人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数检测（含答案）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数检测
一、单选题
1. 设，则，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
2. 若 ，则等于( )
A. B. C. D.
3. 三个数的大小关系是( )
A. B.
C. D.
4. 已知，，，，则( )
A. B. C. D.
5. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数其中且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下不含所需的训练迭代轮数至少为参考数据：( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
9. 已知实数，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数其中且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11. 已知，方程与的根分别为，，若，则的取值范围为 ．
12. 分别是关于的方程和的根，则 ．
13. 已知函数，，的零点依次为，则的大小关系是 ．
14. 已知函数 若，则不等式的解集为 ；若恰有两个零点，则实数的取值范围为 ．
15. 已知，若，则 ；若，则 ．
三、解答题
16.
化简求值：；
解关于的不等式：．
17.
计算： ；
解方程：；
解不等式：．
18.
据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．
求两年后这种珍稀鸟类的大约个数
写出珍稀鸟类的个数关于经过的年数的函数关系式
约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上结果为整数参考数据：，
19.
习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”目前我国一些高耗能低效产业煤炭、钢铁、有色金属、炼化等的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务十九大后，某行业计划从年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为．
设年后年记为第年年产能为年的倍，请用表示
若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过的？
参考数据：，．
20.
已知且满足不等式．
求实数的取值范围．
求不等式的解集．
若函数在区间上有最小值为，求实数值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数的运算及性质、指数运算及性质，大小比较，属于基础题．
利用指数运算及性质得到利用对数运算及性质得到，由此得出结论．
【解答】
解：利用指数运算及性质得到
利用对数运算及性质得到，
所以．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数方程的解法，属于基础题．
通过对数的运算性质得到，由此即可得到的值．
【解答】
解：因为 ，所以，
所以，则．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了根据基本初等函数的性质比较大小，属于基础题．
首先判断三个数和的大小关系，然后再取中间值即可得解．
【解答】
解：易得，
又，
所以，
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了指、对、幂的运算，指数、对数函数的单调性等，属于基础题．
根据指数函数和对数函数性质比较大小即可．
【解答】
解：，
，
而，，
，
所以．
故选D
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点，注意函数零点的定义，属于基础题．
根据题意，对于，由零点的定义可得，解可得的值，对于、，可变形，利用指数函数性质，据此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于，，其零点为，则有，解可得，
对于，其零点为，则有，
对于，其零点为，则有，变形可得，结合
指数函数的性质可得，
则有，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数图象恒过定点问题，对数运算，属于中档题．
先对数函数的性质得到定点，再将该定点的坐标代入函数求出，最后即可求出相应的函数值．
【解答】
解：函数的图象恒过定点，
将点坐标代入得：，
，
，
则
．
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数模型的应用，考查对数不等式，考查对数运算，属于中档题．
由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．
【解答】
解：由题设，，则，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为次．
故选：

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对数函数与指数函数，属于基础题，
由对数函数的单调性可判断，从而可得出答案．
【解答】
解：，
，
，
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数函数的性质的运用和计算能力．学会利用中间值比较大小是关键．属于基础题．
利用对数函数的性质和借用中间值进行比较可得答案．
【解答】
解：由题意可得，
所以，
故选A．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数与指数幂的运算、对数与对数运算，属于基础题．
先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数式中求出，最后即可求出相应的函数值．
【解答】
解：函数的图象恒过定点，
将，代入得：，
，
，
则．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了方程的根与图象交点的关系，涉及反函数的性质，属于中档题．
把方程根问题转化为图象交点问题，而与图象关于直线对称，则两根之间满足，即可求解．
【解答】
解：方程的根，即与图象交点的横坐标，
方程的根，即与图象交点的坐标，
而与的图象关于直线轴对称，
如图所示：
与交点为，
，
，
又，
，
故答案为 ．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反函数，指数函数及其性质，对数函数及其性质和函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
利用函数的零点与方程根的关系把条件转化为分别是函数和的图象与直线的交点的横坐标，从而得点是直线与函数图象的交点，点是直线与函数图象的交点，再利用函数和的图象的关系和直线与直线垂直得点与点重合，最后计算得结论．
【解答】
解：因为分别是关于的方程和的根，
所以分别是函数和的图象与直线的交点的横坐标，
因此点是直线与函数图象的交点，
点是直线与函数图象的交点．
又因为函数和的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，
所以点与点重合，
因此，解得．
故答案为： ．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性，判断函数零点所在区间，是基础题．
根据函数解析式判断出，，都是单调递增函数，运用函数零点判定定理判断，，的范围即可得，，的大小．
【解答】
解：由于函数，，均是定义域上的单调增函数，
，，
故的零点
，
，所以
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分段函数不等式的解法，函数的零点与方程的根的关系，涉及利用导数研究函数的零点问题．
当时，不等式可转化为或，解不等式即可求解；
分，和分别讨论的零点个数即可求解；
【解答】
解：当时，
则不等式可转化为或
解得或，
所以，则不等式的解集为；
由题意可知的零点个数可转为与的零点个数之和，
当时，没有零点，没有零点，
此时没有零点；
当时，没有零点，有且仅有一个零点，
此时只有一个零点；
当时，没有零点，
由，显然不是的根，
可得，令，
则，
易知在上单调递减，在单调递增，
；
此时要有两个零点则必有；
综上所述若恰有两个零点，则的取值范围为．
故答案为：；．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指对数的互化，指数与对数的运算，属基础题．
当时，利用指数幂的运算可得的值；根据已知可得，利用对数的运算法则求解．
【解答】
解：若，则；
可知，
所以，
若，则，
所以，
则．
故答案为；．
16.【答案】解：原式
；
原不等式可化为，
解得，
解得，
所以原不等式的解集是
【解析】本题考查指数与指数幂的运算、对数不等式的求解以及对数函数的性质，属于基础题．
直接利用指数幂的运算性质化简即可；
不等式化简为，解得，利用对数函数的性质，即可求出结果．
17.【答案】解：原式．
令，则原方程化为：，解得或，
则或，所以原方程的解集为．
由题意可得：，则．
所以，原不等式的解集为．
【解析】本题考查了指数幂及对数与对数运算考查了对数函数的性质和不等式求解考查了换元法和指数与对数运算属于基础题．
利用对数及指数幂的运算计算得结论．
利用换元法，结合指数与对数的互化运算，解方程得结论．
利用对数函数的单调性，解不等式得结论．
18.【答案】解：依题意，得一年后这种鸟类的个数为，两年后这种鸟类的个数为．
由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加，则所求的函数关系式为，
令，得，两边取常用对数得 ，即，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
故约经过年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上．
【解析】本题主要考查了利用指数函数模型解决实际问题，考查学生利用数学知识分析和解决问题的能力，属于中档题．
根据题意求出一年后的只数，再求出两年后的只数即可
根据珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加，列出函数关系即可；
由题意得到不等式，化简得到，利用对数运算的性质，化简即可求解
19.【答案】解：依题意得：，
，即．
设年后年产能不超过年的，则，
即，
即，
即，
，即．
，且，
的最小值为．
答：至少要到年才能使年产能不超过年的．
【解析】本题考查利用指数函数解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
依题意得：，解得即可，
设年后年产能不超过年的，则，解得，即可求出答案．
20.【答案】解：，
，即，
，
又，
．
由知，
．
等价于
即，
，
即不等式的解集为
，
函数在区间上为减函数，
当时，有最小值为，
即，
，
解得或舍去，
所以．
【解析】本题指数函数和对数函数的性质，考查了计算能力，属于中档题．
根据指数函数的单调性可得，结合即可求实数的取值范围；
根据对数函数的单调性可列出不等式组，求解即可；
根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出的值．
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