6.2.4 向量的数量积(二)-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
向量的数量积(二)
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
向量数量积的运算律
1
通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，可以得到数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
两个实数的乘法满足什么样的运算律？
能类比到两个向量的数量积吗？
提示：实数乘法满足交换律、结合律和分配律.
问题
1.对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
知识梳理
知识梳理
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝____________
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝____________
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝________
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝__________________________
2.
a2＋2a·b＋b2
a2－2a·b＋b2
a2－b2
a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
(1)a·b＝b·c推不出a＝c.
(2)(a·b)c≠a(b·c).
注意
想一想为什么？
例1
(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，
正确的是
A. a·c－b·c＝(a－b)·c
B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C.|a|－|b|<|a－b|
D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
√
解析　根据数量积的分配律知A正确；
数量积是否为零
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，
正确的是
A. a·c－b·c＝(a－b)·c
B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C.|a|－|b|<|a－b|
D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
例1
√
√
解析 ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；
显然D正确.故正确结论的选项是ACD.
数形结合
√
反思感悟
向量数量积和实数乘积的区别
②
向量的数量积不满足结合律.
①
由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.
给出下列结论：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2.
其中正确的是________.(填序号)
②
解析　由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确.
跟踪训练1
利用数量积求向量的模和向量的夹角
2
(1)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2
的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
√
例2
如何求夹角？
例2
(2)已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a.
①求向量a与b的夹角；
解　①因为|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，
所以c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
和问题(1)求夹角有何不同？
例2
(2)已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a.
②求|3a＋b|.
利用a2＝|a|2
反思感悟
求解向量的模以及夹角
夹角
主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
模
要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，
勿忘记开方.
解　设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
跟踪训练2
与垂直、夹角有关的问题
3
例3
解析　由4|a|＝3|b|，
可设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t.
因为(xa＋b)⊥b，
所以(xa＋b)·b＝xa·b＋|b|2＝x×3t×4t× ＋4t×4t＝(4x＋16)t2＝0，
又t>0，所以x＝－4.
√
垂直如何应用？
本例中的条件不变，“(xa＋b)⊥b”改为xa＋b与b的夹角为锐角.求x的取值范围.
解　|b|＝4t(t>0)，
(xa＋b)·b＝xa·b＋|b|2＝(4x＋16)t2>0，x>－4，
若xa＋b＝mb，m>0，xa＝(m－1)b，
∴m＝1，x＝0.此时xa＋b与b同向.
∴x的取值范围为x>－4且x≠0.
延伸探究
解决有关垂直问题时利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量).
反思感悟
√
跟踪训练3
解析　设a与b的夹角为θ，
因为非零向量a，b满足2|a|＝|b|，且(3a＋b)⊥(a－2b)，
所以(3a＋b)·(a－2b)＝0，
即3a2－5a·b－2b2＝0，
所以3a2－5|a|·(2|a|)cos θ－2×4|a|2＝0，
课堂小结
1. 知识清单：
(1)向量数量积的运算律
(2)利用数量积求向量的模和夹角
(3)向量垂直的应用
2. 方法归纳：类比法.
3. 常见误区：忽略向量数量积不满足结合律.