: 2 :1 C．1: 3 : 2： D． 2 : 3 :1 10．在 ABC中，角 A B C的对边分别为 a b c，下列说法正确的是（ ）
5．已知复数 z满足 1 i z 1 i，则1 z z2 z3 ... z2023等于（ ） A．若 A 45 ,a 2,b 2 2，则 ABC只有一解
A．－1 B．0 C．1 D．2 B．若 AC AB 0，则 ABC是锐角三角形
1
6．在 ABC中，若 (OA OB OC) OG，则点 G是 ABC的（ ） C．若 sinA sinB，则 a b .
3
D．若 a b c cosB c cosA，则 ABC的形状是等腰或直角三角形
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
a
11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
7．已知向量 2,1 ，b 3,4 ，则向量 a 在b 方向上的投影向量为（ ）
6 A 2,3 ,B 4, 3 AP
3
PB 16 , 1
A． ,
8 6 8 A．已知 ，点 P在直线 AB上，且 ，则 P的坐标为
B
；
． , 2 5
25 25 25 25
6 , 8 6 8
2
C．
1
D． , B．若O是 ABC的外接圆圆心，则 AB AO AB
25 25 25 25 2
试卷第 1页，共 3页
C．若 c a b ，且 c 0，则 a b （1）若 A,B,C三点共线，求实数m的值；
（2）若直线 AB与直线 BC垂直，求实数m的值.
D．若点 P是 ABC所在平面内一点，且 PA PB PB PC PC PA，则 P是 ABC的垂心.
12．已知 P为 ABC所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若 P为 ABC的垂心， AB AC 2，则 AP AB 2 18．已知 a 2, b 1， (a 3b) (a b) 3
B．若 P为锐角 ABC的外心， AP xAB yAC且 x 2y 1，则 AB BC (1)求 a b 的值；
r r
C．若 AP
AB
AC R (2)求 与 的夹角. ，则点 P的轨迹经过 ABC a a 2b的重心
AB sinB AC sinC
1 1
D．若 AP AB
1 1
AC ，则点 P的轨迹经过 ABC的内心 π
AB cosB 2 AC cosC 2 19．已知向量 a 2sin x, 3 ，b 2cos x ,13 ，记函数 f x a b .
(1)将 f x 化为 y Asin x B A 0, 0,
π
形式，并求最小正周期 T；
2
三、填空题
(2)求函数 fz 2 ai a 2i x
π π
在区间 , 上的值；
13．若 为纯虚数（ i为虚数单位），则实数 a的值为___________． 12 2
1
14．边长为12的正三角形 ABC中， E为 BC的中点， F 在线段 AC上且 AF FC，则
2 2a tan B
20．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且满足 1
AE BF ______________． c tanC
(1)求角 B的大小；15．已知 a (sin , 4),b (1,cos )，且 a⊥b，则 sin 2 2sin2 ________．
(2)若b 2 3，D为 AC边上的一点， BD 1，且 BD是 B的平分线，求 ABC的面积.
16．在 ABC中，过中线 AD的中点 E任作一直线分别交边 AB、 AC于M 、 N两点,设
AM xAB, AN yAC x, y 0 ,则4x y的最小值是________．
21．记 ABC的内角A， B，C的对边分别为 a，b， c ，已知 a b 1 2sin
2 C 1
c .
2 2
(1)求 B；
四、解答题
(2)若b 6，求 ABC周长的取值范围.
17．在平面直角坐标系中，已知点 A m 1,2 ， B 1,1 ，C 3,m2 m 1 .
试卷第 2页，共 3页
π
22．已知函数 f x m cos x m 0, 0,
的部分图象如图所示，A，B分别为 f x 的图
2
2π
象与 y轴，x轴的交点，C为 f x 图象的最低点，且OA 6， BC 4， OBC ．3
(1)求 f x 的解析式；
(2) 3若函数 g x 3 f x log a x （a 0，且 a 1），讨论 g x 在 0,13 上的零点个数．
试卷第 3页，共 3页
答案第 1页，共 1页
