松江区高一（下）期中考试数学试卷
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题，每题4分，第7~12题，每题5分）
1．2023°角是第______象限角．
2．若角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则sinα的值为______．
3．已知，则tanθ=______．
4．满足，的角x为______．
5．化简______．
6．已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为______．
7．已知α、β都是锐角，，，则______．
8．已知函数（，，）的部分图像如图所示，则此函数的表达式为______．
9．建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的种艺术形式传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为______．
10．已知α、，且，则______．
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=30°，b=2，且满足条件的△ABC有两解，设边a的所有可能取值构成集合D，则函数的值域为______．
12．定义：对于任意实数、，，记，（常数），记，若对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是______．
二．选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）
13．“”是“，”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
14．为了得到的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
15．在△ABC中，三边长分别为、、，且，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
16．我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①；②函数在上有4049个零点，则以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本共有2个小题，第1小题满分6分，第2小满分8分
（1）已知，求sin2α的值；
（2）证明恒等式：．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为，且，求a的值．
19．（本题满分14分）
松江区计划在G60科创云声召开一次展览会，需要搭建一个三角形展台．如图所示，OA、OB为展台固定墙壁（墙壁OA、OB足够长），两面形成120°角，现有两个方案：
方案一：在墙壁OB上取两点P、Q，用长度为20m的移动围挡围成一个以PQ为斜边的直角△MPQ（只有MP，MQ两边为移动围挡）；
方案二：在墙壁OA、OB上分别取点E、F用长度为20m的移动围挡EF依托墙壁围成△EOF；分别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小满分6分，第3小题满分8分．
已知函数
（1）求函数的最小正周期．
（2）当时，求函数的单调减区间；
（3）当时，记，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小满分6分，第3小题满分8分．
已知函数的定义域为D，若对任意的实数，都有成立（等号当且仅当时成立），则称函数是D上的凸函数，并且凸函数具有以下性质：
对任意的实数，都有（，）成立（等号当且仅当时成立）．
（1）判断函数、是否为凸函数，并证明你的结论；
（2）若函数是定义域为R的奇函数，证明：不是R上的凸函数；
（3）求证：函数是（0，π）上的凸函数，并求的最大值（其中A、B、C是△ABC的三个内角）2022-2023学年上海市松江区高一年级下学期期中考试
数学试卷
2023.4
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，乔则一得0分.
1.2023角是第
象浸
【答案】三
【解析】2023=5×360+223，I80<223”<270,所以是第三象限角
34
2.若角“的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P
则sinu的值为
5
【答案】4
【解析】sina=上
4
Vx+25
3.已知sin0+cos0
=3,则tan0=
sine-cos0
【答案】2
【解桥】sin0-cos0
tan+1
=3今tan0=2
sin0-cos0 tan0-1
4.满足c0Sx=
2’x∈0，]的角x为
【】号
【解】由特跳角能三角比可刻cosx=了水e0,小时，x=子
3
5.化简
cos(-a)（元
in(π-w）
【答案】1
【解析】
cos(-a)
cot
-
sin(π-a）2-sin
-tana
cosa.sina=1
sin a cosa
6.已知函数y=sin(2x+9)为偶函数，则满足条件的所有B值为
【答案】日=7k,6e刀
【解析】由诱导公式可得，止弦变余弦，所以0=+k元，keZ
第1贞（六10页）
已&、B都是统角，mu-号u+)=音则sm
【答案】16
65
【解析】因为《、B都是锐角，所以u+B∈(0，π)
4
义，sinw=
S·cos(+B)=,3、
,所以cosa=手
sn(x+3)=、
3
sin B=sin (a+B)-a=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina
1235.416
13513565
8已知函数)=Asin(or+p)4>0o>0,M<引
的部分
图像如图所示，则次两数的表达式为
【路】=3m3x晋到
【解析】由图像可知1=3，最小正周期T=2
ππ）2π
4+12=3
所以0=
2=3，义八
=3,3sin
03×交+93.所以1+0=2fr+7,keZ了
4
因为<至所以p=子，所以f)=3sin3x牙
4
4
9.建于明朝的杜氏吐花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑
内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的种艺
D
术形式传统砖墙精致细赋、气韵生动、极富书卷气，如悠是一
扇环形砖推，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，
已知AD=1m,弧AB=交m,弧CD=2”m,则此扇环形
砖雕的而积为
m2.
【】号
【解桥】弧CD是弧4B的两倍，则0D=20A,所以OA=1m,0D=2m,∠A0B=
所以S=×5x(2-）=5m
23
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