福清市西山学校2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试卷
单选题（共8小题.每小题5分.共40分）
1．设复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
3．若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．（，） C．（，） D．（4，2）
4.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 , 若，则的形状是
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则这样的三角形解的个数为
A. 1 B. 2 C. 0 D. 不确定
6.已知O为内一点且满足，若的面积为, 且
，则
A. B. C. D.
7．若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，已知三棱锥，点是的中点，且，，过点作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（每题至少两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分）
9．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是( )
A．的虚部为 B．
C．为纯虚数 D．在复平面上对应的点在第四象限
10．下列说法正确的是( )
A．在中，若，则．
B．在中，．
C．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．
D．在中，已知，，，则此三角形有一解．
11．点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；
B．若，则点为△的内心；
C．若，则点为△的外心；
D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.
12．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则（ ）
A． B．与所成角为
C．与平面所成角为 D．与平面所成角的正切值为
三.填空题（共4小题.每题5分.共20分）
13．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为________
14．若的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为______．
15．向量与向量的夹角为钝角，则的取值集合为________．
16.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.
四.解答题（共6小题.共70分）
17．已知向量，，，．
求的最小值及相应的t值；若与共线，求实数t．
18.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：BD⊥平面PAC．
19．如图，在中，已知P为线段AB上的一点，．
若，求x，y的值；若，，，且与的夹角为时，求的值．
20.已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，如图，为线段上一点，且，求的长．
21．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
22．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
(1)求B的大小；
(2)若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.福清市西山学校2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试卷答案
单选题（共8小题.每小题5分.共40分）
1．设复数满足，则的虚部为．（B）
A． B． C． D．
2．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ D ）
A. B.
C. D.
3．若向量，则向量在向量上的投影向量为（ B ）
A． B．（，） C．（，） D．（4，2）
4.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 , 若，则的形状是 C
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则这样的三角形解的个数为
A. 1 B. 2 C. 0 D. 不确定
6.已知O为内一点且满足，若的面积为, 且，则A
A. B. C. D.
7．若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为(A)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，已知三棱锥，点是的中点，且，，过点作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为（ D ）
A． B． C． D．
\二．多选题（每题至少两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分）
9．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是(BCD)
A．的虚部为 B．
C．为纯虚数 D．在复平面上对应的点在第四象限
10．下列说法正确的是(_ABC)
A．在中，若，则．
B．在中，．
C．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．
D．在中，已知，，，则此三角形有一解．
11．点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（BC ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；
B．若，则点为△的内心；
C．若，则点为△的外心；
D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.
12．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则（ ACD ）
A． B．与所成角为
C．与平面所成角为 D．与平面所成角的正切值为
三.填空题（共4小题.每下题5分.共20分）
13．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为________
【答案】（有无单位均给分）
14．若的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为________．
【答案】
15．向量与向量的夹角为钝角，则的取值集合为________．
【答案】
16.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
四.解答题（共6小题.共70分）
17．已知向量，，，．
求的最小值及相应的t值；若与共线，求实数t．
17．【答案】解：因为，，
所以，1分
所以．4分
当且仅当时取等号，即的最小值为，此时．5分
因为，6分
又与共线，，
所以，9分
解得．10分
18.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：BD⊥平面PAC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：
∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且，1分
又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，
∴BE∥CD，且，2分
∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四边形BEFG是平行四边形，3分
∴EF∥BG，4分
又EF 平面PBC，BG 平面PBC，∴EF∥平面PBC；6分（缺一个条件扣一分）
（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，7分
又∵PB＝PD，O是BD中点，∴BD⊥PO，8分
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，9分
又AC∩PO＝O，10分
∴BD⊥平面PAC，12分
19．如图，在中，已知P为线段AB上的一点，．
若，求x，y的值；若，，，且与的夹角为时，求的值．
14．【答案】解：由，得，1分
所以，4分
所以，；6分
由，得，
所以；8分
又，，且与的夹角为，
则10分
．12分
20.已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，如图，为线段上一点，且，求的长．
【解析】（1）根据正弦定理得，2分
整理得3分
因为，所以，又，可得6分
（2）在中，由余弦定理得8分
将（1）中所求代入整理得，解得或(舍)，即9分
在中，可知，有，10分
因为，所以．12分
21．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
（1）因为平面，平面，平面平面，3分（缺一个条件扣1分）
所以；4分
（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：
因为、分别是、的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.7分
由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面.10分
又因为，所以，平面平面12分
22．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
(1)求B的大小；(2)若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.
22．（1）根据余弦定理可知，，1分
所以，即，3分
则,，所以；5分
（2）设，
根据正弦定理可知，所以,，
所以周长7分
,9分
因为,，10分
所以，11分
所以，所以的周长为.12分
