高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第3章函数概念与性质检测（含答案）

高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第3章函数概念与性质检测
一、单选题
1. 若函数，则的值域为( )
A. B. C. D.
2. 关于函数，下列说法错误的是 ( )
A. 的图像关于轴对称
B. 在上单调递增，在上单调递减
C. 的值域为
D. 不等式的解集为
3. 函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数，则下列说法正确的是
A. 函数为奇函数
B. 函数的值域为
C. 当时，函数的图象关于直线对称
D. 函数的增区间为，减区间为
5. 关于函数，下列说法错误的是( )
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数在上单调递减，在上单调递增
D. 函数是偶函数
6. 已知函数，下列关于的性质，推断正确的有
函数的定义域为 函数是偶函数 函数与的值域相同
在上递增 在上有最大值
A. B. C. D.
7. 幂函数的图象经过点，则函数是( )
A. 偶函数，且在上是增函数
B. 偶函数，且在上是减函数
C. 奇函数，且在上是减函数
D. 非奇非偶函数，且在上是增函数
8. 函数，则下列命题正确的是．( )
A. 函数是偶函数 B. 函数最小值是
C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的图象关于直线对称
9. 下列各组函数中，表示同一函数的是．( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
10. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
11. 已知函数，为偶函数，且当时，记给出下列关于函数的说法：当时，；函数为奇函数；函数在上为增函数；函数的最小值为，无最大值．其中正确的是 ．
12. 已知函数，为偶函数，且当时，，记╔╔\max \left\{a,b\right\} = \ begin{cases}a,a \geqslant b,\\b,a ．
13. 已知则 ，的最小值为
14. 设函数，，若对任意的，存在使得，则实数的取值范围为 若对任意的，存在使得，则实数的取值范围为 ．
15. 已知定义在上的函数，
当时，的最小值为 ；若的最小值为，则 ．
三、解答题
16.
如图，已知中，，点从点沿直线运动到点，过做的垂线，记直线左侧部分的多边形为，设，的面积为，的周长为．
求和的解析式；
记，求的最大值．
17.
已知幂函数，满足．
求函数的解析式．
若函数，是否存在实数使得的最小值为？
若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
18.
已知幂函数在上单调递减，且．
求函数的解析式；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
若函数在上的最小值为，求实数的值．
19.
已知函数．
解不等式；
若函数在上有零点，求的取值范围；
若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
20.
已知是定义在上的奇函数，且当时，
求函数的解析式；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.
函数．
根据不同取值，讨论函数的奇偶性；
若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
若已知，设函数，，存在、，使得，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性、分段函数的值域以及复合函数，属于中档题．
先根据函数在对应区间上的单调性得出第一段上的范围，再利用二次函数在闭区间上的值域以及复合函数的方法得出第二段上的范围，最后求这两个范围的并集即得．
【解答】
解：当时，函数单调递增，
且当时，，，所以此时；
当时，令，该二次函数的对称轴是：，开口向下，
因为，所以，，
所以，故，
所以分段函数的值域为：，即为
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性，值域，复合函数的单调性，属于中档题．
由函数奇偶性可判断，根据复数函数性质判断，，根据函数奇偶性与单调性即可判断．
【解答】
解：由题意可知，函数定义域为，且，即函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
令，易知函数在单调递增，在上单调递增，在上单调递减，由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，
故B正确；
又的值域为，则函数的值域为，故 C正确；
，若，则，故D错误．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用对勾函数求值域，属于基础题．
由题可知，由对勾函数性质得出其单调性及最值，即可得出值域．
【解答】
解：依题意，，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有最小值，因为，
故所求值域为，
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性与单调性，考查函数值域，函数对称性，属中档题．
依题意，根据奇偶性定义可判断为偶函数，A错误，不妨设，此时，，
结合基本不等式可判定，计算，判断，由函数的增区间为，减区间为，根据复合函数单调性可判断．
【解答】
解： 由，
可知函数为偶函数；
不妨设，此时，
由当且仅当时取“”，
由，可得，可知函数的值域为；
由，，
可知当时，函数的图象不关于直线对称；由函数的增区间为，减区间为，
可知函数的增区间为，减区间为．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的定义域、值域，单调性和奇偶性，属于基础题．
根据函数的解析式求出函数的定义域和值域，最后结合函数的单调性和奇偶性的定义判断并证明函数的单调性和奇偶性．
【解答】
解：，由得到；
定义域为，关于原点对称，故A正确；
且对定义域内的任意的，都有成立，
所以为偶函数故D正确；
由得到，
故函数的值域为；故B正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，
证明如下：对任意的，且，
则，
故，
即，故在上单调递增；
又为偶函数，图像关于轴对称，故在上单调递减，
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的定义域与值域，函数的单调性以及函数的奇偶性等知识点．
根据解析式求得定义域，利用基本不等式可求得的最值．
【解答】
解：函数，定义域是，故正确；
，故函数为奇函数，不正确；
当时，，
当时，，
令，
由对勾函数的性质可知：的值域为
的值域是，
令，则，同上得值域为，故正确；
在上单调递减，则在上单调递增，故正确；
由基本不等式当时，，故 错误；
综上，正确．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了幂函数，函数的解析式，奇偶性和单调性，属于基础题．
设幂函数的解析式为：为实数，将代入解析式解得，即可得解．
【解答】
解：设幂函数的解析式为：为实数，
将代入解析式得：，解得，
所以，
显然是非奇非偶函数，且在上是增函数．
故本题选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数以及函数的奇偶性、单调性、最值和对称性，属于基础题．
画出函数的图象逐个判断即可．
【解答】
解：函数
画出函数的图象如图所示，
可知函数是非奇非偶函数，故A错误；
函数最小值是，故B正确；
函数的单调递增区间是，，故C错误；
，，，所以函数不关于对称，故D错误．
故本题选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同一函数概念，属于基础题．
根据函数的定义域，解析式是否相同逐个检验即可．
【解答】
解：对于选项 A的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数， A错误
对于选项B；的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数， B错误
对于选项C定义域为，定义域， 定义域不同，不是同一函数， C错误
对于选项D ，两个函数的定义域都是不等于的实数，定义域和解析式都相同，是同一函数，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
根据常见幂函数知识，不难得到是非奇非偶函数，是奇函数，是偶函数，在上单调递减，画出选项函数的图像，即可求解．
【解答】
解：、不是偶函数，排除、；
在上为减函数，排除．
画出分段函数的图像可得D正确．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象与性质，考查函数的单调性和奇偶性以及函数最值，考查分段函数解析式的求法，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于较难题．
根据题意得到，画出大致图象，数形结合即可得出答案．
【解答】
解：当时，，，
又因为为偶函数，所以当时，，
因此，
画出的大致图象，
由图象可得：当时，，，故正确；
由图象可得：函数不为奇函数，故错误；
由图象知函数在上是增函数，因此函数在上为增函数，故正确；
由图象易知函数的最小值为，无最大值，故错误．
其中正确的是．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象与性质，考查函数的单调性和奇偶性以及函数最值，考查分段函数解析式的求法，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于较难题．
根据题意得到，画出大致图象，数形结合即可得出答案．
【解答】
解：当时，，，
又因为为偶函数，所以当时，，
因此，
画出的大致图象，
由图象可得：当时，，，故正确；
由图象可得：函数不为奇函数，故错误；
由图象知函数在上是增函数，因此函数在上为增函数，故正确；
由图象易知函数的最小值为，无最大值，故错误．
其中正确的是．
故答案为：．
13.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和函数的单调性，属中档题．
由分段函数的特点易得的值；由二次函数和对勾函数的单调性即可得到答案．
【解答】
解： 因为，
所以；
由题易知，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最小值为，
故答案为；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数定义域与值域、函数的单调性与单调区间，函数的最值问题以及集合关系中的参数取值问题 ，属于较难题．
由题意，分析得知要使得对任意的，存在使得，则在上的最小值，利用单调性可求解的取值范围；要使得对任意的，存在使得，得到在上值域是在上值域的子集，利用单调性与集合的包含关系可求出的取值范围．
【解答】
解：由题意，要使得对任意的，存在使得，则在上的最小值是在上的最小值，下面求出函数在上的最小值，
因为，
利用函数图像性质可知在上单调递增，
于是在处取得最小值，即，
因为，注意到，则在上单调递增，
于是在处取得最小值，即，
故，即得；
由上述分析可知，在处取得最大值，即，
于是当时，，
在处取得最大值，即，
于是当时，，
要使得对任意的，存在使得，
根据与的连续性可知成立，
，解得．
故答案为；．
15.【答案】
或
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的最值，二次函数的最值，由函数的最值求参，属于拔高题．
写出函数解析式，分别求出函数在和上的最小值，即可得到的最小值；
分，和三种情况，考虑的单调性，通过最值列出关于的方程，求解即可．
【解答】
解：当时，
当时，单调递增，，
在时，，
，
所以，当时，的最小值为；
当时，令，对称轴，
当时，令，对称轴，
若，即时，，不符合题意；
若，即时，，不符合题意；
若，即时，，，
由的最小值为得，
解得，不符合题意；
，解得或，满足题意；
综上，或．
故答案为；或．

16.【答案】解：作的高，，，，
，，，设垂线段长为，
当，，，
，
，
当，，，
，
，
综上可得，
；
当时，，当时取最大值为；
当时，
，
令，，则，
则，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
，
．
综上可知最大值为．
【解析】本题考查了求函数的解析式，已知函数求最值，函数的单调性，属于较难题．
根据图象分和两种情况分别求出和；
求出，分两种情况，利用对勾函数求出最大值即可．
17.【答案】解：是幂函数，
得，解得：或
当时，，不满足．
当时，，满足．
故得，函数的解析式为；
由函数，即，
令，
，
，
记，，
其对称轴在，
当，即时，
则，
解得：；
当时，即，
则，
解得：，不满足，舍去；
当时，即时，
则，
解得：，不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为；
由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数，，使函数在上的值域为，
则
可得：
．
且，
，
将代入得，，
令，
，，
即，
，
，即，
，
得：．
故得实数的取值范围．
【解析】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题．
根据幂函数是幂函数，可得，求解，可得解析式；
由函数，，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得的值；
由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，化简为一元二次函数求解的取值范围．
18.【答案】 解：设，则，，，，即
当时，在上单调递增，不满足题意，舍去； 当时，在上单调递减，满足题意．
函数的解析式为．
函数为奇函数．理由如下： 由，知，其定义域是，关于原点对称．
又，函数是奇函数．
由，得，
函数的图象的对称轴为直线
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得， 不满足；
当，即时，在上单调递增，，即，满足，；
当，即时，在上单调递减，，即，不满足．
综上所述，．
【解析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值的应用问题，是中档题．
用待定系数法求得幂函数的解析式；
根据奇偶性的定义判断函数是定义域上的奇函数；
求出函数的解析式，讨论的取值范围，利用在区间上的最小值求出的值．
19.【答案】解：设，，
原不等式可化为，
整理可得，解得，
即，解得，
所以不等式的解集为．
设，由可得，
则在上有零点，
等价于在上有解，
也即在上有解，
令，
由二次函数的知识可得，
当时，，当时，，
故函数的值域为，
故的取值范围为
由题意可得，
即
解得，
因为不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
又时，令，，
，
因为在上单调递增，
故当时，有最大值，
所以
即实数的取值范围为．
【解析】 本题考查函数的性质和恒成立问题以及不等式的解法的综合应用，属于较难题．
设，原不等式可化为，解一元二次不等式可得不等式的解集；
设，可得，由二次函数的知识可得函数的值域，可得的取值范围；
问题可化为对任意恒成立，令，，进一步可得，由的单调性可得最值，可得的范围．
20.【答案】解：当时，，由已知，
又是奇函数，，
故，
当时，，
故
由，可得．
是奇函数，．
又是减函数，所以对恒成立．
令，则，
对恒成立．
方法一：令， ，
，解得．
实数的取值范围为．
方法二分离参数法对恒成立．
记，函数在区间上单调递减，
所以 ，
实数的取值范围为．
【解析】本题考查函数的奇偶性及函数解析式的求解，同时考查不等式恒成立问题及二次函数，属于拔高题．
当时，，再由，求解当时，，故可得答案；
由已知可得可得恒成立．令，，则，得对恒成立．
方法一：利用二次函数性质可得，解出即可；
方法二：分离参数可得对恒成立，记，由函数的单调性即可求出答案．
21.【答案】解：函数的定义域为，关于原点对称，
当时，，，
此时，函数为奇函数；
当时，，，，则，，
此时，函数为非奇非偶函数；
当时，则有恒成立，此时；
当时，由，即，
即，，，则，
所以，不等式对任意的恒成立，
由，即，，
即，
函数在区间上单调递增，，
函数在区间上单调递减，则，，
因此，实数的取值范围是；
由题意知，当时，，
当时，
当时，，
此时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，且，，则；
当时，，
此时，函数在区间上单调递增，则，
所以，函数在区间上的最小值为，
对于函数，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数是减函数，
所以，，
由题意得，则有，解得，
因此，实数的取值范围是．
【解析】本题考查函数的奇偶性，不等式的恒成立问题，复合函数的单调性，涉及函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，考查分类讨论思想，划归与转化思想和运算化简的能力，属于综合题．
按与讨论，利用函数奇偶性定义可得；
当时，，当时，问题转化为不等式对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，构造函数求最值即可；
问题转化为当时，，分别求出最值即可．
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