3.1.1倾斜角与斜率
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课件20张PPT。 在平面直角坐标系中，点用坐标如何表示.
在平面直角坐标系中，直线如何表示呢？
它的位置由哪些条件确定呢？我们知道：平面上的两点可以确定一条直线
过平面直角坐标系内一点P能否确
定直线l 的位置？ 倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取x 轴作为
基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α
叫做直线 l的倾斜角.
下列四个图中，能表示直线的倾斜角的是（ ）B 当直线 l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的
倾斜角为0°.
因此，直线倾斜角的取值为:0°≤α<180°
按倾斜角进行分类，可以将直线与 x 轴所成的角分
为几类？ 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一
个确定的倾斜角。
倾斜角相同能确定一条直线吗？怎样才能
确定一条直线？ 相同的倾斜角
可作无数条相互平
行的直线 知道直线的倾斜
角及直线上的一个定
点可以确定一条直线 思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度
的量？
日常生活中，我们经常用“升高量与前进量
的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度）即：设直线的倾斜程度为k 斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条
直线的斜率.
斜率常用小写字母k表示α= 30° Tα= 45° Tα= 60° Tk = tan45°= 1倾斜角为90°的直线没有斜率 给定两点P1（x1 ，y1）， P2 （x2 ，y2），
x1 1 x2 ，如何由两点的坐标求P1 P2的斜率？设直线P１P２的倾斜角为α当α为锐角时k=tanα=> 0 给定两点P1（x1 ，y1）， P2 （x2 ，y2），
x1 1 x2 ，如何由两点的坐标求P1 P2的斜率？设直线P1P2的倾斜角为α当α为钝角时k=tanα=< 0tanα=
= - tanθtan（180°-θ） 给定两点P1（x1 ，y1）， P2 （x2 ，y2），x 1 x2 ， 当P1 P2的方向如图所示时，求 P1 P2的斜率？直线的斜率公式：
经过两点P1（x1，y1）， P2（x2，y2），( x1 1 x2 )
的直线的斜率公式： 思考：
（1）当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还
成立吗？为什么？
（2）已知直线上两点A（a1，a2），B（b1，b2），
运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A，B两点
坐标的顺序有关吗？
（3）当直线平行与y轴，或与y轴重合时，上述公
式还适用吗？为什么？
成立.因为分子为0，分母不为0.与坐标的顺序无关不适用，因为分母为0 已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），
求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的
倾斜角是锐角还是钝角。 解：直线AB的斜率kAB
直线BC的斜率kBC
直线CA的斜率kCA kAB>0, kCA>0, 所以直线AB，CA的倾斜角均为锐角
kBC<0，所以直线BC的倾斜角为钝角。 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 l1，l2，l3，l4解：设A1（x1，y1）是 l1 上的一点，根据斜率公式有：即x1=y1，设x1=1，则y1=1于是
A1的坐标为（1，1）.
l1是过原点及（1，1）的直线. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 l1，l2，l3，l4解： 设x2=1，则y2= -1，于是A2的
坐标为（1，-1） . 设A2（x2，y2）是 l2上的一点，同理可得出： l3是过原点及
（1，2）的直线；l4是过原点
及（1，-3）的直线 ． 求经过下列两点的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）C（18，8），D（4，-4）解：
所以直线CD的倾斜角是锐角.
所以直线PQ的倾斜角是钝角.kCD =kpq = 已知a，b，c是两两不相等的实数，求经过
下列两点的直线的倾斜角
(1) A ( a , c ) , B ( b , c ) , (2) C ( a , b ) , D ( a , c ) ,
(3) P ( b , b+c ),Q ( a , c+a )解：
所以直线AB的倾斜角为0°；
经过C，D两点的直线垂直于x轴，所以直线CD的倾斜角为90°；
所以直线PQ的倾斜角为45°． 已知直线的斜率为k=2，A（3，5），
B（x，7），C（-1，y）是这条直线上的三
个点，求x和y的值.解：因为A，B，C是同一直线上的三点，这
条直线的斜率为2
所以
解得：x=4，y= -3 .kAB== 2 ,kAC== 2 笛卡儿与解析几何
笛卡儿(1596—1650)，法国数学家、 物理学家、哲学家.笛卡儿的著作，无论 是数学、自然科学，还是哲学，都开创 了这些学科的崭新时代。《几何学》是 他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案. 他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。 他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。在《几何》中，笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，指出：希腊人的几何过于抽象，而且过多的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。他同时看到了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。于是笛卡儿着手解决这个问题，并由此创立了解析几何。所以说笛卡儿是解析几何的创始人。
在平面直角坐标系中，直线如何表示呢？
它的位置由哪些条件确定呢？我们知道：平面上的两点可以确定一条直线
过平面直角坐标系内一点P能否确
定直线l 的位置？ 倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取x 轴作为
基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α
叫做直线 l的倾斜角.
下列四个图中，能表示直线的倾斜角的是（ ）B 当直线 l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的
倾斜角为0°.
因此，直线倾斜角的取值为:0°≤α<180°
按倾斜角进行分类，可以将直线与 x 轴所成的角分
为几类？ 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一
个确定的倾斜角。
倾斜角相同能确定一条直线吗？怎样才能
确定一条直线？ 相同的倾斜角
可作无数条相互平
行的直线 知道直线的倾斜
角及直线上的一个定
点可以确定一条直线 思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度
的量？
日常生活中，我们经常用“升高量与前进量
的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度）即：设直线的倾斜程度为k 斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条
直线的斜率.
斜率常用小写字母k表示α= 30° Tα= 45° Tα= 60° Tk = tan45°= 1倾斜角为90°的直线没有斜率 给定两点P1（x1 ，y1）， P2 （x2 ，y2），
x1 1 x2 ，如何由两点的坐标求P1 P2的斜率？设直线P１P２的倾斜角为α当α为锐角时k=tanα=> 0 给定两点P1（x1 ，y1）， P2 （x2 ，y2），
x1 1 x2 ，如何由两点的坐标求P1 P2的斜率？设直线P1P2的倾斜角为α当α为钝角时k=tanα=< 0tanα=
= - tanθtan（180°-θ） 给定两点P1（x1 ，y1）， P2 （x2 ，y2），x 1 x2 ， 当P1 P2的方向如图所示时，求 P1 P2的斜率？直线的斜率公式：
经过两点P1（x1，y1）， P2（x2，y2），( x1 1 x2 )
的直线的斜率公式： 思考：
（1）当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还
成立吗？为什么？
（2）已知直线上两点A（a1，a2），B（b1，b2），
运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A，B两点
坐标的顺序有关吗？
（3）当直线平行与y轴，或与y轴重合时，上述公
式还适用吗？为什么？
成立.因为分子为0，分母不为0.与坐标的顺序无关不适用，因为分母为0 已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），
求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的
倾斜角是锐角还是钝角。 解：直线AB的斜率kAB
直线BC的斜率kBC
直线CA的斜率kCA kAB>0, kCA>0, 所以直线AB，CA的倾斜角均为锐角
kBC<0，所以直线BC的倾斜角为钝角。 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 l1，l2，l3，l4解：设A1（x1，y1）是 l1 上的一点，根据斜率公式有：即x1=y1，设x1=1，则y1=1于是
A1的坐标为（1，1）.
l1是过原点及（1，1）的直线. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 l1，l2，l3，l4解： 设x2=1，则y2= -1，于是A2的
坐标为（1，-1） . 设A2（x2，y2）是 l2上的一点，同理可得出： l3是过原点及
（1，2）的直线；l4是过原点
及（1，-3）的直线 ． 求经过下列两点的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）C（18，8），D（4，-4）解：
所以直线CD的倾斜角是锐角.
所以直线PQ的倾斜角是钝角.kCD =kpq = 已知a，b，c是两两不相等的实数，求经过
下列两点的直线的倾斜角
(1) A ( a , c ) , B ( b , c ) , (2) C ( a , b ) , D ( a , c ) ,
(3) P ( b , b+c ),Q ( a , c+a )解：
所以直线AB的倾斜角为0°；
经过C，D两点的直线垂直于x轴，所以直线CD的倾斜角为90°；
所以直线PQ的倾斜角为45°． 已知直线的斜率为k=2，A（3，5），
B（x，7），C（-1，y）是这条直线上的三
个点，求x和y的值.解：因为A，B，C是同一直线上的三点，这
条直线的斜率为2
所以
解得：x=4，y= -3 .kAB== 2 ,kAC== 2 笛卡儿与解析几何
笛卡儿(1596—1650)，法国数学家、 物理学家、哲学家.笛卡儿的著作，无论 是数学、自然科学，还是哲学，都开创 了这些学科的崭新时代。《几何学》是 他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案. 他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。 他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。在《几何》中，笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，指出：希腊人的几何过于抽象，而且过多的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。他同时看到了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。于是笛卡儿着手解决这个问题，并由此创立了解析几何。所以说笛卡儿是解析几何的创始人。