第一章集合与长勇逻辑用语单元练习（含解析）

第一章集合与长勇逻辑用语单元练习
单选题
1. 若、是全集的真子集，则下列四个命题：；是的必要不充分条件，其中与命题等价的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 若、是全集的真子集，则下列四个命题：；是的必要不充分条件其中与命题等价的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 若、是全集的真子集，则下列四个命题：；，是的必要不充分条件其中与命题等价的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 若、是全集的真子集，则下列四个命题：；；；中与命题等价的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 若、是全集的真子集，则下列五个命题：；； ；是的必要不充分条件其中与命题等价的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 若、是全集的真子集，则下列五个命题：；； ；是的必要不充分条件其中与命题等价的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 下列表示正确的个数是( )
若，则
A. B. C. D.
8. 下列各式中，正确的个数是：( )
．
A. B. C. D.
9. 有下列关系式：；；；；；其中不正确的是( )
A. B. C. D.
10. 下列表示正确的个数是( )
若，则
A. B. C. D.
二、填空题
11. 已知集合，，若，则实数值集合为 ．
12. 已知集合，，若，则实数值集合为 ．
13. 给出下列命题：；；；
，则；“”的充分条件是“”
其中正确命题的序号是 ．
14. 若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合上的一个拓扑．已知函数，其中表示不大于的最大整数，当，时，函数值域为集合，则集合上的含有个元素的拓扑的个数为 ．
三、解答题
15.
已知集合，，求
已知集合，，是否存在实数，使得若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由．
16.
已知集合，．
求；
若，且，求实数的取值范围．
17.
已知集合，．
求；
若，且，求实数的取值范围．
18.
已知集合，集合．
当时，求
若 ，求实数的取值范围．
在“”是“”的必要不充分条件，这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，并解答．
19.
已知集合，集合．
当时，求；
设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了图的应用，属于基础题．
直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．
【解答】
解：由得图，
，与、是全集的真子集矛盾，不可能存在
是的必要不充分条件
故和命题等价的有共个，
故选：
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了图的应用，属于基础题．
直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．
【解答】
解：由得图，
，与、是全集的真子集矛盾，不可能存在
是的必要不充分条件
故和命题等价的有共个，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了图的应用，属于中档题．
根据集合的交集、并集、补集的定义结合图判断集合间的关系，从而求出结论．
【解答】
解：由得图，
，与、是全集的真子集矛盾，不可能存在
是的必要不充分条件
故和命题等价的有共个，
故选：
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了集合的运算性质、集合之间的关系，属于中档题．
利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．
【解答】
解：由得图，
但不一定能得出，
故与不等价
故和命题等价的有，
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，属于基础题．
根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．
【解答】
解：
，与、是全集的真子集矛盾，不可能存在
是的必要不充分条件
故和命题等价的有共个，
故选：
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，属于基础题．
根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．
【解答】
解：
，与、是全集的真子集矛盾，不可能存在
是的必要不充分条件
故和命题等价的有共个，
故选：
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查元素与集合的关系，集合间的基本关系，集合的基本运算属于中档题．
根据相关概念逐项判断即可．
【解答】
解：空集里没有元素，故元素不属于空集，故正确；
空集是任何一个集合的子集，故正确；
左边集合为点集，右边集合为数集，故错误；
若，即的所有元素都属于，所以，故正确．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查元素与集合、集合与集合之间的基本关系，特别要注意空集这一概念在题中的特殊性，属于基础题．
根据集合中的相关概念，对每个命题进行一一判断．
【解答】
解：对，元素与集合之间用符号，故正确；
对，任何集合都是本身的子集，故正确；
对，空集是任何集合的子集，故正确；
对，空集是不含任何元素的集合，而是含有个元素的集合，故不正确；
对，集合是数集，含有个元素，集合是点集，只含个元素，故不正确．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查元素与集合，集合与集合之间的关系，空集和集合的关系，属于基础题．
根据集合元素的无序性判断；根据子集的定义判断；根据集合及空集的定义判断；利用元素与集合的关系判断．
【解答】
对：因为集合元素具有无序性，显然正确；
对：因为集合，故正确，即正确；
对：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确；
对：是一个集合，仅有一个元素，但是空集不含任何元素，于是，故不正确；
对：由可知，非空，于是有，因此正确；
对：显然成立，因此正确．
综上，本题不正确的有，于是本题选项为．
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查元素与集合的关系，集合间的基本关系，集合的基本运算．
根据相关概念逐项判断即可．
【解答】
解：空集里没有元素，故元素不属于空集，故正确；
空集是任何一个集合的子集，故正确；
左边集合为点集，右边集合为数集，故错误；
若，即的所有元素都属于，所以，故正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空集的概念，集合关系中的参数取值问题，交集及其运算，属于基础题．
先根据题意得出，则根据的子集从而讨论的情况，每种情况都讨论的取值，进而求出答案．
【解答】
解：因为，故；
则的子集有，
当时，显然有；
当时，
当，
当，不存在，
所以实数的集合为；
故答案为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合中元素的性质，空集的概念，集合关系中的参数取值问题，交集及其运算，属于中档题．
先根据题意得出，则根据的子集从而讨论的情况，每种情况都讨论的取值，进而求出答案．
【解答】
解：因为，故；
则的子集有，
当时，显然有；
当时，
当时，
当时，不存在，
所以实数值集合为；
故答案为：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了元素与集合间的关系、集合与集合间的关系及充分条件的定义，属于基础题．
由元素与集合之间的关系判断
由集合间的关系判断
由充分条件的定义判断．
【解答】
对于，由元素与集合之间的关系可知，故正确
对于，因为集合表示全体数集，而是一个有序数对，所以，故错误
对于，故正确
对于，由可得，所以，故正确
对于，由可推出，故是的充分条件，故正确．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的关系，元素个数的判断，考查推理与证明，注意拓扑知识的应用，难度比较大．
根据集合上的拓扑的集合的定义，判断的值，利用元素与集合的关系判断满足题意的集合上的含有个元素的拓扑的个数．
【解答】
解：函数，其中表示不大于的最大整数，当，时，函数值域为集合，依题意，，故，
当时，则，，
当时，显然，
当时，，，
当时，，
，
中含有个元素，其中两个元素和，
其它两个元素为，，则
由对称性，不妨设，其中、表示集合中元素的个数，
，又，或，
若，则只能等于，若，则，则，矛盾
则必有，
的个数的个数种，
即或或
若此时满足，
且且，，
的选择共有种，则的个数有种，
的个数种，
这种是，，，，，．
综上可知的个数为个．
故答案为：．
15.【答案】解：联立方程，解得，所以；
由可得，
当即时，此时，集合中的元素不满足互异性，
当即或时，显然当时，集合和中的元素满足互异性，
故．
【解析】本题考查交集的定义，考查并集的定义，考查子集的定义，考查集合中元素的互异性，属于常考题．
联立方程，求出交点坐标，写出交集即可；
由可得，从而建立关于的方程，进而求出的值，最后验证集合中元素的互异性即可．
16.【答案】解：由，得，所以，
所以，
由，得，
所以
由，得，
所以，解得
即
所以实数的取值范围．
【解析】本题考查交集，并集，补集运算，及并集和补集的混合运算，考查子集概念，考查集合关系中的参数范围问题，属于基础题．
选求出，再进行与的并集运算即可
依条件，是的子集，由此即可得出的范围．
17.【答案】解：由，得，所以，
所以，
由，得，
所以
由，得，
所以，解得
即
所以实数的取值范围．
【解析】本题考查交集，并集，补集运算，及并集和补集的混合运算，考查子集概念，考查集合关系中的参数范围问题，属于基础题．
选求出，再进行与的并集运算即可
依条件，是的子集，由此即可得出的范围．
18.【答案】解：当时，，，
若选择，，则，
，，又，
，解得：，实数的取值范围是．
若选择，“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集，
，，又，
或，解得：或，
，实数的取值范围是．
若选择，，
，，又，
或，
解得：或，实数的取值范围是
【解析】本题考查了全集与空集，子集与真子集，集合关系中的参数取值问题，交集与并集的运算，属于中档题．
当时，求出集合，求出集合，再利用集合的并集运算得结论；
若选择，，则，利用集合关系中的参数取值问题，计算得结论；
若选择，“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集，利用集合关系中的参数取值问题，计算得结论；
若选择，，利用集合关系中的参数取值问题，计算得结论．
19.【答案】解：当时，，
集合，
所以，．
因为，所以，，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，
所以
解得：．
【解析】本题考查交集、并集运算，利用集合观点研究必要不充分条件，属于中档题．
当时，求出集合，，再根据交集和并集的定义解答即可；
由“”是“”的必要不充分条件得是的真子集，借助数轴得，解得．
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