1.2.1(2)任意角的三角函数（二）

(共16张PPT)
任意角的三角函数
　　当α为任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，即sinα=y；
x叫做α的余弦，即cosα=x；
叫做α的正切，即tanα=　(x≠0)．
y
x
y
x
x
O
y
A(1,0)
P(x,y)
α
　　我们再从图形角度认识一下三角函数．
我们也能用线段来表示三角函数
|sinα|=|y|=|MP|
|cosα|=|x|=|OM|
　　我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此，可以用坐标轴的方向来规定线段OM、MP的方向，使他们的取值与P点的坐标联系起来．
　　
　　你能想个办法去掉等式中的绝对值符号，使它们的取值与点P的坐标一致吗？
　　当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x．其中x为P点的横坐标．这样，无论哪一种情况都有
　　当角α的终边不在坐标轴上时，以O为始点、M为终点，规定：
OM=x=cosα．
　　当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y．其中y为P点的纵坐标．这样，无论哪一种情况都有
　　同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M为始点、P为终点，规定：
MP=y=sinα．
　　像OM、MP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（directed line segment）．
你能用有向线段来表示正切吗？
　　例：作出角 的正弦线、余弦线和正切线，并求出它的正弦、余弦和正切的值.
5π
4
M
T
A(1,0)
x
O
y
P(x,y)
5π
4
解：如图，MP为正弦线，
OM为余弦线，
TA为正切线．
5π
4
sin　 =-
√2
2
5π
4
cos　 =-
√2
2
5π
4
tan　 =1
A(1,0)
x
O
y
P(x,y)
2π
3
-
　　1．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并求出它们的正弦、余弦和正切的值.
2π
3
-
（1）
13π
6
-
（2）
M
T
　　解：（1）如图，MP为正弦线， OM为余弦线， TA为正切线．
2π
3
-
sin　 =-
√3
2
2π
3
-
cos　 =-
1
2
2π
3
-
tan　 =-√3
　　1．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并求出它们的正弦、余弦和正切的值.
2π
3
-
（1）
13π
6
-
（2）
　　（2）如图，MP为正弦线， OM为余弦线， TA为正切线．
M
T
A(1,0)
x
O
y
P(x,y)
sin 　 =-
13π
6
-
1
2
√3
2
cos 　 =
13π
6
-
√3
3
tan 　 =-
13π
6
-
②
　　2．设MP和OM分别是角 的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
17π
18
① MP＜OM＜0；
② OM＜0＜MP；
③ OM＜MP＜0；
④ MP＜0＜OM．
其中正确的是________．
x
O
y
P(x,y)
M
17π
18
A(1,0)
　　证明：由图可知：sinα=MP，cosα=OM，OP=1．
　　又由三角形的任意两边之和大于第三边知：
MP+OM>OP，
3．当0＜α＜　 时，证明: sinα+cosα＞1．
π
2
所以 sinα+cosα＞1．
x
O
y
P
M
A(1,0)
α
求证：当α为锐角时，sinα＜α＜tanα．
　　分析：sinα，tanα都是三角比值，是实数，而当α用弧度制表示时，它的弧度数也是一个实数，因此这三个实数可比较大小．另外，可把这三个实数转化为线的大小、面积的大小来比较.
　　证明：如图，作单位圆，当０＜α＜　时作出正弦线MP和正切线AT，连接PA．
π
2
x
O
y
P
M
A(1,0)
α
T
x
O
y
P
M
A(1,0)
α
T
∴ |OA|=1，|AP|=|OA|·α=α，OM=sinα，AT=tanα
⌒
∵ S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAT
∴ |OA|×|MP|＜ |OA|×|AP|＜ |OA|×|AT|
1
2
1
2
1
2
⌒
∴ |MP|＜|AP|＜|AT|
⌒
∴　sinα＜α＜tanα．