第十章 概率单元测试培优卷
一、单项选择题。本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ）
A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上
2.有3个兴趣小组，甲、乙两人各自只参加其中一个，每位同学参加各小组的可能性相同，则这两位同学不在同一兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是（ ）
A．A与B，A与均相互独立
B．A与B相互独立，A与互斥
C．A与B，A与均互斥
D．A与B互斥，A与相互独立
4．已知一次试验，事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，又事件A与事件C不能同时发生．若，，则（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
5．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A．0.48 B．0.32 C．0.92 D．0.84
6．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
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7．已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局1231521世纪教育网(www.21cnjy.com)
电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（ ）
A． B． C． D．
8．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )
A． B． C． D．
二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．对于事件，，下列命题正确的是 （ ）
A．如果，互斥，那么与也互斥 B．如果，对立，那么与也对立
C．如果，独立，那么与也独立 D．如果，不独立，那么与也不独立
10．下列说法正确的有（ ）
A．对任意的事件A，都有P（A）>0
B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件事件B，则
11．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用代替，则
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 91 86 88 92 93
乙 87 85 86 99
A．甲的平均成绩为91分
B．从甲的5次成绩中任取2次成绩，均大于甲的平均成绩的概率是
C．当时，甲、乙两人的平均成绩相等
D．乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
14．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________．
15．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值为________.
16．下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有 .
①该市14天空气质量指数的平均值大于100
②此人到达当日空气质量优良的概率为
③此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为
④每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大
四、解答题。本题共6小题，共70分，第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．一批产品有30个，其中含有3个次品，从中随机抽取1个．计算：
(1)这个产品是次品的概率；
(2)这个产品是正品的概率．
18．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．
(1)求丙答题正确的概率；
(2)求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．
19．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为、9、，现用分层抽样的方法从三个协会中抽取名运动员参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
(2)现从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
①列出所有可能的结果；
②求选到的两名运动员来自同一协会的概率.
20．某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.
(1)从抽取的测试分数在的学生中随机选取2人，求至少1人的测试分数大于55分的概率；
(2)求频率分布直方图中a的值，并根据直方图估计该市全体高中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；
21．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
22．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
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第十章 概率单元测试培优卷
一、单项选择题。本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ）
A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上
【答案】C
【详解】
由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.
故选：C.
2.有3个兴趣小组，甲、乙两人各自只参加其中一个，每位同学参加各小组的可能性相同，则这两位同学不在同一兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设小组的编号为，甲、乙两人各自只参加其中一个，
可能为，共种，
其中两位同学不在同一兴趣小组的为，共种，
所以两位同学不在同一兴趣小组的概率为.
故选：B
3．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是（ ）
A．A与B，A与均相互独立
B．A与B相互独立，A与互斥
C．A与B，A与均互斥
D．A与B互斥，A与相互独立
【答案】A
【详解】
由于是有放回地摸球，事件A的发生并不影响事件B的发生，故A与B，A与均相互独立.
故选：A
4．已知一次试验，事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，又事件A与事件C不能同时发生．若，，则（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】A
【详解】
因为事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，
所以事件A与事件B为对立事件，而，
所以由，
又因为事件A与事件C不能同时发生，
所以事件A与事件C是互斥事件，因为，
所以，
故选：A
5．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A．0.48 B．0.32 C．0.92 D．0.84
【答案】C
【详解】
由甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，
可得甲乙都不去参观博物馆的概率为,
所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是.
故选：C.
6．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】B
【详解】
解：A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝；
B项，P（点数之和大于7）＝，P（点数之和小于等于7）＝；
C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝；
D项，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝．
故选：B.
7．已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设在网上购买的人数占比为，实体店购买的人数占比为，
由题意可得，网上购买的合格率为，
则网上购买被投诉的人数占比为，实体店里购买的被投诉的人数占比为，
所以，解得.
故选：A．
8．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有 (种)猜字结果，
其中满足的有：
当时，；当时，；当 时，；
当 时，；当 时，；当 时，；
当 时，；当 时，；当 时，；
当 时，，共有种，
所以他们“心有灵犀”的概率为，故选A.
二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．对于事件，，下列命题正确的是 （ ）
A．如果，互斥，那么与也互斥 B．如果，对立，那么与也对立
C．如果，独立，那么与也独立 D．如果，不独立，那么与也不独立
【答案】BCD
【详解】
A.如果，互斥，由互斥事件的定义得与不一定互斥，故错误；
B.如果，对立，由对立事件的定义得与也对立，故正确；
C.如果，独立，由相互独立事件的定义得与也独立，故正确；
D.如果，不独立，由相互独立事件的定义得与也不独立，故正确；
故答案为：BCD
10．下列说法正确的有（ ）
A．对任意的事件A，都有P（A）>0
B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件事件B，则
【答案】BCD
【详解】
解：对任意的事件A，都有，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A错误，C正确；
对于，随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，正确，
对于D，若事件事件B，则，故D正确；
故选：BCD
11．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用代替，则
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 91 86 88 92 93
乙 87 85 86 99
A．甲的平均成绩为91分
B．从甲的5次成绩中任取2次成绩，均大于甲的平均成绩的概率是
C．当时，甲、乙两人的平均成绩相等
D．乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是
【答案】BCD
【详解】
解：对于A，甲的平均成绩为分，故A错误；
对于B，从甲的5次成绩中任取2次成绩样本空间有
，共10个样本点，
其中均大于甲的平均成绩的样本点有3个，为，，，故所求概率为，故B正确；
对于C，由于甲的平均成绩为分，
当时，则乙的平均成绩为分，
此时甲、乙两人的平均成绩相等，故C正确；
对于D，乙的第5次成绩可能是90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，共10种可能，
可知当时，甲、乙两人的平均成绩相等，
所以当乙的第5次成绩为90，91，92时，乙的平均成绩低于甲的平均成绩，
所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是，故D正确．
故选：BCD.
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为
【答案】ACD
【详解】
对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；
对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误；
对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；
对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
【答案】
【详解】
由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，．在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝．
14．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________．
【答案】169石
【详解】
这批米内所夹的谷（石）.
故答案为：169石.
15．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值为________.
【答案】
【详解】
该同学在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为：
，解得．
故答案为：
16．下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有 .
①该市14天空气质量指数的平均值大于100
②此人到达当日空气质量优良的概率为
③此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为
④每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大
【答案】①④
【详解】
①，故正确；
②在6月1日至6月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为，故不正确；
③6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件有13个，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件是，，，共4个，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是，故不正确；
④空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故正确.
四、解答题。本题共6小题，共70分，第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．一批产品有30个，其中含有3个次品，从中随机抽取1个．计算：
(1)这个产品是次品的概率；
(2)这个产品是正品的概率．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：依题意一批产品有30个，其中含有3个次品，则正品有个；
从中随机抽取1个，则这个产品是次品的概率；
(2)
解：从中随机抽取1个，则这个产品是正品的概率；
18．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．
(1)求丙答题正确的概率；
(2)求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．
【解析】(1)
记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，
设丙答对题的概率，乙答对题的概率，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.
根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得，
所以丙对这道题的概率为
(2)
甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为
19．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为、9、，现用分层抽样的方法从三个协会中抽取名运动员参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
(2)现从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
①列出所有可能的结果；
②求选到的两名运动员来自同一协会的概率.
【解析】(1)
甲、乙、丙三个乒乓球协会分别抽取运动员人数为、、；
(2)
设甲乒乓球协会分别抽取的名运动员编号为，
乙乒乓球协会分别抽取的1名运动员编号为，
丙乒乓球协会分别抽取的名运动员编号为，
①选出两人共有15种结果，
，
，
，
，
②两名运动员来自同一协会的结果：，共有种；
所以选到的两名运动员来自同一协会的概率为.
20．某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.
(1)从抽取的测试分数在的学生中随机选取2人，求至少1人的测试分数大于55分的概率；
(2)求频率分布直方图中a的值，并根据直方图估计该市全体高中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；
【解析】(1)
∵测试分数位于中小于55的有2人，分别记为，，
大于55的有2人，记为，，
从中随机取2人的基本事件有，，，，，共6个，
至少有1人的测试分数大于55的基本事件包含5个，
所以至少有1人的测试分数大于55的概率为.
(2)
∵测试分数位于的个数为4，频率为，
∴抽取个数为：，
∴测试分数位于的个数为：，
∴.
设由直方图估计分数的中位数为t.
则有：，解得：
估计平均数为：
21．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
【详解】
解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
22．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
【详解】
（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
（2）由（1）知，
所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，
则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
（3）由频率分布直方图可得，
，
估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，
所以市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
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