1-3-1-2函数的最值

课件78张PPT。
1．判断正误：
(1)若函数f(x)在区间(a，b)和(c，d)上均为增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(c，d)上也是增函数．
(2)若函数f(x)和g(x)在各自的定义域上均为增函数，则f(x)＋g(x)在它们定义域的交集(非空)上是增函数．
[答案]　(1)×　(2)√
2．填空：
(1)函数y＝|x|的单调增区间为 ．
(2)函数y＝ax＋b(a≠0)的单调区间为 ；函数y＝(a2－1)x为减函数，则a的取值范围是 ．
(3)函数y＝－x2＋bx＋c在(－∞，2]上为增函数，则b的取值范围是 ．[0，＋∞)(－∞，＋∞)(－1,1)[4，＋∞)3．(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在常数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x) M.
②存在x0∈I，使f(x0) M.
那么M是函数y＝f(x)的最大值．
若M是函数y＝f(x)的最小值又如何填写条件？
(2)函数y＝2x－1在[－2,3]上的最小值为 ，最大值为5.≤＝－5
(4)函数y＝x2－2x－3在[－2,0]上的最小值为 ，最大值为 ；在[2,3]上的最小值为 ，最大值为 ；在[－1,2]上的最小值为 ，最大值为 －3－3－4500.
本节重点：应用函数单调性求函数的单调区间，比较函数值的大小，求函数的最值(或值域)．
本节难点：1.二次函数在闭区间上的最值讨论．
2．复合函数的单调区间讨论．1．对于最大值定义的理解：
(1)M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对(2)中“存在”一词的理解；
(2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式；
(3)这两条缺一不可，若只有(1)，M不是最大值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值；否则大于零的任意实数都是最大值了；最大值的核心就是不等式f(x)≤M，故不能只有(2)．(4)若将(1)中的“f(x)≤M”改为“f(x)≥M”，则需将最大值定义中的“最大值”改为“最小值”．这就是函数f(x)的最小值的定义．
2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m，n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)，f(n)．
3．单调性是函数的重要性质，应用它可以解决许多函数问题．如判断函数在给定区间上的单调性；求函数在给定区间上的最大值、最小值；求已知函数的单调区间；利用函数单调性比较两个数的大小等．4．复合函数的单调区间讨论．
(1)单调性定义中x1，x2的三个特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属一个区间．三者缺一不可．(2)由增函数(或减函数)的定义可以得出(以增函数为例)：
这两个结果对于读者深入理解单调函数及其性质是有益的．①可由函数值大小比较自变量的大小．②可由自变量大小得出函数值的大小．5．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得．
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k　(a＞0)在区间[m，n]上最值问题，有以下结论：
①若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}
②若h?[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，ymax＝max{f(m)，f(n)}(a＜0时可仿此讨论)．
[例1]　设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　)
A．f(a)＜f(2a)
B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a)
D．f(a2＋1)＜f(a)
[分析]　由减函数的定义可知，只须比较各组函数值的自变量的大小．∴a2＋1＞a
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴f(a2＋1)＜f(a)成立，故选D. 总结评述：(1)本题为选择题，故还可用排除法解之，如令a＝1，则有f(a)＞f(2a)，f(a2)＝f(a)，可排除A、B，令a＝0可排除C.
(2)此类问题的解法依据是增函数、减函数的定义．即若f(x)在区间I上具有单调性，则欲比较f(x2)与f(x1)的大小，(x1，x2∈I)，则只须比较x1与x2的大小．
因此，比较两个实数大小时，我们可将这两个实数转化为同一函数在同一单调区间上的两个函数值，再利用单调性比较大小．
若函数y＝f(x)在R上单调递增，且有f(a2)>f(－a)，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－1)　　　B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1,0)
[答案]　B　[例2]　画出下列函数的图象，并指出函数的单调区间：[点评]　1.一般地，①含绝对值的函数可以先去掉绝对值号化为分段函数再画图．应注意区分y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的画法不同．2．函数的两个单调增(减)区间一般不能并起来．
先画出下列函数的图象，再求其最大、小值．(2)去绝对值号，化简得
由这个函数的图象(如右图)知，,当x∈[－1,2]时，ymin＝3,当x＝－2或3时，ymax＝5 由这个函数的图象(如下图)知：,当x＝2时，ymin＝－3　当x＝3时，ymax＝－2
应用函数的单调性，可以求函数的值域、解决与值域有关的问题，也可以求函数的最大值与最小值．
　[例3]　(1)求函数y＝ 的最小值．
(2)已知A＝[1，b](b＞1)，对于函数f(x)＝ (x－1)2＋1，若x∈A时，f(x)∈A.求b的值．
[分析]　解决这类问题的关键是判明函数在定义域各区间上的单调性，再利用函数的单调性解决问题．
整理得b2－4b＋3＝0，解得b＝1或b＝3.
∵b＞1，∴b＝3.(2)本题要注意数学符号表达的含义，不妨将问题具体化．“若x∈A时，f(x)∈A”就是“若x∈[1，b]时f(x)∈[1，b]”，这样就降低了题目的难度．
(3)有关二次函数的问题，要特别注意二次函数的对称轴是否在给定的区间上？应该截取二次函数图象的哪一部分？从而解决问题．[答案]　(1)0　(2)[1,2](2)由f(x)＝(x－1)2＋2可知，f(1)＝2，
又f(0)＝3，f(2)＝3，且当x>2时，f(x)>3，
∴1≤a≤2.[例4]　把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是
(　　)
等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域．
*[例5]　(1)设函数f(x)＝x2－2x＋2(其中x∈[t，t＋1]，t∈R)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式；
(2)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[分析]　二次函数在闭区间[m，n]上既有最大值，也有最小值．一种情形是不含参数，可直接由对称轴及开口方向确定在[m，n]上的单调情况而得出结论；
一种情形是轴定区间动，如本例(1)，这时需分闭区间在轴左边、右边和包含轴三种情形讨论；一种情形是轴动区间定，如本例(2)，同样分以上三种情形讨论(轴与区间都含参数的情况我们不作要求)解决这一类问题的方法都是借助图象，结合单调性，考察参数在三种情形下的变化而得出结论．[解析]　(1)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
①当t＋1≤1，即t≤0时，f(x)在[t，t＋1]上单调减，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
②当t≤1＜t＋1，即0＜t≤1时，f(x)在顶点处取最小值，
∴g(t)＝f(1)＝1(见下图)；③当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调增，
∴g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，
(2)f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
①当a＜0时，由下图可知，f(x)在[0,2]上单调增，
∴f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.②当0≤a＜1时，由下图可知，f(x)在[0，a]上单减，在[a,2]上单增，且2－a>a－0，
∴f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.③当1＜a≤2时，由下图可知，f(x)在[0，a]上单减在[a,2]上单增，且2－a∴f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.④当a＞2时，由下图可知，f(x) 在[0,2]上递减，
∴f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
总结评述：(1)从运动的观点来看，令区间[t，t＋1]从左向右沿x轴正方向运动，截取抛物线上的相应部分．共截取三种类型：减函数部分、包含顶点部分，增函数部分．初学这种类型的题目时，要对应三种情况画三个图象，使问题显得直观清晰，随着学习的深入，能力得到提高了，可以只画一个图形就行了．
(2)对于例5(2)
①由于对称轴是x＝a，而a取何值呢？导致了分类讨论．②不是应该分a＜0,0≤a≤2，a＞2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？因为抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，还有可能是f(2)，离对称轴远的较大，开口向下时恰好相反．注意总结，你会发现二次函数的图象开口向上，故顶点处一定不是最大值点，因此若只求最大值时，一定是f(0)或f(2).0与2哪个距离对称轴x＝a远，哪个大，故只须按a≤1与a>1讨论即可．
③习惯上，最大值用符号f(x)max表示，最小值用符号f(x)min表示.(1)求证f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值及最小值．
[分析]　欲证(1)中f(x)为减函数，依定义，对x1＜x2必须证出f(x2)－f(x1)＜0.利用单调性求f(x)在[－3,3]上的最值，而将条件x>0时，f(x)<0转化为x2－x1>0时，f(x2－x1)<0是本题的关键．
[解析]　(1)∵f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0
又f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)
∴f(－x)＝－f(x)
设－∞＜x1＜x2＜＋∞，则
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)
∵x2－x1＞0，据题意有f(x2－x1)＜0
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)
∴y＝f(x)在R上是减函数．[例7]　求下列函数的单调增区间：[点评]　判断函数的单调性的常用方法有：
定义法、图象法和复合函数法．
1．在运用定义法时，若差f(x1)－f(x2)的符号不确定时，要分类(对参数)或分段(对自变量)进行讨论．
2．对于复合函数y＝f(g(x))，x∈D，首先由f(u)的单调区间的分界点，找出对应的x值，然后将区间D，按g(x)的单调分界点和前面求得的x值分段，在每一段上讨论y＝f(g(x))的单调性，进而写出单调区间．
y＝f[g(x)]的单调性，如表(即同增异减)：　解题步骤是：第一步：求出函数y＝f(g(x))的定义域D.
第二步：考察f(u)的单调区间，令g(x)取f(u)单调区间分界点的值，求出对应x的值，连同u＝g(x)的单调区间分界点一起将D分区间．第三步：在每一个区间上，考察g(x)的单调性和u＝g(x)的范围，进而考察f(u)的单调性，然后确定f(g(x))在该区间上的单调性．
第四步：下结论．一、选择题
1．设f(x)为R上的减函数，则f(－2)、 f(－π)、 f(3)的大小顺序是 (　　)
A．f(－π)＞f(3)＞f(－2)
B．f(－π)＞f(－2)＞f(3)
C．f(－π)＜f(3)＜f(－2)
D．f(－π)＜f(－2)＜f(3)
[答案]　B
[解析]　由于f(x)为R上的减函数，且－π＜－2＜3，所以f(－π)＞f(－2)＞f(3)，故选B.[答案]　D[答案]　BA．4 B．3
C．4或3 D．不存在
[答案]　B
[解析]　当x≥1时，y＝2x＋1≥3，
当x<1时，y＝5－x>4，
∴当x＝1时，ymin＝3.
5．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A．a<－1 B．|a|≤1
C．|a|<1 D．a≥1
[答案]　B
[解析]　作出函数y＝|x|与y＝ax的图象如图．
当y＝ax的图象如图中l1与l4位置时，满足|x|≥ax，在图中l2、l3位置时，不满足|x|≥ax，∴|a|≤1.二、填空题
[答案]　[7，＋∞)7．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为________．三、解答题
8．定义在(－1,1)上的函数f(x)是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求实数a的取值范围．