福建省仙游县第二中学2022-2023学年高一下学期期中质量检测数学试题（Word版含答案）

仙游县第二中学2022-2023学年高一下学期期中质量检测
数学
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知复数,则( )
A. B. C. D.
2. 函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
3. 已知一个圆锥的底面半径为,母线长为,则其侧面展开得到的扇形的圆心角为( )
A. B.. C. D.
4. 已知向量,,且,则( )
A. B. C. D.
5. 如图所示,中,点是线段的中点,是线段的靠近的四等分点,则( )
A. B.
C. D.
6. 已知,,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7. 下列四个选项,正确的是( )
A. 已知向量,,若“与共线”,则“存在唯一实数使得”
B. 已知,是非零向量,若“与共线”,则“”
C. 在中,为三角形的三个内角,若“”,则“”
D. 设非零向量,,若,则向量与的夹角为锐角
8. 已知函数,函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度,再将所得函数图象保持纵坐标不变,横坐标变为原来的得到.若函数在上恰有个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则以下正确的是( )

B. C. D.
10. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则下列结论正确的是( )

A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
11. 在中,角,,所对的边分别为,,.若,角的角平分线交于点,,,以下结论正确的是( )
A. B. C. D. 的面积为
12. 直角三角形中,是斜边上一点,且满足,点、在过点的直线上,若,,,则下列结论正确的是( )
A. 为常数 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 在中,角的对边分别为，,则__________.
14. 若正方体的顶点都在同一球面上,该球的表面积为,则该正方体的棱长为__________.
15. 已知向量,满足,,且,的夹角为,则__________.
16. 若,则的最大值与最小值的和为__________.
四、解答题（共7小题70分）
17. 已知向量,,.
(1)若点三点共线,求实数满足的关系;
(2)若且为钝角,求实数的取值范围.
18. 在复平面内,若复数对应的点:
(1)在虚轴上, 求实数的取值范围.
(2)在第二象限, 求实数的取值范围.
(3)在的图象上,求实数的取值.
19. 如图,在底半径为,母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱,
(1)求圆锥的表面积和体积.
(2)求圆柱的表面积.

已知为的内角所对的边,向量,,且.
(1)求;
(2)若,的面积为,且,求线段的长.
21. 在中,角,,所对边分别为,,,,.
(1)若,求;
(2)求面积的最大值.
22. 已知函数,(且),为奇函数.
(1)求的值;
(2)当时,求不等式的解集;
(3)若关于的方程有两个不同的解,求实数的取值范围.
答案和解析
第1题：
【答案】A
【解析】,
所以.
故选:A.
第2题：
【答案】D
【解析】由题得函数的最小正周期.故选:D.
第3题：
【答案】B
【解析】由条件知底面周长为,即侧面展开得到的扇形的弧长为,
故,圆心角为.
故选:B
第4题：
【答案】D
【解析】∵,,,,故选:D.
第5题：
【答案】D
【解析】由题意可得:,,,.
∴,
故选:D.
第6题：
【答案】A
【解析】,,
在上的投影向量为.
故选:A.
第7题：
【答案】C
【解析】对于A,若“与共线”,则“存在唯一实数使得”,故A错误;
对于B,,是非零向量,若“与共线”,则“存在唯一非零实数使得”,
则,,故与
不一定相等,故B错误;
对于C,若“”,则,由正弦定理可得 “”,故C正确;
对于D,当非零向量的夹角为时,,故D错误.
故选:C.
第8题：
【答案】C
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,
再将所得函数图象保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,
得到的图象.若函数在上恰有个零点,
则,所以,得.
故的取值范围是.
故选:C.
第9题：
【答案】B,C
【解析】由展开图可得几何体的直观图如下:

所以与为异面直线,与为异面直线,故A、D错误;
由正方体的性质可得(),,
所以四边形为平行四边形,所以,故B、C正确;故选:BC.
第10题：
【答案】C,D
【解析】A选项,圆柱的侧面积为,A选项错误.
B选项,圆锥的母线长为,
圆锥的侧面积为,B选项错误.
C选项,球的表面积为,
所以圆柱的侧面积与球的表面积相等,C选项正确.
D选项,圆柱的体积为,
圆锥的体积为,
球的体积为,
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为,D选项正确.
故选:CD.
第11题：
【答案】A,C,D
【解析】因为,由正弦定理可得,,所以,
因为,所以,即,
因为,由角平分线定理可得,,
设,,则,,
在中,由勾股定理可得,,解得,即,,
因为,所以.故选ACD.

第12题：
【答案】A,B,D
【解析】
对于A:是斜边上一点,且满足,
则,
若,,则,
又由、、三点共线,可得,
所以,故为常数,A选项正确;
对于B:,当且仅当,即时等号成立,
则的最小值为,B选项正确;
对于C:,
当且仅当时等号成立,C选项错误;
对于D:∵,,,
∴,,,
即当,时,的最小值为,D选项正确;
故选:ABD.
第13题：
【答案】
【解析】在中,由余弦定理得,
所以.
故答案为:.
第14题：
【答案】
【解析】如图,

设正方体的棱长为,则其体对角线长为,其外接球的半径为,外接球的表面积,得.故答案为:.
第15题：
【答案】
【解析】因为向量,满足,,且,的夹角为,
所以.
故答案为:.
第16题：
【答案】
【解析】由几何意义可得:复数表示以为圆心的半径为的圆,
则.故答案为:.
第17题：
【答案】见解析
【解析】(1)因为三点共线,即,
,,所以,
即;
(2)因为为钝角,所以且,不共线,
由(1)得:当,且时,,
因为,不共线,所以,
,,
,
解得:,
所以且.
第18题：
【答案】见解析
【解析】复数的实部为,虚部为.
(1)由题意得,解得或;
(2)由题意,得,解得;
(3)由已知得,解得.
第19题：
【答案】见解析
【解析】(1)由题意圆锥的高为,
所以圆锥的表面积为,
体积为.
(2)设圆柱半径为,则,,
所以圆柱的表面积为.
第20题：
【答案】见解析
【解析】(1)因为,所以.
由正弦定理,得,即,
由余弦定理,得.因为,所以.
(2),解得.
因为,所以为的三等分点,,则,
所以,.
第21题：
【答案】见解析
【解析】(1)法一、利用正弦定理和已知可得
,
化简可得:,
又,解之得,
,
法二、由正弦定理及已知可得
,,
又,,即,
两式平方相加可得:,
故:若时,.
(2)由已知可得,化简可得,
即,,
由余弦定理得,
即,
当时,的面积取得最大值.
故的面积最大值为:.
第22题：
【答案】见解析
【解析】(1)∵为奇函数,∴,
即恒成立,∴,解得或,
若时,,定义域不关于原点对称,不符合题意,
当时,,定义域为,关于原点对称,符合题意,
故.
(2),,即,即,解得.
故不等式的解集为.
(3),的定义域为,为增函数,
∵,∴,∴.
经检验不符合方程,
故可化为,
又,可化为,
令,则.
∵关于的方程有两个不同的解,即等价于在有两个不同的解,即等价于与的图象在有两个交点.
∵,当且仅当时等号成立,且在单调递减,在和上单调递增,,
如图,

故当与的图象在有两个交点时,,即.
故实数的取值范围为.