临沧市临翔区2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示若网格中每个小正方形的边长均为，则( )
A. B. C. D.
5. 若，则( )
A. B. C. D.
6. 核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
7. 我国古代数学名著九章算术中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图所示羡除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分别为和，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为( )
A. B. C. D.
8. 给出下列说法：
若函数的定义域为，则函数的定义域为；
函数的单调减区间是，；
不存在实数，使为奇函数；
若，且，则．
其中正确说法的序号是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中，是真命题的有( )
A. 命题“”是“”的充分不必要条件
B. 命题：，，则：，
C. 命题“”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的充分不必要条件
10. 如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线
C. 与平行 D. 直线与共面
11. 的内角，，的对边分别为，，，则下面四个结论正确的是( )
A. ，，则的外接圆半径是 B. 若，则
C. 若，则一定是锐角三角形 D. 若，则
12. 已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上的值域为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，满足，，，则，______．
14. 在中，若，则 ______ ．
15. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设且，则可推出______．
16. 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数且点在函数的图象上．
求，并在下图直角坐标系中画出函数的图象；
求不等式的解集；
若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
18. 本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ再从下面条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求的面积条件．
条件：，；
条件：，．
19. 本小题分
如图，在多面体中，为等边三角形，，，，点为棱的中点．
求证：平面．
在上找一点使得平面平面，并证明
20. 本小题分
已知函数．
Ⅰ求的最大值及相应的值；
Ⅱ设函数，如图，点，，分别是函数图象的零值点、最高点和最低点，求的值．
21. 本小题分
设的内角，，的对边分别为，，若，
求
当为锐角三角形，时，求的周长的取值范围．
22. 本小题分
如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以海里小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，分钟后到达处，此时观测站测得，间的距离为海里．
求的值；
试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？临沧市临翔区2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷 教师版
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集，考查基本运算能力，属于基础题．
先解出集合，再取交集即可．
【解答】
解：由题可知集合是自然数集，
所以．
故选C．
2. 复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算与共轭复数，属于基础题．
首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．
【解答】
解：复数，
共轭复数是，
故选：．
3. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】解：平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，
始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，
，
则，
故选：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
4. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示若网格中每个小正方形的边长均为，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】解：由图可知：，，设与夹角为，，
由图可知，
代入公式可得：．
故选：．
由图观察可得两个向量的模长及夹角代入公式计算即可．
本题主要考查平面向量数量积公式的应用，属于基础题．
5. 若，则( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】解：因为
，
所以，
故选：．
因为，由此即可求解．
本题考查了诱导公式的应用，属于基础题．
6. 核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的实际应用，掌握指数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
设数量没有扩增前数量为，由题意可得，，即，再两边取对数，即可求解．
【解答】
解：设数量没有扩增前数量为，
由题意可得：，即，
所以，即，即，
故．
故选C．
7. 我国古代数学名著九章算术中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图所示羡除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分别为和，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查简单组合体柱、锥、台的表面积与体积、棱柱与棱锥的体积，属于中档题．
由图可知该“羡除”的中间部分为直三棱柱，左右两侧为两个全等的四棱锥，根据棱柱与棱锥体积公式求出该“羡除”的体积．
【解答】
解：按图中的分割方式，该“羡除”的中间为直三棱柱，
直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为和，直三棱柱的高为，
则直三棱柱的体积；
该“羡除”的两侧为全等的两个四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积，四棱锥的高为，
则两个四棱锥的体积．
故该“羡除”的体积．
故选：．
8. 给出下列说法：
若函数的定义域为，则函数的定义域为；
函数的单调减区间是，；
不存在实数，使为奇函数；
若，且，则．
其中正确说法的序号是( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查了抽象函数的定义域，函数的单调性，函数的奇偶性，函数求值等知识点，难度中档．
求出函数的定义域，可判断；根据幂函数的单调性，可判断；根据函数的奇偶性，可判断；求得，可判断．
【解答】
解：对于，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故错误；
对于，函数的单调减区间是，单调增区间是 ，故错误；
对于，当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数， 故不存在实数，使为奇函数，故正确；
对于，由 ，且 ，
令，则，所以 ，
则 ，故正确．
正确说法的序号是．
故选D．
二、多选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中，是真命题的有( )
A. 命题“”是“”的充分不必要条件
B. 命题：，，则：，
C. 命题“”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】
ABD
【解析】解：对于，当时，成立，
反之，当时，解得或，不一定是，
故“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对于，命题：，为全称命题，其否定为特称命题，
即：，，B正确；
对于，推不出，因为时，，
当时，一定有且，
故命题“”是“”的必要不充分条件，C错误；
对于，解可得或，
故时，一定有成立，
当时，也可能是，不一定是，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确．
故选：．
根据判断充分不必要条件的逻辑关系分别判断，，；根据全称命题的否定形式可判断．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
10. 如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线
C. 与平行 D. 直线与共面
【答案】
BD
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查了空间想象能力与推理能力，属于中档题．
根据异面直线的定义，结合三角形中位线定理、正方体的性质、共面的判定方法逐一进行判断即可．
【解答】
解：根据异面直线的定义可以判断直线与、直线与、直线与都是异面直线，因此选项AC不正确，选项B正确，
因为，分别为棱，的中点，
所以，由正方体的性质可知：
，
所以四边形是平行四边形，因此，所以，
因此四点共面，所以直线与共面，因此选项D正确，
故选BD．
11. 的内角，，的对边分别为，，，则下面四个结论正确的是( )
A. ，，则的外接圆半径是
B. 若，则
C. 若，则一定是锐角三角形
D. 若，则
【答案】
ABD
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．
根据正弦定理与余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：对：由正弦定理知为外接圆半径，所以外接圆半径是，故A正确；
对：由正弦定理及，可得，
即，由，知，故B正确；
对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误；
对：若，则，所以由正弦定理得，故D正确．
故选ABD．
12. 已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上的值域为
【答案】
BC
【解析】解：由图象可得，则，
的最大值为，，
，
过点，，，
，，，
过点，，
，，，
，，
由图象可知，，，，，
，
项：，错误；
项：，取得了最值，
则的图象关于直线对称，正确；
项：，，，，
的单调递减区间为，．
时，在上单调递减，，C正确；
项：，，，
，D错误．
故选：．
根据图象求出解析式，根据的性质，逐项判断即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，共18.0分）
13. 已知向量，满足，，，则，______．
【答案】
【解析】解：，
，，
．
故答案为：．
根据可得出，进行数量积的运算可求出，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出的值．
本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
14. 在中，若，则 ______ ．
【答案】
【解析】解：，
由正弦定理可得，，
，，，
，．
故答案为：．
根据已知条件，结合角的取值范围，以及正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
15. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设且，则可推出______．
【答案】
【解析】解：不妨设，，，
在中，由余弦定理得，
，
故AB；
再由正弦定理可得，
，
即，
解得，
故，
如图，过作的平行线交于点，
则，，
；
由正弦定理得，
，
则，
，
故．
故答案为：．
不妨设，，，结合正弦定理及余弦定理化简即可．
本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，应用了数形结合的思想方法，属于中档题．
16. 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查球的接、切问题，棱锥的体积，球的体积，属于中档题．
求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积．
【解答】
解：是等腰直角三角形，
为截面圆的直径，故外接球的球心在截面中的射影为的中点，
当，，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大，
棱锥的最大高度为，
， 解得，
设外接球的半径为，则，，
在中，，
由勾股定理得：，解得．
外接球的体积．
故答案为．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数且点在函数的图象上．
求，并在下图直角坐标系中画出函数的图象；
求不等式的解集；
若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】
解：点在函数的图象上，
，
，
函数的图象如图所示：
不等式等价于或
解得或，
不等式的解集为
方程有两个不相等的实数根，
函数的图象与函数的图象有两个不同的交点．
结合图象可得，
实数的取值范围为．
【解析】本题考查分段函数的解析式和图象画法，分段函数与不等式，以及函数的零点、方程的根的个数，属于中档题．
由，解得，可得的解析式，由分段函数的图象画法可得的图象；
讨论和，结合分段函数解析式，以及对数函数的单调性，可得所求解集；
由题意可得的图象和直线有两个交点，通过图象观察可得的范围．
18. 本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ再从下面条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求的面积条件．
条件：，；
条件：，．
【答案】
解：因为，
由正弦定理得，，
因为，
所以，
由为三角形内角且为锐角得；
选：，，
由余弦定理得，
即，
解得，；
选：，，
由正弦定理，
所以，，
故，
．
【解析】由已知结合正弦定理进行化简可求，结合锐角三角形条件可求，
选：由余弦定理可求，然后结合三角形面积公式可求；
选：由正弦定理可求，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式，属于中档题．
19. 本小题分
边长为的正方体中，、、、分别是、、、的中点．
证明：、、、四点共面；
作出平面截正方体表面的截面不需要证明，并求截面面积；
求由点、、、、、所围成的多面体的体积．
【答案】
证明：连接，因为、分别是、的中点，所以且，
因为、分别是、的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以且，
所以且，故、、、四点共面；
解：根据题意补充截面为，、分别为，的中点，
因为正方体棱长为，所以，
所以截面为一个边长为的正六边形，
所以截面面积为；
解：设，
．
【解析】本题主要考查了四点共面的证明，以及截面面积以及多面体的体积，同时考查了空间想象能力和运算求解的能力，属于较难题．
连接，可得四边形为平行四边形，从而可得以且，即可得到结论；
补充截面为，可得截面为一个边长为的正六边形，即可求出其面积；
根据，然后利用三棱锥的体积公式进行求解即可．
20. 本小题分
已知函数．
Ⅰ求的最大值及相应的值；
Ⅱ设函数，如图，点，，分别是函数图象的零值点、最高点和最低点，求的值．
【答案】
解：Ⅰ函数
分
；分
的最大值为，分
此时，分
解得；分
Ⅱ函数，分
过作轴于，如图所示；
，
，分
计算，，，分
分
【解析】Ⅰ化简函数为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的值；
Ⅱ化简函数，过作轴于，根据三角函数的对称性求出，再求的值．
本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问题，是综合题．
21. 本小题分
设的内角，，的对边分别为，，若，
求
当为锐角三角形，时，求的周长的取值范围．
【答案】
解：由题意，知，
即，
因为，所以．
根据正弦定理，得，
所以，，
所以，
因为，且锐角三角形，
所以，所以，
所以，
则，即周长的取值范围是．
【解析】本题考查正余弦定理解三角形，两角和与差的三角函数公式，辅助角公式，正弦函数的性质，属于中档题．
利用余弦定理可计算出，从而可得的值；
根据正弦定理，得所以，，从而得到，再根据的范围，求出的范围即可．
22. 本小题分
如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以海里小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，分钟后到达处，此时观测站测得，间的距离为海里．
求的值；
试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？
【答案】
解：由已知可得，
中，根据余弦定理求得，
．
由已知可得，
．
中，由正弦定理可得，
分钟．
即海警船再向前航行分钟即可到达岛．
【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
由已知可得，中，根据余弦定理求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求得的值．
由已知可得，由此可得的值，再由正弦定理求得的值，由此求得海警船到达的时间．
