1-1-2集合间的基本关系
图片预览
文档简介
课件53张PPT。1．1.2 集合间的基本关系 1．观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．
(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}．
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}．
对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么称集合A是集合B的 ，记作A?B(或B?A)．用图表示为
．子集用平面上封闭曲线的 表示集合的方法称作图示法．这种图称作Venn图．
2．理解子集概念注意以下几点：
(1)不含任何元素的集合称作空集．规定： 是任何集合的子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集．
(3)对于集合A、B、C，如果A?B，B?C，那么A C；内部空集?(4)集合A不包含于集合B(A B)包括如下图所示几种情况：
3．集合相等与真子集
如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同时集合B的所有元素都是集合A的元素，那么就称集合A等于集合B.(即：若A?B，且B?A，则A＝B)
如果集合A是集合B的子集，并且存在x∈B，且 ，则称A是B的真子集．
值得说明的是：x?A(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素 A的元素；
(2)子集包括真子集和相等两种情况；
(3)空集?是任何非空集合的真子集；不是本节重点：子集的概念．
本节难点：属于与包含之间的区别．1．学习子集的概念要特别注意概念中“任何一个元素”而不是某些元素．
2．正确区别各种符号的含义．
(1)∈与?的区别
∈表示元素与集合之间的关系，因此有1∈N，－1?N等；?和?表示集合与集合之间的关系，因此有N?R，??R等，要正确区分属于和包含关系．(2)a与{a}的区别
一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}?{1,2,3}，a∈{a，b，c}，{a}?{a，b，c}．
(3)空集是集合中的特殊现象，A?B包括A＝?的情形容易漏掉，解题时要特别留意．
(4){0}与?的区别
{0}是含有一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，因此有??{0}，?＝{0}与?∈{0}都是错误的．要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系．3．正确地理解子集、真子集的概念
如果A是B的子集(即A?B)，那么有A是B的真子集(A?B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“A?B”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集(A?B)也可以说A是B的子集(A?B)；A＝B也可以说A是B的子集(A?B)．要注意A?B与B?A是同义的，而A?B与B?A是不同的．
4．用Venn图表达集合与集合之间的关系直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解． 总结评述：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认，以避免因疏忽而出错.
[例2] 判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，
B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}，
(2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}，
B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}，
(3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}，
B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．[解析] (1)∵A＝{奇数},4n±1(n∈Z)必是奇数，
∴B?A.
又∵当m为偶数时，设m＝2n(n∈Z)，则2m－1＝4n－1；当m为奇数时，设m＝2n＋1(n∈Z)，则2m－1＝4n＋1.
由此可见，不论m是何整数，2m－1∈B.
故A?B.综上所述，A＝B.
(2)∵－a2－4≤－4，－b2－3≤－3，
∴A＝{x|x≤－4}，B＝{y|y≤－3}．
∴A? B.(3)∵若x＞0，y＞0，则必有x＋y＞0，∴B?A.
又∵若x＝－1，y＝2时，x＋y＞0，∴(－1,2)∈A.
又∵x＝－1＜0，∴(－1,2)?B，∴B? A. 总结评述：①如果要证明A＝B，只要证明A?B与B?A同时成立即可．
②已知A?B，证明A? B，并不需要将属于B而不属于A的所有元素无一遗漏地全部列出，只要举出一个即可．同理要说明A?B成立，须给出严格的证明过程，但要说明A?B不成立，只要能找出一个元素x0∈A，但x0?B即可．
③注意集合表示的意义，它与表示集合时所采用字母的名称无关．
指出下列各对集合之间的关系．
(1)A＝{x|x是两组对边分别平行的四边形}，
B＝{x|x是一组对边平行且相等的四边形}．
(2)A＝{x|x是能被3整除的数}，
B＝{x|x是能被6整除的数}．
(3)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}．[解析] (1)∵A＝{平行四边形}，B＝{平行四边形}，∴A＝B.
(2)∵能被3整除的数不一定能被6整除，但能被6整除的数一定能被3整除，∴B? A.
(3)∵x>5?x>3，但x>3?/ x>5，∴B? A.
[例3] 已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且M? N，则
( )
A．a≤1 B．a＜1
C．a≥1 D．a＞1
[分析] 为了形象直观地表示集合的关系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系．[解析] 随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足M?N的情况如图，显见a＜1，故选B.
总结评述：要特别注意a能否取到1，若把其它条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：
①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M?N；④M?N；⑤M? N.
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B?A，则a的取值范围是________；
(2)若A?B，则a的取值范围是________；
(3)若A?B，则a的取值范围是________；
(4)若A＝B，则a的值是________．
[答案] (1)a≤3 (2)a≥3 (3)a>3 (4)3
[解析] (1)若B?A应满足a≤3；
(2)若A?B应满足a≥3；
(3)A?B应满足a>3；
(4)若A＝B则a＝3.[例4] 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B?A，求实数a的值．
[分析] B?A包括B＝A与B?A两种情形．当B＝A时，集合B中一元二次方程有两实根0和－4；当B? A时，有B＝?或B中一元二次方程有两相等实根0(或－4)．[解析] A＝{－4,0}
1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，∴a＝1.
2°若B＝?，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
∴a＜－1，
3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－1，
经验证a＝－1时，B＝{0}满足．
综上所述a＝1或a≤－1.[点评] ①B?A时，容易漏掉B＝?的情况；
②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接由Δ＝0，求得a值再验证B?A是否成立；
③分类讨论应按同一标准进行．
本题解答中，实际是按Δ>0，Δ＝0，Δ<0讨论B中方程解的情况的．Δ>0对应B＝A；Δ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}；Δ<0对应B＝?.
若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且B?A，求p、q满足的条件．
[解析] 因为B＝{1,2}，A?B，A≠?.
∴A＝{1}，{2}或{1,2}．
(1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2；
(2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1；
(3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.
[例5] 已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求实数x，y的值．
[分析] 有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相等，可以由此建立关于x、y的方程组来解决问题．[解析] (1)∵0∈B，A＝B，∴0∈A，又由集合中元素的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，
∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，即x＝y，此时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|，当x＝1时x2＝1矛盾，∴x＝－1，
∴x＝y＝－1.*
(江苏苏北四市2010模拟)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为______．
[答案] 2
[解析] ∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16?A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，
又－2?A∪B，∴a＝2.
[例6] (1)A＝{a，b，c}，求集合A子集的个数．
(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？
*(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数．[解析] (1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为{a，b，c}共1个，另外还有空集?，因此集合A共有8个子集．
(2)按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.
(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.
{a1，a2}?A?{a1，a2，a3，a4，a5}，求满足上述条件的集合A的个数．
[解析] 集合A首先含有元素a1，a2，然后再从剩下的3个元素中选取，即{a3，a4，a5}的子集总数为23＝8个，∴这样的集合A共有8个．[例7] 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的值．
[错解] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∵B?A，∴mx＋1＝0的解为－3或2.[辨析] 要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什么，然后根据B? A，求m的值．
在这里未考虑“B＝?，即方程mx＋1＝0无解”这一情形导致错误．一、选择题
1．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③任何集合至少有两个子集；④若?? A，则A≠?，其中正确的个数是
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 空集是本身的子集，但不是本身的真子集，它只有本身这一个子集，故①②③错，只有④正确．[答案] D 二、解答题
3．设集合A＝{－1,1}，试用列举法写出下列集合．
(1)B＝{x|x∈A}；
(2)C＝{(x，y)|x，y∈A}；
(3)D＝{x|x?A}．
[解析] (1)B＝{－1,1}．
(2)C＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．
(3)D＝{?，{－1}，{1}，{－1,1}}．4．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求m的取值集合．
[解析] ∵B?A且B≠?，
故所求集合为{m|2≤m≤3}．
若把条件B?A，改为(1)B? A或(2)A? B，请再求实数m的取值集合．5．已知集合A＝{1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和．
[分析] 先写出集合A的所有子集，再求这些子集的所有元素之和．
[解析] 集合A的子集分别是：?，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素x出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．
(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}．
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}．
对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么称集合A是集合B的 ，记作A?B(或B?A)．用图表示为
．子集用平面上封闭曲线的 表示集合的方法称作图示法．这种图称作Venn图．
2．理解子集概念注意以下几点：
(1)不含任何元素的集合称作空集．规定： 是任何集合的子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集．
(3)对于集合A、B、C，如果A?B，B?C，那么A C；内部空集?(4)集合A不包含于集合B(A B)包括如下图所示几种情况：
3．集合相等与真子集
如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同时集合B的所有元素都是集合A的元素，那么就称集合A等于集合B.(即：若A?B，且B?A，则A＝B)
如果集合A是集合B的子集，并且存在x∈B，且 ，则称A是B的真子集．
值得说明的是：x?A(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素 A的元素；
(2)子集包括真子集和相等两种情况；
(3)空集?是任何非空集合的真子集；不是本节重点：子集的概念．
本节难点：属于与包含之间的区别．1．学习子集的概念要特别注意概念中“任何一个元素”而不是某些元素．
2．正确区别各种符号的含义．
(1)∈与?的区别
∈表示元素与集合之间的关系，因此有1∈N，－1?N等；?和?表示集合与集合之间的关系，因此有N?R，??R等，要正确区分属于和包含关系．(2)a与{a}的区别
一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}?{1,2,3}，a∈{a，b，c}，{a}?{a，b，c}．
(3)空集是集合中的特殊现象，A?B包括A＝?的情形容易漏掉，解题时要特别留意．
(4){0}与?的区别
{0}是含有一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，因此有??{0}，?＝{0}与?∈{0}都是错误的．要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系．3．正确地理解子集、真子集的概念
如果A是B的子集(即A?B)，那么有A是B的真子集(A?B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“A?B”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集(A?B)也可以说A是B的子集(A?B)；A＝B也可以说A是B的子集(A?B)．要注意A?B与B?A是同义的，而A?B与B?A是不同的．
4．用Venn图表达集合与集合之间的关系直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解． 总结评述：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认，以避免因疏忽而出错.
[例2] 判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，
B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}，
(2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}，
B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}，
(3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}，
B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．[解析] (1)∵A＝{奇数},4n±1(n∈Z)必是奇数，
∴B?A.
又∵当m为偶数时，设m＝2n(n∈Z)，则2m－1＝4n－1；当m为奇数时，设m＝2n＋1(n∈Z)，则2m－1＝4n＋1.
由此可见，不论m是何整数，2m－1∈B.
故A?B.综上所述，A＝B.
(2)∵－a2－4≤－4，－b2－3≤－3，
∴A＝{x|x≤－4}，B＝{y|y≤－3}．
∴A? B.(3)∵若x＞0，y＞0，则必有x＋y＞0，∴B?A.
又∵若x＝－1，y＝2时，x＋y＞0，∴(－1,2)∈A.
又∵x＝－1＜0，∴(－1,2)?B，∴B? A. 总结评述：①如果要证明A＝B，只要证明A?B与B?A同时成立即可．
②已知A?B，证明A? B，并不需要将属于B而不属于A的所有元素无一遗漏地全部列出，只要举出一个即可．同理要说明A?B成立，须给出严格的证明过程，但要说明A?B不成立，只要能找出一个元素x0∈A，但x0?B即可．
③注意集合表示的意义，它与表示集合时所采用字母的名称无关．
指出下列各对集合之间的关系．
(1)A＝{x|x是两组对边分别平行的四边形}，
B＝{x|x是一组对边平行且相等的四边形}．
(2)A＝{x|x是能被3整除的数}，
B＝{x|x是能被6整除的数}．
(3)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}．[解析] (1)∵A＝{平行四边形}，B＝{平行四边形}，∴A＝B.
(2)∵能被3整除的数不一定能被6整除，但能被6整除的数一定能被3整除，∴B? A.
(3)∵x>5?x>3，但x>3?/ x>5，∴B? A.
[例3] 已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且M? N，则
( )
A．a≤1 B．a＜1
C．a≥1 D．a＞1
[分析] 为了形象直观地表示集合的关系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系．[解析] 随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足M?N的情况如图，显见a＜1，故选B.
总结评述：要特别注意a能否取到1，若把其它条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：
①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M?N；④M?N；⑤M? N.
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B?A，则a的取值范围是________；
(2)若A?B，则a的取值范围是________；
(3)若A?B，则a的取值范围是________；
(4)若A＝B，则a的值是________．
[答案] (1)a≤3 (2)a≥3 (3)a>3 (4)3
[解析] (1)若B?A应满足a≤3；
(2)若A?B应满足a≥3；
(3)A?B应满足a>3；
(4)若A＝B则a＝3.[例4] 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B?A，求实数a的值．
[分析] B?A包括B＝A与B?A两种情形．当B＝A时，集合B中一元二次方程有两实根0和－4；当B? A时，有B＝?或B中一元二次方程有两相等实根0(或－4)．[解析] A＝{－4,0}
1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，∴a＝1.
2°若B＝?，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
∴a＜－1，
3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－1，
经验证a＝－1时，B＝{0}满足．
综上所述a＝1或a≤－1.[点评] ①B?A时，容易漏掉B＝?的情况；
②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接由Δ＝0，求得a值再验证B?A是否成立；
③分类讨论应按同一标准进行．
本题解答中，实际是按Δ>0，Δ＝0，Δ<0讨论B中方程解的情况的．Δ>0对应B＝A；Δ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}；Δ<0对应B＝?.
若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且B?A，求p、q满足的条件．
[解析] 因为B＝{1,2}，A?B，A≠?.
∴A＝{1}，{2}或{1,2}．
(1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2；
(2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1；
(3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.
[例5] 已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求实数x，y的值．
[分析] 有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相等，可以由此建立关于x、y的方程组来解决问题．[解析] (1)∵0∈B，A＝B，∴0∈A，又由集合中元素的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，
∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，即x＝y，此时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|，当x＝1时x2＝1矛盾，∴x＝－1，
∴x＝y＝－1.*
(江苏苏北四市2010模拟)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为______．
[答案] 2
[解析] ∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16?A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，
又－2?A∪B，∴a＝2.
[例6] (1)A＝{a，b，c}，求集合A子集的个数．
(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？
*(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数．[解析] (1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为{a，b，c}共1个，另外还有空集?，因此集合A共有8个子集．
(2)按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.
(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.
{a1，a2}?A?{a1，a2，a3，a4，a5}，求满足上述条件的集合A的个数．
[解析] 集合A首先含有元素a1，a2，然后再从剩下的3个元素中选取，即{a3，a4，a5}的子集总数为23＝8个，∴这样的集合A共有8个．[例7] 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的值．
[错解] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∵B?A，∴mx＋1＝0的解为－3或2.[辨析] 要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什么，然后根据B? A，求m的值．
在这里未考虑“B＝?，即方程mx＋1＝0无解”这一情形导致错误．一、选择题
1．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③任何集合至少有两个子集；④若?? A，则A≠?，其中正确的个数是
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 空集是本身的子集，但不是本身的真子集，它只有本身这一个子集，故①②③错，只有④正确．[答案] D 二、解答题
3．设集合A＝{－1,1}，试用列举法写出下列集合．
(1)B＝{x|x∈A}；
(2)C＝{(x，y)|x，y∈A}；
(3)D＝{x|x?A}．
[解析] (1)B＝{－1,1}．
(2)C＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．
(3)D＝{?，{－1}，{1}，{－1,1}}．4．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求m的取值集合．
[解析] ∵B?A且B≠?，
故所求集合为{m|2≤m≤3}．
若把条件B?A，改为(1)B? A或(2)A? B，请再求实数m的取值集合．5．已知集合A＝{1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和．
[分析] 先写出集合A的所有子集，再求这些子集的所有元素之和．
[解析] 集合A的子集分别是：?，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素x出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.