1-3-1-1函数的单调性

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名称 1-3-1-1函数的单调性
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2014-08-11 15:38:21

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课件53张PPT。1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 1.观察函数y=x2的图象可见,当x≥0时,图象是上升的,称此函数在[0,+∞)上为增函数,当x≤0时,图象是下降的,称此函数在(-∞,0]上为 函数.
2.一般地,设f(x)的定义域为I,如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2)如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在区间D上具有 .区间D叫做函数f(x)的单调区间.
(1)如图,已知函数y=f(x),y=g(x)的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.单调性[解析] 函数f(x)的单调区间有[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2].,在区间[-2,-1],[0,1]上是减函数.
在区间[-1,0],[1,2]上是增函数.
函数g(x)的单调区间有[-3,-1.5],[-1.5,1.5],[1.5,3].
在区间[-3,-1.5],[1.5,3]上是减函数,在区间[-1.5,1.5]上是增函数.(2)我们已知反比例函数y= 的图象如图,它在区间(-∞,0)和(0,+∞)都是减函数,能否说它在定义域上是减函数?为什么?
[解析] 不能.显然x1=-1,x2=1时,满足x1y2不成立.
3.用单调性定义证明:
(1)f(x)=2x+1在R上为增函数.
(2)f(x)= 在(-∞,0)上为减函数.
并概括用定义证明函数单调性的步骤.
(1)设x1、x2∈R,且x1∴f(x1)本节难点:用定义证明函数的单调性和求函数的单调区间.1.函数的单调性是对某个区间而言的,对于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单调.因此,在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以,写单调区间时,一般写成闭区间.但必须注意,对于在某些点上不连续的函数,单调区间不包括不连续点.
2.若f(x)的定义域为D,A?D,B?D,f(x)在A和B上都单调递减,未必有f(x)在A∪B上单调递减.
[例1] 据下列函数图象,指出函数的单调增区间和单调减区间.[解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(-∞,2],[4,+∞),减区间为[2,4].
由图象(2)知,此函数的增区间为(-∞,-1]、[1,+∞),减区间为[-1,0)、(0,1].
[例2] 求证函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
[分析] 通过对f(x1)-f(x2)符号的判定而得结论.[例3] 已知y=f(x)与y=g(x)在区间A上均为增函数,判断下列函数在区间A上的增减性.
(1)y=-2f(x) (2)y=f(x)+g(x)
[分析] 利用函数单调性的定义判断
[解析] (1)对任意x1,x2∈A,设x1<x2,
∵f(x)为增函数,∴f(x1)-f(x2)<0
∴-2f(x2)-[-2f(x1)]=2f(x1)-2f(x2)
=2[f(x1)-f(x2)]<0
∴-2f(x2)<-2f(x1),∴y=-2f(x)是减函数(2)在区间A内任取两个值x1、x2,设x1<x2,
∵y=f(x),y=g(x)为增函数
∴f(x2)-f(x1)>0 g(x2)-g(x1)>0
∴[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)]
=[f(x2)-f(x1)]+[g(x2)-g(x1)]>0
∴f(x2)+g(x2)>f(x1)+g(x1)
∴y=f(x)+g(x)是增函数[分析] 由定义作差f(x1)-f(x2),通过a的不同取值对差的符号的影响进行讨论.
已知函数f(x)=-x2+(3a-1)x+1-2a在区间(-∞,4]上是增函数,求实数a的取值范围.
[分析] 二次函数的二次项系数小于0,其图象开口向下,因而只要区间(-∞,4]在对称轴的左侧,即可满足题设要求.[点评] 解决此类问题,首先搞清二次项系数的正负,确定开口方向,然后,考虑单调区间应在对称轴左侧还是右侧.*[例5] 画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出函数的单调区间.
[分析] 函数解析式中含有绝对值号,因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式,然后,逐段画图.根据图象指出单调区间.[解析] y=-x2+2|x|+3
函数图象如图所示.
函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数;
函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.
所以函数的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1],单调减区间是[-1,0]和[1,+∞).
画出下列函数的图象,并指出它们的单调区间:
(1)y=|x|-1; (2)y=|x2-1|.
[解析] (1)如图(1),函数的单调减区间是(-∞,0],单调增区间是[0,+∞).
函数的图象如图(2)所示.
函数y=|x2-1|在(-∞,-1],[0,1]上都是减函数,在[-1,0],[1,+∞)上都是增函数.[例6] 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的取值范围是________.
[错解] 函数f(x)图象的对称轴为x=1-a,由于函数在区间(-∞,4]上单调递减,因此1-a≥4,即a≤-3.
[辨析] 函数f(x)在区间A上单调减和函数f(x)的单调减区间是A不同.
[正解] 因为函数的单调递减区间为(-∞,4],所以有1-a=4,即a=-3.[答案] B
[解析] f(x)=(3a-1)x+b为增函数,应满足3a-1>0,即a> ,故选B.2.已知函数f(x)=8+2x-x2,那么下列结论正确的是
(  )
A.f(x)在(-∞,1]上是减函数
B.f(x)在(-∞,1]上是增函数
C.f(x)在[-1,+∞)上是减函数
D.f(x)在[-1,+∞)上是增函数
[答案] B
[解析] 由二次函数f(x)=8+2x-x2=-(x-1)2+9的图象知B对,故选B.3.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的一个递增区间是
(  )
A.(3,8) B.(-7,-2)
C.(-2,-3) D.(0,5)
[答案] B
[解析] 由-2<x+5<3得-7<x<-2,选B.
[点评] y=f(x+5)可看作函数y=f(x)的图象向左平移5个单位得到的.故选B.4.函数f(x)=|x-a|在(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是
(  )
A.a≥2 B.a≥1
C.a<2 D.a<1
[答案] A
[解析] f(x)=|x-a|的图象是以(a,0)为折点的折线,由图知a≥2.6.若函数y=-2x2+mx-3在[-1,+∞)上为减函数,则m的取值范围是________.
[答案] m≤-4