课件48张PPT。1.3.2 奇 偶 性
1.函数的奇偶性
(1)定义
①奇函数:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于D内的任意一个x,都有 ,则这个函数叫做奇函数.
②偶函数:设函数y=g(x)的定义域为D,如果对于D内的任意一个x,都有 ,则这个函数叫做偶函数.-x∈D,且f(-x)=-f(x)-x∈D,且g(-x)=g(x)(2)性质
如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形,反之,如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 对称,则这个函数是偶函数.坐标原点坐标原点y轴y轴(3)判断奇偶性
①f(x)=|x|;
③f(x)=x2 (x≥1);
④f(x)=|x+1|-|x-1|.
[答案] ①偶 ②既是奇函数,又是偶函数 ③非奇非偶 ④奇2.用定义判断函数奇偶性的步骤是:
(1)求定义域,看定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点不对称,则为非奇非偶函数.0 0 奇 本节重点:奇偶函数的概念及图象的对称特征.
本节难点:利用函数奇偶性的概念和图象的对称性,证明或判断函数的奇偶性.对于函数奇偶性的讨论,学习时应把握下述几点:
①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的.考察一个函数y=f(x)是否具有奇偶性,不仅考察f(x)与f(-x)之间的关系,更应考察函数的定义域是否关于原点对称.
③以函数的奇偶性作为划分标准,可将函数分为四类:偶函数,奇函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)=0,但f(x)=0不一定既是奇函数也是偶函数,须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件.
④奇函数y=f(x)若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0.⑤综合函数的单调性与奇偶性,可得以下常用的两个结论:奇函数在区间[a,b]和[-b,-a]上有相同的单调性;偶函数在区间[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性(ab>0).
⑥有时也用奇偶函数的性质来判断:偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数.奇函数的和、差为奇函数,两个奇函数的积、商为偶函数.
⑦有些判断奇偶性的题目,须先化简f(x)的表达式,观察其特点,然后再进行判断.[例1] 判断下列函数的奇偶性[分析] 利用函数奇偶性定义来判断.
∴f(x)为奇函数.
(2)f(x)定义域为R,且f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),∴f(x)为偶函数.
(3)定义域为(-∞,+∞),∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)为偶函数.(4)定义域为(-∞,+∞),f(-x)=-2x+1,
∵f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),
∴f(x)为非奇非偶函数.
(5)定义域为{1},
∵定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数.∴f(x)为偶函数.
判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.
[解析] f(x)的定义域为R,当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-f(x),
∴f(x)为奇函数,
当a=0时,有f(x)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
[例2] 已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.试求f(x)在R上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它的单调区间.
[分析] 由函数图象关于原点对称可知y=f(x)是奇函数.利用奇函数性质可求得解析式.[解析] ∵函数f(x)的图象关于原点对称.
∴f(x)为奇函数,则f(0)=0,
设x<0,则-x>0,∵x>0时,f(x)=x2-2x+3,
∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3
于是有:先画出函数在y轴右边的图象,再根据对称性画出y轴左边的图象.如下图.
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1]、[1,+∞),单调递减区间是[-1,0)、(0,1].
已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,则x>0时,f(x)=________.
[答案] -x+1
[解析] x>0时,-x<0,∴f(-x)=-x+1,
又∵f(x)为偶函数,∴f(x)=-x+1.
[例3] 已知b>a>0,偶函数y=f(x)在区间[-b,-a]上是增函数,问函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数还是减函数?
[分析] 由函数的奇偶性进行转化.
[解析] 设a≤x1<x2≤b,则-b≤-x2<-x1≤-a.∵f(x)在[-b,-a]上是增函数.∴f(-x2)<f(-x1)
又f(x)是偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
于是 f(x2)<f(x1),故f(x)在[a,b]上是减函数.
[点评] 由函数单调性和奇偶性的定义,可以证明在关于原点对称的两个区间上,偶函数的单调性恰是相反的,奇函数的单调性是相同的.
(1)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在[2,6]上是减函数,比较f(-5)与f(3)的大小结果为______.
(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数,且最大值为10,最小值为4,那么f(x)在[-6,-1]上是增函数还是减函数?求f(x)在[-6,-1]上的最大值和最小值.
[答案] (1)f(-5)∵f(x)在[2,6]上是减函数,
∴f(5)(2)设-6≤x1∵f(x)在[1,6]上是增函数且最大值为10,最小值为4,∴4=f(1)≤f(-x2)又∵f(x)为奇函数,∴4≤-f(x2)<-f(x1)≤10,
∴-10≤f(x1)即f(x)在[-6,-1]上是增函数,且最小值为-10,最大值为-4.
[例4] 已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图(2))在y轴右边的一部分图象,试根据偶函数和奇函数的性质,分别作出它们在y轴左边的图象.[解析] (1)根据偶函数图象关于y轴对称的性质,画出函数在y轴左边的图象,如图(1).
(2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质,画出函数在y轴左边的图象,如图(2).
(1)如图①是奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-4)·f(-2)=________.
(2)如图②是偶函数y=f(x)的部分图象,比较f(1)与f(3)的大小的结果为________.[答案] (1)2 (2)f(3)>f(1)
[解析] (1)∵奇函数的图象关于原点对称,且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2),
∴必过点(-2,-1)和(-4,-2),
∴f(-4)·f(-2)=(-2)×(-1)=2.
(2)∵偶函数f(x)满足f(-3)>f(-1),
∴f(3)>f(1).
[点评] (1)可由奇函数的性质,先去掉函数记号“f”内的负号,f(-4)·f(-2)=-f(4)·[-f(2)]=f(4)·f(2)=2×1=2.
[辨析] 要判断函数的奇偶性,必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称).有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形,以利于判定其奇偶性.一、选择题
1.下列函数不具备奇偶性的是 ( )
[答案] C2.下列命题中真命题的个数为 ( )
(1)对f(x)定义域内的任意x,都有f(x)+f(-x)=0则f(x)是奇函数
(2)对f(x)的定义域内的任意x,都有f(x)-f(-x)=0,则f(x)是偶函数
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 四个命题都正确,故选D.
3.若函数y=f(x)为奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是 ( )
A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(-a))
C.(-a,f(a)) D.(-a,-f(a))
[答案] D
[解析] ∵-f(a)=f(-a),∴点(-a,-f(a))在y=f(x)的图象上,故选D.4.已知y=f(x)是奇函数,且方程f(x)=0有六个实根,则方程f(x)=0的所有实根之和是 ( )
A.4 B.2
C.1 D.0
[答案] D
[解析] 奇函数的图象关于原点对称,方程f(x)=0的六个根,即f(x)图象与x轴的六个交点横坐标,它们分布在原点两侧各三个,且分别关于原点对称,
∴和为0.5.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是 ( )
A.增函数
B.减函数
C.部分为增函数,部分为减函数
D.无法确定增减性
[答案] A
[解析] ∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,
∴m=0,∴f(x)=-x2+3,因此f(x)在(-5,-2)上为增函数,故选A.6.偶函数y=f(x)在区间[-4,-1]是增函数,下列不等式成立的是 ( )
A.f(-2)[答案] D二、解答题
7.判断下列函数的奇偶性.[解析] (1)为偶函数.∵x∈Q时,-x∈Q,
∴f(-x)=1=f(x).
同理,x为无理数时,-x也为无理数.
∴f(-x)=-1=f(x),∴f(x)为偶函数.
(2)奇函数.∵f(-x)=|-2x+1|-|-2x-1|
=|2x-1|-|2x+1|=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(3)偶函数.∵f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),
∴f(x)为偶函数.(4)画出其图象如图,可见f(x)为奇函数.