6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
平面向量数量积的坐标表示
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量
积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直
有关的问题.
向量的加法可以用坐标表示
减法也可以用坐标来表示
还有数乘也可以呀！
那数量积可不可以用坐标来表示呢？
平面向量数量积的坐标表示
1
问题一
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，若a，b的夹角为60°，则a·b＝____．
1
2．在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？
i·i=______；j·j=______；i·j=_____．
1
1
0
夹角为90°
　回顾所学内容，回答下列问题：
问题二
若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出 a·b 的值吗？
提示：∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2.
知识梳理
平面向量数量积的坐标表示：
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .
x1x2＋y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
注意
例1
　(1)若向量m＝(2，－1)，n＝(3，2)，则(2m＋3n)·(m－n)等于
A.－25 B.25 C.－19 D.19
√
利用向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算
例1
方程思想
解析 设b＝(x，y)，其中y≠0，
√
反思感悟
向量数量积运算注意事项
公式
正确使用公式
a·b＝x1x2＋y1y2
几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
解析　建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
跟踪训练1
平面向量的模
2
知识梳理
1.若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ .
2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝ .
x2＋y2
向量坐标等于其终点坐标减去对应的起点坐标.
注意
例2
已知向量a＝(2，4)，b＝(1，n)，若a∥b，则|3a－nb|等于
解析　因为向量a＝(2，4)，b＝(1，n)，且a∥b，
所以2n＝1×4，解得n＝2，
所以3a－nb＝3(2，4)－2(1，2)＝(4，8)，
√
x1y2=x2y1
反思感悟
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
①
求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2.
②
a a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，
此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练2
已知向量a＝(2，m)，b＝(3，6)，若|3a＋b|＝|3a－b|，则实数m的值为
A.1 B.－1 C.4 D.－4
解析　已知向量a＝(2，m)，b＝(3，6)，
则3a＋b＝(9，3m＋6)，3a－b＝(3，3m－6)，
解得m＝－1.
√
平面向量的夹角、垂直问题
3
知识梳理
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角.
2.a⊥b .
x1x2＋y1y2＝0
注意
(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆.
(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，
两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角.
例3
(1)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
①求a与b夹角的余弦值；
向量的夹角公式坐标运算
例3
解　因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
且(a－λb)⊥(2a＋b)，
两向量垂直
数量积为0
(1)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
②若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
例3
(2)已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是_____________________.
此时a与b反向，夹角为180°，要使a与b的夹角为钝角，
由a·b＝－2＋k<0得k<2，
向量夹角范围[0°，180°]
反思感悟
解决向量夹角问题的方法
注意事项
角θ的取值范围是0°≤θ≤180°
利用公式判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
公式
跟踪训练3
√
跟踪训练3
(2)若平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，且a⊥b，则|a－b|＝________.
10或2
课堂小结
1.知识清单：
(1)平面向量数量积的坐标表示.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.