1-3-2-2函数的性质的应用

课件50张PPT。1．复合函数单调性判定：
[答案]　[0,1]
[解析]　由－x2＋2x≥0得0≤x≤2，
当x∈[0,1]时，u＝－x2＋2x单调增，2．和、差函数的单调性：
两个增函数(或减函数)的和仍为增函数(或减函数)
一个增函数(或减函数)减去一个减函数(或增函数)，结果是一个增(或减)函数．[答案]　23．具有奇偶性的两个函数在同一定义域(或定义域的交集上)上有：
奇＋奇＝奇　　　　　奇×奇＝偶
奇×偶＝奇　　　　　偶×偶＝偶[答案]　－1
本节重点：1.应用单调性比较大小、解不等式及求最值．
2．奇偶函数图象的对称性及奇偶函数的单调性．
本节难点：单调性、奇偶性的综合应用．[分析]　通过分析函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等可以了解函数图象的分布情况和对称性，进而可列表描点、画图．[解析]　此函数的定义域为{x∈R|x≠0}，故其图象在x＝0处断开，即被y轴分为两部分；对任意x≠0，有y>0，故其图象分布在x轴上方；此函数为偶函数，故其图象关于x轴对称，因此只须画出x>0的图象，利用对称性可画出x<0的部分图象；x>0时，f(x)为减函数，x越接近于0，y值越大，其图象越接近于y轴，x越大，y值越小，其图象越靠近x轴．
列出x，y的对应值如表：在直角坐标系中，描点、连成光滑曲线，就得到这个函数的图象，如图．[解析]　定义域[0，＋∞)、值域[0，＋∞)．
因此图象只分布在第一象限内，易知其为增函数，且随着x的增大，增长速度越来越快．列表从略，图象如图．
[例2]　已知f(x)＝x5＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于 (　　)
A．－26　　　　　　　 B．－18
C．－10 D．10
[解析]　令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋bx，则g(x)是奇函数，
∴g(－2)＋g(2)＝0，∴f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0，
∵f(－2)＝10，∴f(2)＝－26，∴选A.[分析]　利用函数的性质再得到一个关于f(x)与g(x)的等式，然后把f(x)，g(x)看作未知量，利用方程的观点求解f(x)，g(x)．
[例3]　若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是
(　　)
A．(－∞，2) B．(－2,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析]　由题意知f(－2)＝f(2)＝0，
当x∈(－2,0)时，f(x)[点评]　可用数形结合法求解．由题意画出示意图如图所示可知选B.*
已知定义在R＋上的函数f(x)是增函数，对任意x1、x2∈R＋都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，又f(4)＝1，求使不等式f(x＋6)＋f(x)>2成立的x的取值范围．
[解析]　由条件知，f(16)＝f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，故不等式f(x＋6)＋f(x)>2，
即f(x＋6)＋f(x)>f(16)
[例4]　对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．
[例5]　已知一个二次函数y＝f(x)满足f(0)＝3，又知当x＝－3或x＝－5时，这个函数的值都为0，求这个二次函数．
[解析]　解法1：设f(x)＝ax2＋bx＋c　(a≠0)，解法2：设f(x)＝ax2＋bx＋c　(a≠0)，
∵f(0)＝3，∴c＝3.
令f(x)＝0，由韦达定理得
[点评]　①已知二次函数的顶点或对称轴可设配方式f(x)＝a(x－h)2＋k.
②已知二次函数图象与x轴两交点(x1,0)，(x2,0)可设分解式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)．
③已知二次函数过三点可设一般式f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)已知函数y＝f(x)为二次函数，且满足f(0)＝－3，f(1)＝0，f(－3)＝0，则这个二次函数的解析式为______．
(2)已知一个二次函数f(x)的图象的顶点是(6，－12)，与x轴的一个交点为(8,0)，则其解析式是______．
[答案]　(1)f(x)＝x2＋2x－3　(2)f(x)＝3x2－36x＋96
[解析]　(1)设f(x)＝a(x－1)(x＋3)，
∵f(0)＝－3，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x－3.
(2)设f(x)＝a(x－6)2－12，
∵过(8,0)点，∴a＝3，∴f(x)＝3x2－36x＋96.
[例6]　设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如右图，则不等式f(x)<0的解集是______．
[答案]　(－2,0)∪(2,5]
[解析]　f(x)为奇函数，故由所给图象可知－2＜x＜0时，f(x)＜0又由图知2＜x≤5时，f(x)＜0，故f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0,2]上是单调减函数，则 (　　)
A．f(0)B．f(－1)C．f(－1)D．f(2)[答案]　A
[解析]　∵f(x－2)在[0,2]上单调递减，
∴f(x)在[－2,0]上单调递减．
∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)在[0,2]上单调递增．
又f(－1)＝f(1)，故应选A.
[例7]　判断下列函数的奇偶性：[解析]　(1)画出函数f(x)的图象，可知f(x)为奇函数．
总结评述：表达式较复杂的函数判断奇偶性，如能化简，应先化简，含绝对值号的常常要先把绝对值号化去；分段函数判断奇偶性常常要利用图象的直观性．利用表达式推证时，要注意自变量的取值范围对应的究竟是哪一段表达式．[例8]　定义在[－1,1]上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x) 为增函数，若f(1＋m)[错解]　∵x≥0时，f(x)为增函数，且f(1＋m)∴0≤1＋m<2m，∴m>1.
又f(x)为偶函数，
∴x≤0时，f(x)为减函数，
∵f(1＋m)2m，
∴m≤－1.
综上知，m的取值范围是(－∞，－1]或(1，＋∞)．
[辨析]　本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用．欲解不等式f(1＋m)则由f(1＋m)又x≥0时，f(x)为增函数，
总结评述：本题利用f(x)为偶函数，将f(x1)1．(09·陕西理)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0，则当n∈N*时，有 (　　)
A．f(－n)B．f(n－1)C．f(n＋1)D．f(n＋1)[答案]　C
[解析]　当x2－x1<0时，则f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递增，
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∵n∈N＋，∴n＋1>n>n－1，
∴f(n＋1)∴f(n＋1)2．y＝(2k＋1)x＋k－1是减函数，则函数y＝kx2＋2x－3k＋1的增区间为________．
3．f(x)＝(ax＋1)(x＋a)为奇函数，则f(2)＝______.
[答案]　2
[解析]　显然x＝0时函数f(x)有意义，
∴f(0)＝a＝0，∴f(x)＝x，∴f(2)＝2.
4．f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝x|x－1|，则当x<0时，f(x)＝________.
[答案]　－x|x＋1|
[解析]　x<0时，－x>0，f(－x)＝－x|－x－1|
＝－x|x＋1|，
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x|x＋1|.5．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______．
[答案]　f(x1)>f(x2)
[解析]　∵x1<0，∴－x1>0，
又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．三、解答题
6．已知函数f(x)＝x2＋2(1－2a)x＋6在(－∞，－1)上为减函数．
(1)求f(2)的取值范围；
(2)比较f(2a－1)与f(0)的大小．
[解析]　(1)二次函数图象的对称轴为x＝2a－1，
∴原函数在(－∞，2a－1]上为减函数，
∴－1≤2a－1，∴a≥0，
而f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a＋14，
∵a≥0，∴f(2)＝14－8a≤14.
(2)∵当x＝2a－1时，函数y＝f(x)取最小值，
∴f(2a－1)≤f(0)．