(共9张PPT)
第一章 勾股定理
专题2 【思想方法】勾股定理与方程思想
泰
一、实际问题中，根据勾股定理列方程
1.如图，一根垂直于地面的电线杆AC=16m,因特
殊情况，在点B处折断，顶端C落在地面上的点
C'处，测得AC'的长是8，求电线杆底端A到折
断点B的距离
解：设电线杆底端A到折断点B
的距离为xm,则BC"=（16-x)m.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
B
得x2+82=（16-x)2,解得x=6,
故电线杆底端A到折断点D的
A
距离为6m.
第1题图
二、作三角形的高，利用“双勾股”列方程
2.如图，在△ABC中，BC=14,AC=13,AB=15,求△ABC
的面积
解：过点A作AD⊥BC于点D.设
CD=x,则BD=14-K.因为AB2-
BD2=AC2-CD2,所以152-(14-
x)2=132-x2,解得x=5,CD=5,
B
所以AD=12,所以S△Ac=84.
第2题图
3.如图，在△ABC中，BC=4,AC=13,AB=15,求△ABC
的面积
解：过点A作AD⊥BC于点D.设CD=
x,则BD=4+x.因为AC2-CD2=AB2-
BD2,所以132-x2=152-(4+x)2,
解得x=5,所以AD=12,
B
所以S△4BC=24.
第3题图
三、两直角三角形共边，利用“双勾股”列方程
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,
BD=2,AD=8,求BC2的值.
解：设BC=x,AC=y,在△ABC
中，x2+y2=102①.
因为BC2-BD2=AC2-AD2,
B
所以x2-22=y2-82,即x2-y2=
第4题图
22-82②.
①+②，得x2=20,所以BC2=20,
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，
AD=13,AB2=244,求△ABD的面积.
解：设CD=BD=x.
在Rt△ACD中，
AC2+x2=132①.
A
在Rt△ABC中，
第5题图
AC2+(2x)2=2442,
由2-①，得x=5,
所以AC=12,所以S△ABD=30.
四、根据两直角三角形边的关系，利用“双勾股”列
方程
6.如图，某地方政府决定在相距50km的A,B两站
之间的公路旁点E修建一个土特产加工基地，且
使C,D两村到点E的距离相等.已知DA⊥AB于
点A,CB⊥AB于点B,DA=30km,CB=20km,那
么土特产加工基地E应建在离A站多少千米的
地方？(共20张PPT)
第一章 勾股定理
单元核心考点归纳
泰
核心考点1勾股定理及其验证
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC的
三边为边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3:
若S1=5,AB=4,则S2的值是
A
S3
S2
B
C
S
第1题图
A.6
B.8
C.11
D.24
2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分
线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为
(C)
B
D
C
第2题图
A.5
B.6
C.8
D.10
4.弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连
接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理.在
如图所示的弦图中，已知正方形EFGH的顶点E,
F,G,H分别在正方形ABCD的边DA,AB,BC,CD
上.若正方形ABCD的面积为16，AE=1,则正方形
EFGH的面积为
10：
E
H
F
B
第4题图
5.如图，在△ABC中，AB=AC=20,BC=32,D是BC
上的一点，AD=15,且AD⊥AC,求BD的长，
解：因为AD⊥AC,AC=20,AD=15,
所以CD2=202+152=625,
B
CD=25,
第5题图
所以BD=BC-CD=32-25=7.
核心考点2直角三角形的判定条件
6.下列各组3个整数是勾股数的是
A.4,5,6
B.6,8,9
C.13,14,15
D.8,15,17
7.已知三角形的三边长a,b,c满足(u-3)2+1b-c-11+
(c-4)2=0,则这个三角形是
(
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
8.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,
CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角
形的三条线段是
(B)
E
B
H
A
第8题图
A.CD.EF.GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
核心考点3勾股定理的实际应用
9.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北
面挖，每分钟挖8cm,另一只朝东面挖，每分钟挖
6cm,10min之后两只小鼹鼠相距
A
A.100
cm
B.50
cm
C.140
cm
D.8
cm
10.如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上
方离地面高4.5m的墙上，任何东西只要移至该
灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.一个身
高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好
发光(共17张PPT)
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
泰
夯实基础
水滴石穿，全面过关
知识点1直角三角形的判定条件
1.下列各组数中，可作为三边长构成直角三角形的是
D
A.1,2,3
B.2,3,4
C.2,4,5
D.3,4,5
2.在△ABC中，AB=5,BC=12,AC=13,则下列结论
中正确的是
(B)
A.△ABC是直角三角形，且∠A=90°
B.△ABC是直角三角形，且∠B=90
C.△ABC是直角三角形，且∠C=90°
D.△ABC不是直角三角形
3.在△ABC中，AB=2,AC=BC=1,则△ABC中∠C
的度数是
90°
A
4.如图，以△ABC的三边为边长分别
S3
Su
向外作正方形，正方形的面积分别
B
S2
记为S1,S2,S3.若S1+S2=S3,则
第4题图
△ABC的形状是直角三角形，
5.在解答“判断由长
的线段组成的三角形是
不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：设α=
6=2.6=5,闪为+=(9)
6
+22
136
所以由α，b,c组成的三角形不是直角三角形.你
认为小明的解答正确吗？请说明理由.
解：小明的做法不正确.理由如下：
8
<2,b=2可能是直角三角形的斜边，
5
5
因为ute2=(后)广+()=2=6，
所以由4，b,c组成的三角形是直角三角形.
6.如图，正方形网格中的△ABC,若正方形网格的边
长为1个单位长度，求∠A+∠B的度数.
解：因为正方形网格的边长为1
--T-T-T-T-7-7-
厂一一十一十一
十
-1
上一十一十一
个单位长度，
所以BC2=42+42=32,AC2=32+
32=18,AB2=12+72=50.
在△ABC中，因为BC2+AC2=
第6题图
32+18=50,AB2=50,
所以BC2+AC2=AB2，
所以△ABC是直角三角形，且∠C=0°，
所以∠A+∠B=0°.
知识点2勾股数
7.下列各组数中，为勾股数的是
3
4
A.4,5,6
B.551
C.9,12,15
D.0.3,0.4,0.5
8.若a,b,c是一组勾股数，则以3a,3b,3c为三边长
的三角形是直角（选填“锐角”“直角”或“钝
角”)三角形.
8
能力提升
规律方法，技巧点拨
9.一个三角形的三边之比为5：12：13，它的周长
为60，则它的面积是
(A)
A.120
B.144
C.196
D.60(共10张PPT)
第一章 勾股定理
专题1 【方法技巧】勾股定理与面积问题
泰
一、利用勾股定理的意义
1.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中S4=10,Sg=8,Sc=9,S,=
4,则下列判断中错误的是
D
A.S=18
B.S=13
C.SM =31
D.SM-SE=17
A
B
E
C
分
M
第1题图
2.如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何
图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分
别为Rt△ABC的斜边BC,直角边AB和AC.若
△ABC的面积记为S1,阴影部分的面积记为S2,
其余部分的面积记为S3,则下列关系式正确的是
(A
A.S=S2
B.S2=S2
C.S,+S3=S1
D.S2+S2=S
B
C
第2题图
二、巧用乘法公式
3.已知直角三角形的周长是12cm,斜边长是5cm,
则其面积是6
2
cm.
4.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定
理，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是
由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成
的一个大正方形.设直角三角形较长直角边的长
为a,较短直角边的长为b.若ab=8,大正方形的
面积为25，求小正方形的边长，
解：由题意可知，中间小正方形的边长为
a-b.
因为每个直角三角形的面积为
1
1
ab=。×8=4,
2
2
第4题图
所以4×4+(M-b)2=25,
所以(a-b)2=25-16=9,
所以a-b=3,故小正方形的边长是3.
三、巧用面积法
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,
AC=5,BC=12,求CD的长.
解：由勾股定理，得
D
A
AB2=AC2+BC2=169,
所以AB=13.
B
因为S4c=)AB,
CD=
第5题图
2
1
60
AC·BC,所以CD=
2
13
四、巧用割补法
6.某中学有一块四边形的空地ABCD(如图所示)，
为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经
测量∠A=90°，AB=3m,AD=4m,CD=13m,
BC=12 m.
(1)求空地ABCD的面积.
(2)若每种植1m2草皮需要200元，问总共需投
入多少元？
解：（1)连接BD.
在Rt△ABD中，
BD2=AB2+AD2=32+42=52,
A
B
在△CBD中，
第6题图
CD2=132,BC2=122,
而122+52=132，即BC2+BD2=CD2,
所以∠DBC=0°，
则S回做彩Mn=Sw+Sc=号×3x4+】x5X12=
2
2
36m2.
(2)所需费用为36×200=7200（元）.(共20张PPT)
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第2课时
验证勾股定理
泰
夯实基础
水滴石穿，全面过关
知识点1勾股定理的验证
1.观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角
三角形的两直角边分别为a,b(a>b),斜边为c,
根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直
接得到等式
(C】
A.a(a-b)=a2-ab
B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.(a-b)2=c2-2ab
D.(a+b)2=a2+2ab+b2
第1题图
2.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示
的图形，其中两个全等三角形的两边AE,EB在一
条直线上.证明中用到的面积相等关系是
A.SAEDA=S△CEB
B.S△EDA+S△CEB=S△CDE
C.S四边形CDAE=S四边形CDsB
D.SAEDA+SACDE+SACEB=S
四边形ABCD
C
D
C
C
b
a
A
口
b
E
a
B
第2题图
3.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面
积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全
等的直角三角形按如图所示摆放时，可以用“面
积法”来验证α+b2=c2.你能说明其中的道理吗？
请试一试（提示：结合图中所作辅助线利用面积
相等验证).
解：图形的总面积可以表示为c2+
a
2×。b=c2+ab,也可表示为a2+
2
b
a
C
b2+2×b=a2+b2tab,所以c2+
b
a
a
b
ab =a2+b2+ab,a2+62 =c2.
第3题图
知识点2勾股定理的简单应用
4.如图，为了测量湖两岸A,B两点之间的距离，观
测者从测点A,B分别测得∠BAC=90°，又量得
AC=9m,BC=15m,则A,B两点之间的距离为
C
A.10
m
B.11
m
C.12m
D.13
m
C
B
第4题图
5.如图，一轮船以16 n mile,/h的速度从港口A出发
向东北方向航行，另一轮船以12 n mile,/h的速度
同时从港口A出发向东南方向航行.离开港口2h
后，两船相距
A.25 n mile
B.30 n mile
C.35 n mile
D.40 n mile
北
A
+东
南
第5题图
7.如图，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m,棚宽α=
2.4m,棚宽的长d=12m.现要在棚顶上覆盖塑料
薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜.
解：在Rt△ABC中，由勾股定
理，得AB2=h2+a2=1.82+
h
2.42=9,所以AB=3,即直角
d
a
B
三角形的斜边长AB=3m,所
第7题图
以矩形塑料薄膜的面积为3×
12=36(m2).
答：需要36m2塑料薄膜.(共19张PPT)
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
泰
夯实基础
水滴石穿，全面过关
知识点1确定几何体上两点之间的最短路线
1.如图，一圆柱高6cm,底面周长为16cm,一只壁虎
从点A爬到点B到处吃食，要爬行的最短路程是
(
A.20
cm
B.14 cm
C.10 cm
D.无法确定
A
B
第1题图
2.小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙
近似看作一个长方体的两个侧面，如图所示.他根
据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到
点B的最短路径值的平方为
128
B
8 m
A
5 m
31
m
第2题图
3.一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到
顶点B,则它走过的最短路程的平方为20
A
第3题图
C
4.如图，地面上一块砖宽AW=
B
5cm,长WD=10cm,CD上的点
M
B距地面BD=8cm,地面上A
处的一只蚂蚁到B处吃食，需
E
D
要爬行的最短距离是多少？
A
N
解：如图是长方体的侧面展开图，线
第4题图
段AB是蚂蚁爬行的最短路径.由
M
题意，得AD=AN+ND=5+10
B
15(cm）.因为BD=8cm,
E
所以在Rt△ABD中，由勾股定
A
N
理，得AB2=AD2+BD=152+82=289
所以AB=17cm.因此，需要爬行的最短距离是17cm.
知识点2勾股定理的实际应用
5.若梯子的底端离建筑物5m,则13m长的梯子可
以达到建筑物的高度是
(A)
A.12m
B.13m
C.14m
D.15
m
6.如图，有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,两树
相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的
树梢，小鸟至少飞行
(B)
第6题图
A.8 m
B.10m
C.12m
D.14m
6m
8 m
第7题图
C
A
B
第8题图
9.如图，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆
破，已知点C与公路上的停靠站A距离为300m,
与公路上另一停靠站B的距离为400m,且CA⊥
CB.为了安全起见，爆破点C周围半径250m范
围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否
因有危险而需要暂时封锁？
解：作CD⊥AD于D.
因为BC=400m,AC=300m,
∠ACB=0°.
B
根据勾股定理，得AC2+BC2=
AB2,即3002+4002=AB2,所以
第9题图
AB=500m.由三角形的面积，得
AB·CD=1BC.4C,
1
2
2
所以500CD=400×300,所以CD=240m.
因为240<250，即点C到AB的距离小于250m,所以
有危险，公路AB段需要暂时封锁(共8张PPT)
第一章 勾股定理
专题3 【重点强化】勾股定理与折叠问题
泰
重点强化1】折叠三角形问题中，根据勾股定理列
方程
1.如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠B=90°，将
△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为
MW,求BN的长.
解：设BW=x,则AN=ND=
9-x,BD=。BC=3.
D
2
在Rt△BND中，x2+32=
B
N
(9-x)2,解得x=4,
第1题图
所以BN=4.
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,AC=8,现将
△ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,求EC
的长
解：设EC=x,则BE=AE=8-
E
x.在Rt个BCE中，62+x2=（8-
7
x)2,解得x=
4
B
7
第2题图
所以EC=
4
3.如图，在△ABC中，AB=20,AC=12,BC=16,把
△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分
(阴影部分)的面积.
解：因为AC2+BC2=122+162=
400=AB2,所以△ADC为直角
三角形.设DC=x,所以BD=
B2-
C
B'D=16-K.在Rt△DCB'中，
x2+82=(16-x)2,解得x=6,所
B
以Sm3D04C=x6×
1
第3题图
2
12=36.
4.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6,BC=
8,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边
AB上，且与AE重合，求CD的长.
解：设CD=DE=x,AE=AC=
6,BE=4,BD=8-x.
在Rt△BDE中，x2+42=
B
E
(8-x)2,解得x=3,
所以CD=3
第4题图
【重点强化2】折叠长方形问题中，根据勾股定理列
方程
5.如图，长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C
落在点C'处，BC'交AD于点E,AD=8,AB=4,求
DE的长
解：易得到个ABE≌△C'DE,设
BE=DE=x,则AE=8一x.
E
A
在Rt△ABE中，42+(8-x)2=
x2,解得x=5,所以DE=5.
B
第5题图
6.如图，在长方形ABCD中，对角线AC=10,AB=6,
E为边BC上的一点.将长方形ABCD沿AE所在
的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的B'处，
求BE的长.
解：设BE=B'E=x,则CE=
A
8-x,D'C=4.在Rt△B'EC
B
中，4+x2=(8-x)2,解得x=
B
C
3,所以BE=3.
E
第6题图(共16张PPT)
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课
时探索勾股定理
泰
夯实基础
水滴石穿，全面过关
知识点1勾股定理的初步认识及简单应用
1.已知在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为
α，b,c,则下列说法中正确的是
D
A.a2+b2=c2
B.若△ABC是直角三角形，则a2+b2=c2
C.若∠A=90°，则a2+b2=c2
D.若∠C=90°，则a2+b2=c2
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的
网格中，点A,B都是格点，则线段AB的长为
(A)
「-一一-T-一1--T---1
k---+----+-
7一一1
第2题图
A.5
B.6
C.7
D.25
3.从电线杆离地面8m处拉一根长为10m的缆绳，
则这条缆绳在地面的固定点到电线杆底部的距
离为
A.2 m
B.4 m
C.6 m
D.8 m
4.若直角三角形两直角边的比为5：12，斜边长为
39,则此直角三角形的周长为
90
5.如图，在△ABC中，AE⊥BC,垂足为E,AB=15,
BE=9,CE=5,求AC的长
解：因为AE2=AB2-BE2=144,
所以AE=12,
所以AC2=AE2+CE2=169,
E
所以AC=13.
第5题图
6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°.若
AD=4cm,AB=3cm,DC=13cm,求BC的长.
解：因为∠BAD=∠DBC=
0°，所以△ADB,△BDC
均是直角三角形由题意，
B
得D=4cm,AB=3cm,
第6题图
DC=13cm.在Rt△ABD
中，BD2=AD+AB2=25.
在Rt∧BDC中，BC2=DC2-BD2=132-25=144,
所以BC=12cm.
知识点2利用勾股定理求面积
7.如图，分别以直角三角形的三边分别向外作正方
形，则正方形B的面积是
144,正方形B的边
长是
12
25
B
169
第7题图
A
D
0
E
B
C
第8题图
能力提升
规律方法，技巧点拨
9.如果一直角三角形的三边长分别为2,3，x,那么
以x为边长的正方形的面积为
(C)
A.13
B.5
C.13或5
D.4
10.已知一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一
直角边长为8，则斜边长为
C)
A.6
B.8
C.10
D.12
11.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有
如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD相
交于点0.若AD=5,BC=12,则AB2+CD2=169
第11题图(共10张PPT)
第一章 勾股定理
专题4 【方法技巧】利用勾股定理求最短路径长
泰
类型一平面上的最短路径
1.如图，某人从A地到B地，若先从A地向北走9km,
又向东走6km,再向北走3km,最后向西走1km,恰
好到达B地，则A,B之间的最短路程为13km.
B
A
第1题图
2.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A,B到河岸的
距离分别为AC=400m,BD=200m,CD=800m.牧
童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮
水能使所走的总路径最短？最短路程是多少？
B
A
第2题图
解：如图，作点A关于直线CD的对称点A',连接A'B
交CD于点M,则在点M处饮水能使所走的路程最
短，最短路程为A'B的长.过点A'作A'H⊥BD交BD
的延长线于点H.在Rt△A'HB中，A'H=CD=800m,
BH=BD+DH=BD+AC=200+400=600(m).
在Rt△A'BH中，由勾股定理，得A'B2=A'+BH=
8002+6002=1000000,
故A'B=1000m,所以最短路程是1000m.
河
B
类型二几何体表面上的最短路径
3.如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点.已知
蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，设
它运动的最短路程为S,则S2=17.
B
y
第3题图
4.如图，已知一圆柱形油罐的底面圆的周长为
12m,高为5m.要以点A为底端环绕油罐做一梯
子，正好顶端在点A的正上方点B处，则梯子最
短需
13
m.
A
C蜂蜜
第5题图
6.如图，台阶阶梯每一层高20cm,宽40cm,长
50cm,一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是
多少？
A
第6题图
解：如图，因为它的每一级长50cm,宽40cm,高
20cm,
所以AB=√502+[2(20+40)]2=130(cm).
B
40 cm
20 cm
40 cm
20 cm
50 cm
答：一只蚂蚁从A点爬到D点，最短路程是130cm.
