1-2-2-2分段函数与映射
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课件60张PPT。1．当自变量x在不同的取值区间(范围)内取值时，函数的对应法则也不同的函数为 ．
分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比较重要的一种函数．
2．(1)设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 一个元素，在集合B中有 确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括A、B以及对应关系f)叫做集合A到B的映射，记作 .分段函数唯一任何f：A→B(2)给定一个集合A到集合B的映射时，a∈A，b∈B如果b和a对应，那么我们把元素b叫做 ，元素a叫做b的 ．象原象本节重点：①分段函数概念的理解；②映射定义理解．
本节难点：①函数图象的画法；②分段函数的理解应用；③用映射理解函数的定义．(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集；值域是各段函数值集合的并集；最大(小)值是各段上最大(小)值中的最大(小)者．研究分段函数常借助图象进行．
(2)映射f：A→B包含三个要素：原象集合A，象集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则f.两个集合A、B可以是数集，也可以是点集或其它集合．对应法则f可用文字表述，也可以用符号表示．映射是一种特殊的对应，它具有：①方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；
②任意性：集合A中的任意一个元素都有象，但不要求B中的每一个元素都有原象；
③唯一性：集合A中元素的象是唯一的，即不允许“一对多”但可以“多对一”．[分析] 图象法是表示函数的方法之一，画函数的图象时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图． 总结评述：函数的图象可以是一些线段，一段曲线，甚至是一些点．表示函数的式子也可以不止一个，这类用几个式子表示的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，必须分段画出函数图象，尤其需注意特殊点． [答案] B
[例2] 设f：M→N是集合M到集合N的映射，下列说法中正确的是
( )
A．M中每一个元素在N中必有元素与之对应
B．N中每一个元素在M中必有元素与之对应
C．M中的元素在N中可以有不同元素与之对应
D．N中的元素在M中若有原象，则原象必是惟一的
[分析] 根据映射的定义判断．[解析] 在映射中允许集合N中的某些元素在集合M中没有元素对应，所以B是错误的；又因为映射中允许集合M中不同元素对应集合N中相同的元素，就是说可以“多对一”，因此D也是错误的．M中元素的象是惟一的，故C错，∴选A.[答案] B
[分析] 判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照对应法则f判断，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中是否有惟一的元素和它对应．[解析] 在A中，当x＝3时，|x－3|＝0，于是A中有一个元素在B中没有元素和它对应，故不是映射；在C中，集合A中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是映射；(或者x＞0时，B中对应元素不唯一)；在D中，集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；B符合定义，故选B.[例3] 已知集合A＝B＝{(x，y)|x、y∈R}，给定映射f：A→B，使得集合A中的元素(x，y)与集合B中的元素(x＋y，xy)对应．
(1)求A中元素(－2,3)的象；
(2)求B中元素(2，－3)的原象；
*(3)判断集合A中是否存在元素与B中形如(a，a2)的元素对应；若存在，求之；若不存在，说明理由．
[分析] 由对应法则，可以根据A中元素与B中元素的对应关系建立起关于x、y的方程组．其中第(3)问即是判断相应的方程组是否有解，何时有解． 总结评述：在一个给定的映射f：A→B中，A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应，但B中元素在A中未必有元素对应，即A中元素对应B中元素的集合实际上是集合B的一个子集．在涉及元素的对应问题中，常常需要建立方程组求解．(2)设集合A、B都是正整数集，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素3n＋2n，则在映射f下，象89的原象是
( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] (1)D (2)C[点评] (2)验证次数要尽可能的少，故先验证B，若n＝3时，结果比89小，则排除A、B.若等于89，则知选B，若大于89，则选A.[分析] 这是已知分段函数的函数值求相应自变量的值的问题．一般从两个角度思考：一是先求各段上函数值的取值范围，再结合所给函数值的大小，确定在哪段上求解；二是逐段令其值为已知函数值解出x的值，看是否满足其取值范围的要求做出取舍．[答案] A
[例5] 上因特网的费用由两部分组成：电话费和上网费．以前某“热线”上因特网的费用为电话费0.12元/3分钟，上网费0.12元/分钟．根据信息产业部调整因特网资费的要求，自1999年3月1日起，该地区上因特网的费用调整为电话费0.16元/3分钟，上网费每月不超过60小时，以4元/时计算，超过60小时部分，以8元/时计算．(1)根据调整后的规定，将每月上因特网的费用表示为时间(小时)的函数(每月按30天计算)；
(2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网60小时的费用开支，因特网资费调整后，若要不超过其家庭经济预算中上网费支出，则该网民现在每月可上网多少小时，从涨价和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况．[解析] 设调整后上网x小时的费用为f(x)元．
(1)当0＜x≤60时，f(x)＝0.16×20x＋4x＝7.2x；
当x＞60时，f(x)＝4×60＋0.16×20x＋(x－60)×8＝11.2x－240.(2)设调整前上网x小时的费用为g(x)元，则g(x)＝0.12×20x＋0.12×60x＝9.6x.
原上网60小时预算费用为9.6×60＝576(元)，由576＝11.2x－240得x≈72.85(时)，故该网民现在每月可上网72.85小时．
当0＜x≤60时，f(x)＜g(x)；
当x＞60时，由f(x)＝g(x)，可得x＝150.
所以，上网小于150小时时，f(x)＜g(x)；上网大于150小时时，f(x)＞g(x)．
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若△APB的面积不小于2，
求x的取值范围．(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，
当8∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11.[点评] (3)可以作直线y＝2与函数y＝f(x)的图象交于点A(1,2)，B(11,2)，要使y≥2，应有1≤x≤11.[例6] 设集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，其中a，k∈N，映射f：A→B使B中的元素y与A中元素x对应且y＝3x＋1，求a及k的值．
[错解] ∵B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，∴A中元素1,2分别对应B中元素4,7.
∵a，k∈N，∴a不存在，∴k不存在．[辨析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定义．由于集合元素的无序性，所以a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分类讨论．一、选择题
1．函数y＝|x＋1|的图象是 ( )[答案] A
[解析] 当x＝－1时y＝0，因此否定B、C，又y≥0，否定D，故选A.2．在如图的对应关系中，哪些对应不是集合A到集合B的映射
( )
A．①、②
B．①、④
C．②、⑤
D．①、②、③[答案] D
[解析] 由图知①②中元素a1在B中对应元素不唯一，③中元素a2在B中无象，都不是映射，④⑤是映射，故选D.[答案] B
[解析] 设(x，y)在f作用下对应(3,1)，则
∴与(3,1)对应的元素为(1,1)，故选B.4．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数在下列给出的四个选项中，只可能是
( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)[答案] C
[解析] 观察图②可知，当x<0时，y＝f(x)，当x>0时，y＝f(－x)，∴图②对应的函数为y＝f(－|x|)．
二、填空题
5．一等腰三角形的周长为10，底为x，则腰y与x的函数解析式是____________．[解析] 将n＝2,3,4,5分别代入函数式，依次可得，
f(2)＝f(1)＋2×1＝1＋2＝3，
f(3)＝f(2)＋2×2＝3＋4＝7，
f(4)＝f(3)＋2×3＝7＋6＝13，
f(5)＝f(4)＋2×4＝13＋8＝21.
分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比较重要的一种函数．
2．(1)设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 一个元素，在集合B中有 确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括A、B以及对应关系f)叫做集合A到B的映射，记作 .分段函数唯一任何f：A→B(2)给定一个集合A到集合B的映射时，a∈A，b∈B如果b和a对应，那么我们把元素b叫做 ，元素a叫做b的 ．象原象本节重点：①分段函数概念的理解；②映射定义理解．
本节难点：①函数图象的画法；②分段函数的理解应用；③用映射理解函数的定义．(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集；值域是各段函数值集合的并集；最大(小)值是各段上最大(小)值中的最大(小)者．研究分段函数常借助图象进行．
(2)映射f：A→B包含三个要素：原象集合A，象集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则f.两个集合A、B可以是数集，也可以是点集或其它集合．对应法则f可用文字表述，也可以用符号表示．映射是一种特殊的对应，它具有：①方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；
②任意性：集合A中的任意一个元素都有象，但不要求B中的每一个元素都有原象；
③唯一性：集合A中元素的象是唯一的，即不允许“一对多”但可以“多对一”．[分析] 图象法是表示函数的方法之一，画函数的图象时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图． 总结评述：函数的图象可以是一些线段，一段曲线，甚至是一些点．表示函数的式子也可以不止一个，这类用几个式子表示的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，必须分段画出函数图象，尤其需注意特殊点． [答案] B
[例2] 设f：M→N是集合M到集合N的映射，下列说法中正确的是
( )
A．M中每一个元素在N中必有元素与之对应
B．N中每一个元素在M中必有元素与之对应
C．M中的元素在N中可以有不同元素与之对应
D．N中的元素在M中若有原象，则原象必是惟一的
[分析] 根据映射的定义判断．[解析] 在映射中允许集合N中的某些元素在集合M中没有元素对应，所以B是错误的；又因为映射中允许集合M中不同元素对应集合N中相同的元素，就是说可以“多对一”，因此D也是错误的．M中元素的象是惟一的，故C错，∴选A.[答案] B
[分析] 判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照对应法则f判断，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中是否有惟一的元素和它对应．[解析] 在A中，当x＝3时，|x－3|＝0，于是A中有一个元素在B中没有元素和它对应，故不是映射；在C中，集合A中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是映射；(或者x＞0时，B中对应元素不唯一)；在D中，集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；B符合定义，故选B.[例3] 已知集合A＝B＝{(x，y)|x、y∈R}，给定映射f：A→B，使得集合A中的元素(x，y)与集合B中的元素(x＋y，xy)对应．
(1)求A中元素(－2,3)的象；
(2)求B中元素(2，－3)的原象；
*(3)判断集合A中是否存在元素与B中形如(a，a2)的元素对应；若存在，求之；若不存在，说明理由．
[分析] 由对应法则，可以根据A中元素与B中元素的对应关系建立起关于x、y的方程组．其中第(3)问即是判断相应的方程组是否有解，何时有解． 总结评述：在一个给定的映射f：A→B中，A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应，但B中元素在A中未必有元素对应，即A中元素对应B中元素的集合实际上是集合B的一个子集．在涉及元素的对应问题中，常常需要建立方程组求解．(2)设集合A、B都是正整数集，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素3n＋2n，则在映射f下，象89的原象是
( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] (1)D (2)C[点评] (2)验证次数要尽可能的少，故先验证B，若n＝3时，结果比89小，则排除A、B.若等于89，则知选B，若大于89，则选A.[分析] 这是已知分段函数的函数值求相应自变量的值的问题．一般从两个角度思考：一是先求各段上函数值的取值范围，再结合所给函数值的大小，确定在哪段上求解；二是逐段令其值为已知函数值解出x的值，看是否满足其取值范围的要求做出取舍．[答案] A
[例5] 上因特网的费用由两部分组成：电话费和上网费．以前某“热线”上因特网的费用为电话费0.12元/3分钟，上网费0.12元/分钟．根据信息产业部调整因特网资费的要求，自1999年3月1日起，该地区上因特网的费用调整为电话费0.16元/3分钟，上网费每月不超过60小时，以4元/时计算，超过60小时部分，以8元/时计算．(1)根据调整后的规定，将每月上因特网的费用表示为时间(小时)的函数(每月按30天计算)；
(2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网60小时的费用开支，因特网资费调整后，若要不超过其家庭经济预算中上网费支出，则该网民现在每月可上网多少小时，从涨价和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况．[解析] 设调整后上网x小时的费用为f(x)元．
(1)当0＜x≤60时，f(x)＝0.16×20x＋4x＝7.2x；
当x＞60时，f(x)＝4×60＋0.16×20x＋(x－60)×8＝11.2x－240.(2)设调整前上网x小时的费用为g(x)元，则g(x)＝0.12×20x＋0.12×60x＝9.6x.
原上网60小时预算费用为9.6×60＝576(元)，由576＝11.2x－240得x≈72.85(时)，故该网民现在每月可上网72.85小时．
当0＜x≤60时，f(x)＜g(x)；
当x＞60时，由f(x)＝g(x)，可得x＝150.
所以，上网小于150小时时，f(x)＜g(x)；上网大于150小时时，f(x)＞g(x)．
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若△APB的面积不小于2，
求x的取值范围．(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，
当8
[错解] ∵B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，∴A中元素1,2分别对应B中元素4,7.
∵a，k∈N，∴a不存在，∴k不存在．[辨析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定义．由于集合元素的无序性，所以a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分类讨论．一、选择题
1．函数y＝|x＋1|的图象是 ( )[答案] A
[解析] 当x＝－1时y＝0，因此否定B、C，又y≥0，否定D，故选A.2．在如图的对应关系中，哪些对应不是集合A到集合B的映射
( )
A．①、②
B．①、④
C．②、⑤
D．①、②、③[答案] D
[解析] 由图知①②中元素a1在B中对应元素不唯一，③中元素a2在B中无象，都不是映射，④⑤是映射，故选D.[答案] B
[解析] 设(x，y)在f作用下对应(3,1)，则
∴与(3,1)对应的元素为(1,1)，故选B.4．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数在下列给出的四个选项中，只可能是
( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)[答案] C
[解析] 观察图②可知，当x<0时，y＝f(x)，当x>0时，y＝f(－x)，∴图②对应的函数为y＝f(－|x|)．
二、填空题
5．一等腰三角形的周长为10，底为x，则腰y与x的函数解析式是____________．[解析] 将n＝2,3,4,5分别代入函数式，依次可得，
f(2)＝f(1)＋2×1＝1＋2＝3，
f(3)＝f(2)＋2×2＝3＋4＝7，
f(4)＝f(3)＋2×3＝7＋6＝13，
f(5)＝f(4)＋2×4＝13＋8＝21.