6.2.3向量的数乘运算-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
向量的数乘运算
1.了解向量数乘的概念.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律
进行向量运算.
3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法．
向量的数乘运算
1
狗、猫和老鼠
老鼠由B处以6 m/s的速度向正东奔跑，狗由A处以6 m/s的速度向正西奔跑，猫由A处以5 m/s的速度向正东奔跑，问：老鼠和狗能否相遇？猫和老鼠能否相遇？可以用向量解决这个问题吗？
已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．
它们的长度和方向分别是怎样的？
向量的加法
问题一
提示：a＋a＋a的长度是a长度的3倍，与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)是a长度的3倍，与a的方向相反．
分别记作：3a和-3a
a
a
a
a
a
a
a
知识梳理
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，
记作 ，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)λa(a≠0)的方向：
特别地，当λ＝0时，λa＝ .
当λ＝－1时，(－1)a＝ .
向量
当 时，与a的方向相同；
当 时，与a的方向相反.
数乘
λa
|λ||a|
λ>0
λ<0
0
－a
(1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果
是一个实数．(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算.
注意
a
λa
λ
λa
例1
(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是
A.λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反
B.λ＝0时，λa与a是共线向量
C.|λa|＝λ|a|
D.λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同
√
√
√
方向的规定
0与a是共线向量
|λa|＝|λ||a|
方向的规定
λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.
反思感悟
跟踪训练1
√
向量的模
向量的线性运算
2
类比实数乘法的运算律，
你能猜想向量的数乘有哪些运算律？
问题二
提示：结合律，分配律．
知识梳理
1.数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
特别地，
(－λ)a＝－λa＝ ，λ(a－b)＝ .
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
λ(－a)
λa－λb
(1)结合律是指实数的结合；
(2)分配率有两种形式.
注意
2.向量的线性运算
向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，
以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .
加
减
数乘
λμ1a±λμ2b
(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于
A.－a B.－b
C.－c D.以上都不对
√
解析　原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b
＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.
例2
运算律
例2
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
解析　由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，
所以x＝4b－3a.
运算律
4b－3a
方程法
向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
向量线性运算的基本方法
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
类比法
跟踪训练2
计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
解　原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).
解　原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.
用已知向量表示其他向量
3
例3
如图所示，在正方形ABCD中，E为BC
的中点，F为AE的中点，则 等于
√
解析 利用向量的三角形法则，可得
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
则
用已知向量表示其他向量的两种方法
直接法
方程法
当直接表示比较困难时，可以首先
利用三角形法则和平行四边形法则
建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练3
√
解析　如图，
△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F，
向量共线定理
4
知识梳理
(1)向量共线定理中规定a≠0；
(2)λ的值是唯一存在的；
(3)向量共线定理可分为判定定理与性质定理.
注意
向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
b＝λa
Why
例4
设a，b是不共线的两个向量.
(1)若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，
求证：A，B，C三点共线；
∴A，B，C三点共线.
向量共线定理的判定定理
例4
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
解　∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
向量共线定理的性质定理
证明　∵A，B，C三点共线，
令x＝1＋λ，y＝－λ，
∴x＋y＝1.
延伸探究
向量共线定理的应用
三点共线
求参数
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
判定A，B，C三点是否共线，
只需看是否存在实数λ，
使得 ＝λ (或 ＝λ 等)即可.
跟踪训练4
√
1.知识清单：
(1)向量的数乘及运算律.
(2)向量共线定理.
(3)三点共线的常用结论.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.
课堂小结