6.2.4向量的数量积(一)-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
向量的数量积(一)
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生
位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积.　
“哼”老猪我偏要向右！
我老沙喜欢天天向上
八戒、沙僧把同样质量大宝箱拖动同样的位移进入白马寺，他们做的功是否一样？
F2
.
F1
.
θ
两向量的夹角与垂直
1
问题一
如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α.
(1)这个公式有什么特点？请完成下列填空：
①W(功)是 量；②F(力)是 量；③s(位移)是 量；④α是 量.
(2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？
数
向
向
数
提示：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.
非零向量
∠AOB
知识梳理
当θ＝0时，a与b ；
同向
当θ＝π时，a与b ；
反向
.
.
.
θ
θ
2.垂直：如果a与b的夹角是 ，
则称a与b垂直，记作 .
知识梳理
注意
a⊥b
.
例1
　 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
1.画出图形
2.确定是否共起点
a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°
a
b
60°
30°
a＋b
a－b
.
.
反思感悟
求两个向量夹角的步骤和注意事项
起点重合
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
系数正负决定方向
特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；
当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
　
√
跟踪训练1
两向量的数量积
2
知识梳理
1.已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为 .
2.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
|a|·|b|cos θ
a·b
a·b＝|a||b|cos θ
0
知识梳理
两个向量平行注意同向
和反向
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ .
≤
向量数量积与模的关系
两个向量的夹角公式
知识梳理
注意
(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”.
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
(4)|a|2＝a2是求向量的长度的工具.
(5)沟通了向量运算与数量之间的关系.
例2
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，
分别求a与b的数量积.
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
两个向量平行
注意同向和反向
(2)当a⊥b时，θ＝90°，a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.
反思感悟
求平面向量数量积的步骤
求夹角
求a与b的夹角θ，θ∈[0，π].
求模
分别求|a|和|b|
标准写法
求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.
　(1)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则a·b＝____.
10
跟踪训练2
解析　如图，△ABC是边长为6的正三角形，
－18
跟踪训练2
投影向量
3
1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：
过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，
垂足分别为A1，B1，得到，
我们称上述变换为向量a向向量b ，
叫做向量a在向量b上的 向量.
知识梳理
投影
投影
知识梳理
2.如图，在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，
则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe.
.
知识梳理
注意
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的
投影向量具有特殊性.
例3
√
例3
分析 如图，取AC的中点D，连接OD.
数量积的几何意义
三角形外心的应用
例3
解析　如图，取AC的中点D，连接OD，
因为O是△ABC的外心，所以OD⊥AC，
－1
反思感悟
向量的投影
①
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e
②
θ为向量a，b的夹角，
e为与b同向的单位向量
跟踪训练3
解析　a在b上的投影向量为|a|cos 120°·e＝－e.
√
跟踪训练3
(2)已知|b|＝4，a与b的夹角θ＝60°，则向量b在向量a方向上的投影向量的模为_____.
2
课堂小结
1. 知识清单：
(1)向量的夹角
(2)向量数量积的定义
(3)投影向量
(4)向量数量积的性质
2. 方法归纳：数形结合.
3.常见误区：向量夹角共起点；a·b>0不能推断两向量夹角为锐角，a·b<0不能推断两向量夹角为钝角.