三峡名校联盟2023年春季高2025届数学答案
单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D D A C B B D D
多项选择题
9 10 11 12
BD BCD AD BC
A选项，根据向量数量积公式和得到三角形三边长，求出三角形面积；B选项，利用极化恒等式得到，点在以为圆心，为半径的圆上，数形结合得到的最小值；C选项，建立平面直角坐标系，设，得到点轨迹，可设，表达出，利用三角恒等变换求出最大值；D选项，先由面积得到点轨迹，得到，从而得到的取值范围.
填空题
14、40 15、 16、
16．【详解】如图所示：依题意得 ，底面的外接圆半径为，点到平面的距离为 ，所以 ， 所以 设球的半径为，所以则，得 设球的半径为，则，又 得 所以球的表面积为
四、解答题
17．解：（1）是纯虚数,，解得，，……………………………………2分
，…………………………………………………………………………………3分
；……………………………………………………………………………………5分
（2）当时，，
，…………………………………………………8分
.…………………………………………………………………………10分
解：（1）解：因为，，所以，………2分
若选择①：由，则，…………………………………………4分
解得，所以或；……………………………………………………………………………6分
若选择②：由，则，………………………………………4分
则，所以或.…………………………………………………………………………………6分
（2）解：由，…………………………………………8分
因为，所以，解得，……………………………………………………10分
所以，可得.……………………………………………………………………12分
解：（1）连接AF，∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AB为圆O的直径，∴，………………………………………………………………2分
又EF是圆柱的母线，∴平面ABF，
∵平面ABF，∴，…………………………………………4分
又∵，，平面，∴平面ADEF，
又∵P是线段AD的中点，∴平面ADEF即为平面EPF，∴平面EPF.………………………6分
（2）由（1）知平面EPF，∴BF为三棱锥B－EPF的高，且AF为AB在平面EPF内的射影，
∴AB与平面EPF所成角为，………………………………………………………………………8分
由已知，AB=4，BC=6，
∴，，，………………………………10分
∴.…………………………………………………………………12分
20．解：（1）由题意，，，
所以，，又，
，………………………………………2分
在中，由正弦定理得，即，………………………………4分
解得；……………………………………………………………………………6分
（2）因为，，所以，，
又由（1）知，，………………………………7分
在中，由正弦定理得，
所以，即，………………………………10分
所以.……………………………………………………………12分
21．解（1）证明：分别取之中点，连，
为正三角形，；
又平面平面，平面平面，平面,
平面，…………………………………………………………………1分
同理为正三角形，；
平面平面，平面平面,平面，
故平面，………………………………………………………………………2分
于是. ………………………………………………………………………………………3分
由均为正三角形可知，
四边形为平行四边形，从而有∥， …………………………………………………………4分
平面，平面，于是∥平面.……………………………………………6分
（2）不妨设，连，则由（1）平面知，与平面所成角就是，则，又,，
即，又M为的中点，P在上，故为的中点，
过点作，垂足为，过作，垂足为，连，
又平面平面，平面平面，平面,
平面，平面，故,
又平面，故平面,
则为二面角的平面角，……………………………………………………………………9分
连接，则，则，,
则，于是，
故.………………………………………………………………………………………12分
解(1)由题可知
由正弦定理得， …………………………………………………………………………………3分
……………………………………………………………………………………………………4分
为锐角三角形，所以cosA>0,cosB>0,cosC>0……………………………………………………6分
由余弦定理得……………………………………………………………………………7分
把代入上面不等式，并两边同时除以可得…………………………………8分
解得…………………………………………………………10分
由正弦定理得
的取值范围是………………………………………12分三峡名校联盟2023年春季联考高2025届数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题列出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.)
1．在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，若，则= （ ）
A．10 B．3 C．3 D．
3．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是 （ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
4．已知在中，点D为边BC的中点，若，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．在正方体中，，，分别为AA1，B1C1，C1D1的中点，则异面直线DE与FG所成角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，，设与方向相同的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为 （ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，AB=BC=4,AA1=5,是A1C1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为 （ ）
A．40 B．
C．50 D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，且,则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是 （ ）
A．若，则 B．若
C．若 D．若，则至少与中一个平行
10．已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是 （ ）
A．若为纯虚数，则0 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．
11．在中，角A，B，C的对边分别是，，，．则下列说法正确的是 （ ）
A．面积为或12 B．
C．AB长度为6 D．外接圆的面积为
12．在中，∠,，且，P是所在平面内的一点，设，则以下说法正确的是 （ ）
A．=12
B．若，则的最小值为2
C．若，设，则的最大值为
D．若P在内部（不含边界），且，则的取值范围是
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知在复平面内，向量对应的复数是 ,对应的复数是，则向量对应的复数是__________.
14．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____．
15．已知某圆台的上底面和下底面的半径分别是1和2，侧面积是，则该圆台的体积为________.
已知三棱锥P-ABC的棱长均为4，先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切，则球O2的表面积为__________.
解答题（本题共6小题，17题10分，剩下每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知复数，其中是虚数单位，.
(1)若z是纯虚数，求；
(2)当时，求.
18．已知 ，在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
(1)若______，求实数t的值；
(2)若向量，且，求.
19．如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6．
(1)证明：BF平面EPF；
(2)若直线AB与平面EPF所成角为60 ，求三棱锥B－EPF的体积．
20．为了帮助山区群众打开脱贫致富的大门，某地计划沿直线AC开通一条穿山隧道．如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，且测得，，.用以上数据（或部分数据）表示以下结果.
(1)求出线段PB的长度；
(2)求出隧道DE的长度．
21．如图，在空间几何体ABCDE中，均为正三角形，且平面ACD平面ABC，平面EBC平面ABC.
(1)求证：ED平面ABC；
(2)P是棱AB上的一点，当DP与平面ABC所成角为时，求二面角P-AD-C的余弦值.
已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且满足
求 .
若△ABC为锐角三角形，求的取值范围 .
第1页，共2页
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