1-3-2-1函数的奇偶性

课件48张PPT。1．3.2　奇 偶 性
1．函数的奇偶性
(1)定义
①奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则这个函数叫做奇函数．
②偶函数：设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则这个函数叫做偶函数．－x∈D，且f(－x)＝－f(x)－x∈D，且g(－x)＝g(x)(2)性质
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数．坐标原点坐标原点y轴y轴(3)判断奇偶性
①f(x)＝|x|；
③f(x)＝x2　(x≥1)；
④f(x)＝|x＋1|－|x－1|.
[答案]　①偶　②既是奇函数，又是偶函数　③非奇非偶　④奇2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：
(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．0 0 奇 本节重点：奇偶函数的概念及图象的对称特征．
本节难点：利用函数奇偶性的概念和图象的对称性，证明或判断函数的奇偶性．对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：
①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y＝f(x)是否具有奇偶性，不仅考察f(x)与f(－x)之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称．
③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)＝0，但f(x)＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．
④奇函数y＝f(x)若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性；偶函数在区间[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性(ab>0)．
⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．
⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f(x)的表达式，观察其特点，然后再进行判断．[例1]　判断下列函数的奇偶性[分析]　利用函数奇偶性定义来判断．

∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)定义域为(－∞，＋∞)，∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(4)定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＝－2x＋1，
∵f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(5)定义域为{1}，
∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．∴f(x)为偶函数．
判断函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)的奇偶性．
[解析]　f(x)的定义域为R，当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
当a＝0时，有f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
[例2]　已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
[分析]　由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．[解析]　∵函数f(x)的图象关于原点对称．
∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0，
设x＜0，则－x＞0，∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，
∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3
于是有：先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象．如下图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]、[1，＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]．
已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
[答案]　－x＋1
[解析]　x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
[例3]　已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？
[分析]　由函数的奇偶性进行转化．
[解析]　设a≤x1＜x2≤b，则－b≤－x2＜－x1≤－a.∵f(x)在[－b，－a]上是增函数．∴f(－x2)＜f(－x1)
又f(x)是偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)
于是　f(x2)＜f(x1)，故f(x)在[a，b]上是减函数．
[点评]　由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的．
(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小结果为______．
(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值．
[答案]　(1)f(－5)∵f(x)在[2,6]上是减函数，
∴f(5)(2)设－6≤x1∵f(x)在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴4＝f(1)≤f(－x2)又∵f(x)为奇函数，∴4≤－f(x2)<－f(x1)≤10，
∴－10≤f(x1)即f(x)在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.
[例4]　已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图(2))在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象．[解析]　(1)根据偶函数图象关于y轴对称的性质，画出函数在y轴左边的图象，如图(1)．
(2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质，画出函数在y轴左边的图象，如图(2)．
(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－4)·f(－2)＝________.
(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为________．[答案]　(1)2　(2)f(3)>f(1)
[解析]　(1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2)，
∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)，
∴f(－4)·f(－2)＝(－2)×(－1)＝2.
(2)∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)，
∴f(3)>f(1)．
[点评]　(1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号“f”内的负号，f(－4)·f(－2)＝－f(4)·[－f(2)]＝f(4)·f(2)＝2×1＝2.
[辨析]　要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性．一、选择题
1．下列函数不具备奇偶性的是 (　　)
[答案]　C2．下列命题中真命题的个数为 (　　)
(1)对f(x)定义域内的任意x，都有f(x)＋f(－x)＝0则f(x)是奇函数
(2)对f(x)的定义域内的任意x，都有f(x)－f(－x)＝0，则f(x)是偶函数
A．1　　 　 B．2　　 　
C．3　　 　 D．4
[答案]　D
[解析]　四个命题都正确，故选D.
3．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是 (　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))
C．(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))
[答案]　D
[解析]　∵－f(a)＝f(－a)，∴点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上，故选D.4．已知y＝f(x)是奇函数，且方程f(x)＝0有六个实根，则方程f(x)＝0的所有实根之和是 (　　)
A．4　　 　 B．2　　 　
C．1　　 　 D．0
[答案]　D
[解析]　奇函数的图象关于原点对称，方程f(x)＝0的六个根，即f(x)图象与x轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称，
∴和为0.5．已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在(－5，－2)上是 (　　)
A．增函数
B．减函数
C．部分为增函数，部分为减函数
D．无法确定增减性
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，
∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，因此f(x)在(－5，－2)上为增函数，故选A.6．偶函数y＝f(x)在区间[－4，－1]是增函数，下列不等式成立的是 (　　)
A．f(－2)[答案]　D二、解答题
7．判断下列函数的奇偶性．[解析]　(1)为偶函数．∵x∈Q时，－x∈Q，
∴f(－x)＝1＝f(x)．
同理，x为无理数时，－x也为无理数．
∴f(－x)＝－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)奇函数．∵f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|
＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)偶函数．∵f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．(4)画出其图象如图，可见f(x)为奇函数．