1-2-1函数的概念 (2)
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课件66张PPT。1．2 函数及其表示1．2.1 函数的概念1．设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的每一个值，y都有 确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．唯一答案：(1)是 (2)不是 3．下面我们用集合与对应的观点来研究函数，先阅读教材P15～16，再回答问题．
设A、B是 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．记作 ，其中x叫做 ， 叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做
，函数值的集合 叫做函数的值域．非空数集任意一个数x唯一y＝f(x)自变量A函数值{y|y＝f(x)，x∈A}4．函数的定义域是使函数有意义的自变量x的取值集合，值域是函数值的集合．
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域为 ；
值域为 .RR(5)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义；
一种练习本的单价为0.6元，买本子的个数x与应付钱数y之间的函数关系为 ，其中x的允许取值范围是 .y＝0.6xx∈N5．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么就称这两个函数相等．
(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就 ．故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．
如y＝1与y＝ 不是相等函数，因为 ．y＝3t＋4与y＝3x＋4是相等函数．
(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．一定相同定义域不同6．阅读教材P17填表.a本节难点：(1)函数概念的理解．
(2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数定义域．(一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以下几点：
①“A，B是非空数集”，若求得自变量取值范围为?，则此函数不存在．
②定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相等，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同．③y＝f(x)中f为对应法则，当情况比较简单时，对应法则f可用一个解析式来表示．但在有些问题中，对应法则f也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时就必须采用其他方式，如数表或图象等．
④函数符号“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式．符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是自变量x的函数．一般情况下，f(x)是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．(二)复合函数定义域的求法
已知f(x)定义域为A，求f(φ(x))定义域，应使φ(x)∈A；已知f(φ(x))定义域为A，求f(x)定义域，即求当x∈A时，φ(x)的值域．[分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应”进行判断．
(2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域到值域的对应法则，只要将自变量允许值代入，就可以求得对应的函数值． 总结评述：判断由一个式子是否能确定y是x的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x的取值集合中任一个x的值，由式子是否可确定唯一的一个y的值与之对应，也可以看由式子解出x的解析式是否唯一．
(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，能确定A到B的函数关系的个数是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4[解析] (1)①③能确定A到B的函数关系，它们都满足对于A中每一个元素，在B中有惟一元素与之对应．且A，B都是非空数集；②④都不能确定A到B的函数关系．②的集合A中元素4在B中无对应元素；④的集合A中元素3，在B中有两个元素与之对应，故选B.[分析] 确定两个函数是否相等，要紧紧抓住函数的定义域和对应法则．根据函数的定义可知，定义域中的每一个x都有唯一的y与它对应，所以值域实际上是由定义域和对应法则确定，因此，两个函数只要定义域和对应法则分别相同，它们就是相等函数．[解析] ①中f(x)＝x＋1，x∈R，而y＝x＋x0中x≠0，它们的定义域不相同，所以不是相等函数．
②中两个函数的定义域都是R，并且f(x)＝ ＝|2x＋1|，所以它们是相等函数．
③中f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)的定义域都是Z，值域也相同(都是奇数集)，但对应法则不同，所以不是相等函数．
④中f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域都是R，尽管它们表示自变量的字母不同，但是，对应法则都是“乘3加2”，是相同的对应法则，所以是相等函数．
故填②④. 总结评述：从函数的概念可知，函数有定义域、值域、对应法则三要素，其中，定义域是前提，对应法则是核心，值域是由定义域和对应法则确定的．因此，
1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不是同一个函数．只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等函数．
2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准确把握，它的核心是“法则”．通俗地说，就是给出了一个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则与自变量所用的符号无关．3)从本题我们也得到这样的启示：在对函数关系变形或化简时，一定要注意使函数的定义域保持不变，否则，就变成了不同的函数．这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一个重要组成部分．例如f(x)＝x2－x (x≥1)，f(3)＝32－3＝6，但f(－1)是无意义的，不能得出f(－1)＝(－1)2－(－1)＝2，因为只有当x取定义域[1，＋∞)内的值时，才能按这个法则x2－x进行计算．[解析] ①要使函数有意义，只要－x2＋5x－6＞0，即－(x－2)(x－3)>0，∴2＜x＜3.
故函数的定义域为{x|2＜x＜3}．[答案] {x∈R且x≠－1，x≠－2}
[例4] 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如右图所示)．若矩形底边长为2x，求此框架围成图形的面积y关于x的函数，并求出定义域．
[例5] 设y＝f(x)的定义域是[0,2]，求下列函数的定义域．
(1)f(x＋3)；(2)f(|2x－1|)；(3)f(x＋a)－f(x－a)(0[分析] 根据“若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义域为a≤g(x)≤b的解集”来解相应的不等式(或不等式组)．
已知y＝f(x＋1)的定义域为[0,1]．则y＝f(x)的定义域为________．
[解析] 由题设使y＝f(x＋1)有意义的x允许取值范围是0≤x≤1.∴1≤x＋1≤2
∴欲使y＝f(x)有意义，须1≤x≤2.
∴此函数的定义域为[1,2].[分析] 因为函数y＝f(x)，当x在函数的定义域内时f(x)都有意义，又f(x·y)－f(x)＝f(y)对任意实数x，y(xy≠0)都成立，故只要取某些特殊值即可得证．[点评] 由于函数f(x)对任意非零实数x、y都有f(xy)－f(x)＝f(y)成立．因此当x、y取某些特殊值时一定成立，故解决这类问题可用赋值法，通过赋值产生已知条件式和待求解的结论式使之建立联系．[例7] 某农户计划建筑一矩形羊圈，现有可作为围墙的材料总长度为100米，求羊圈的面积S与长x的函数关系式．
[错解] 设羊圈的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得，S＝x(50－x)，
故函数关系式为S＝x(50－x)．
[辨析] 解题到此为止，则本题的函数关系式还不完整，缺少自变量x的范围，也就是说解题思路不够严密．[正解] 设羊圈的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得，S＝x(50－x)，
因为羊圈的长和宽都不能小于等于零，也就是羊圈的面积应为正数，
故函数关系式为S＝x(50－x) (01．给出下列从A到B的对应：
①A＝N，B＝{0,1}，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数
②A＝{0,1,2}，B＝{4,1,0}，对应关系是f：x→y＝x2
其中表示从集合A到集合B的函数有( )个．
( )
A．1 B．2 C．3 D．0[答案] B
[解析] 由于③中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.2．已知x∈A，y∈B，在以下的对应中，y不是x的函数的是(如下图)
( )[答案] A
[解析] 在A图中，集合A中元素1在集合B中有两个元素1和－1与之对应，故y不是x的函数．3．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是
( )[答案] B
[解析] B图中，作垂直于x轴的直线，与图形可以有两个交点，故存在x，有两个y值与之对应，故B图y不是x的函数．4．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是
( )[答案] B
[解析] A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B.
5．某种细胞分裂时，每次分裂由1个分裂为2个，2个分裂为4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与x的函数关系式为
( )
A．y＝2x B．y＝2x
C．y＝4x D．y＝x4
[答案] B[答案] A
设A、B是 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．记作 ，其中x叫做 ， 叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做
，函数值的集合 叫做函数的值域．非空数集任意一个数x唯一y＝f(x)自变量A函数值{y|y＝f(x)，x∈A}4．函数的定义域是使函数有意义的自变量x的取值集合，值域是函数值的集合．
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域为 ；
值域为 .RR(5)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义；
一种练习本的单价为0.6元，买本子的个数x与应付钱数y之间的函数关系为 ，其中x的允许取值范围是 .y＝0.6xx∈N5．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么就称这两个函数相等．
(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就 ．故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．
如y＝1与y＝ 不是相等函数，因为 ．y＝3t＋4与y＝3x＋4是相等函数．
(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．一定相同定义域不同6．阅读教材P17填表.a
(2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数定义域．(一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以下几点：
①“A，B是非空数集”，若求得自变量取值范围为?，则此函数不存在．
②定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相等，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同．③y＝f(x)中f为对应法则，当情况比较简单时，对应法则f可用一个解析式来表示．但在有些问题中，对应法则f也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时就必须采用其他方式，如数表或图象等．
④函数符号“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式．符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是自变量x的函数．一般情况下，f(x)是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．(二)复合函数定义域的求法
已知f(x)定义域为A，求f(φ(x))定义域，应使φ(x)∈A；已知f(φ(x))定义域为A，求f(x)定义域，即求当x∈A时，φ(x)的值域．[分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应”进行判断．
(2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域到值域的对应法则，只要将自变量允许值代入，就可以求得对应的函数值． 总结评述：判断由一个式子是否能确定y是x的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x的取值集合中任一个x的值，由式子是否可确定唯一的一个y的值与之对应，也可以看由式子解出x的解析式是否唯一．
(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，能确定A到B的函数关系的个数是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4[解析] (1)①③能确定A到B的函数关系，它们都满足对于A中每一个元素，在B中有惟一元素与之对应．且A，B都是非空数集；②④都不能确定A到B的函数关系．②的集合A中元素4在B中无对应元素；④的集合A中元素3，在B中有两个元素与之对应，故选B.[分析] 确定两个函数是否相等，要紧紧抓住函数的定义域和对应法则．根据函数的定义可知，定义域中的每一个x都有唯一的y与它对应，所以值域实际上是由定义域和对应法则确定，因此，两个函数只要定义域和对应法则分别相同，它们就是相等函数．[解析] ①中f(x)＝x＋1，x∈R，而y＝x＋x0中x≠0，它们的定义域不相同，所以不是相等函数．
②中两个函数的定义域都是R，并且f(x)＝ ＝|2x＋1|，所以它们是相等函数．
③中f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)的定义域都是Z，值域也相同(都是奇数集)，但对应法则不同，所以不是相等函数．
④中f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域都是R，尽管它们表示自变量的字母不同，但是，对应法则都是“乘3加2”，是相同的对应法则，所以是相等函数．
故填②④. 总结评述：从函数的概念可知，函数有定义域、值域、对应法则三要素，其中，定义域是前提，对应法则是核心，值域是由定义域和对应法则确定的．因此，
1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不是同一个函数．只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等函数．
2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准确把握，它的核心是“法则”．通俗地说，就是给出了一个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则与自变量所用的符号无关．3)从本题我们也得到这样的启示：在对函数关系变形或化简时，一定要注意使函数的定义域保持不变，否则，就变成了不同的函数．这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一个重要组成部分．例如f(x)＝x2－x (x≥1)，f(3)＝32－3＝6，但f(－1)是无意义的，不能得出f(－1)＝(－1)2－(－1)＝2，因为只有当x取定义域[1，＋∞)内的值时，才能按这个法则x2－x进行计算．[解析] ①要使函数有意义，只要－x2＋5x－6＞0，即－(x－2)(x－3)>0，∴2＜x＜3.
故函数的定义域为{x|2＜x＜3}．[答案] {x∈R且x≠－1，x≠－2}
[例4] 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如右图所示)．若矩形底边长为2x，求此框架围成图形的面积y关于x的函数，并求出定义域．
[例5] 设y＝f(x)的定义域是[0,2]，求下列函数的定义域．
(1)f(x＋3)；(2)f(|2x－1|)；(3)f(x＋a)－f(x－a)(0
已知y＝f(x＋1)的定义域为[0,1]．则y＝f(x)的定义域为________．
[解析] 由题设使y＝f(x＋1)有意义的x允许取值范围是0≤x≤1.∴1≤x＋1≤2
∴欲使y＝f(x)有意义，须1≤x≤2.
∴此函数的定义域为[1,2].[分析] 因为函数y＝f(x)，当x在函数的定义域内时f(x)都有意义，又f(x·y)－f(x)＝f(y)对任意实数x，y(xy≠0)都成立，故只要取某些特殊值即可得证．[点评] 由于函数f(x)对任意非零实数x、y都有f(xy)－f(x)＝f(y)成立．因此当x、y取某些特殊值时一定成立，故解决这类问题可用赋值法，通过赋值产生已知条件式和待求解的结论式使之建立联系．[例7] 某农户计划建筑一矩形羊圈，现有可作为围墙的材料总长度为100米，求羊圈的面积S与长x的函数关系式．
[错解] 设羊圈的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得，S＝x(50－x)，
故函数关系式为S＝x(50－x)．
[辨析] 解题到此为止，则本题的函数关系式还不完整，缺少自变量x的范围，也就是说解题思路不够严密．[正解] 设羊圈的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得，S＝x(50－x)，
因为羊圈的长和宽都不能小于等于零，也就是羊圈的面积应为正数，
故函数关系式为S＝x(50－x) (0
①A＝N，B＝{0,1}，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数
②A＝{0,1,2}，B＝{4,1,0}，对应关系是f：x→y＝x2
其中表示从集合A到集合B的函数有( )个．
( )
A．1 B．2 C．3 D．0[答案] B
[解析] 由于③中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.2．已知x∈A，y∈B，在以下的对应中，y不是x的函数的是(如下图)
( )[答案] A
[解析] 在A图中，集合A中元素1在集合B中有两个元素1和－1与之对应，故y不是x的函数．3．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是
( )[答案] B
[解析] B图中，作垂直于x轴的直线，与图形可以有两个交点，故存在x，有两个y值与之对应，故B图y不是x的函数．4．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是
( )[答案] B
[解析] A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B.
5．某种细胞分裂时，每次分裂由1个分裂为2个，2个分裂为4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与x的函数关系式为
( )
A．y＝2x B．y＝2x
C．y＝4x D．y＝x4
[答案] B[答案] A