上海市行知中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
【参考答案】
一、填空题（本题满分54分，共有12题，1-6题每题4分，7-12每题5分）
1．函数f（x）＝x3+lnx的导数f′（x）＝ ．
【分析】根据已知条件，结合导数的运算法则，即可求解．
【解答】解：f'（x）＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．
2．已知，，则P（A∩B）＝ ．
【分析】根据题意，由条件概率公式可得P（A∩B）＝P（B|A）P（A），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，P（B|A）＝，
则有P（A∩B）＝P（B|A）P（A）＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的乘法公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
3．两名女生，4名男生排成一排，则两名女生不相邻的排法共有 480 种（以数字作答）
【分析】由题意，先排男生，再插入女生，可得结论．
【解答】解：由题意，先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有＝480种
故答案为：480
【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．二项式展开中x3的系数为 ．
【分析】利用二项式定理，写出展开式的通项即可求解．
【解答】解：二项式的展开式为，
令2r﹣5＝3，解得r＝4，
所以展开中x3的系数为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
5．设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X≤1）＝0.2，则P（X＜3）＝ 0.8 ．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
则P（X≤1）＝P（X≥3）＝0.2，
故P（X＜3）＝1﹣P（X≥3）＝1﹣0.2＝0.8．
故答案为：0.8．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
6．某次比赛中，9名评委对选手表现进行百分制打分，将选手的9个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场工作人员做了9个分数的茎叶图，后来一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示（见下图），则x的值为 4 ．
【分析】根据已知条件及茎叶图的特点，结合平均数公式即可求解．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为90，
所以剩余7个数为87，90，90，91，91，90+x，94，
因为7个剩余分数的平均分为91，
所以，解得x＝4，
所以x的值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查茎叶图相关知识，属于基础题．
7．函数f（x）＝x+2cosx，x∈（0，π）的单调减区间是 （，） ．
【分析】先求导数，因为是求减区间，则让导数小于零求解即可．
【解答】解：∵函数y＝x+2cosx
由y′＝1﹣2sinx＜0，
得sinx＞，又∵x∈（0，π）
∴x∈（，）
故答案为：（，）．
【点评】本题主要考查用导数法求函数的单调区间．
8．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E[X]＝40，D[X]＝20，则p＝ ．
【分析】利用二项分布的数学期望与方差的计算公式求解即可．
【解答】解：因为随机变量X服从二项分布B（n，p），
又E[X]＝40，D[X]＝20，
所以，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了二项分布的数学期望与方差的计算公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．
9．已知x，y的对应值如下表所示：
x 0 2 4 6 8
y 1 m+1 2m+1 3m+3 13
若y与x线性相关，且回归直线方程为y＝1.2x+0.2，则m＝ 1 ．
【分析】根据样本中心必在回归直线上求解．
【解答】解：＝（0+2+4+6+8）＝4，＝×[1+（m+1）+（2m+1）+（3m+3）+13]＝，
所以这组数据的样本中心点是（4，），
又点（，）在回归直线上，
所以＝1.2×4+0.2，解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查回归方程的应用，属于基础题．
10．已知n≥3，若对任意的x，都有，则n＝ 6 ．
【分析】根据题意，分析有（x+2）n＝[（x﹣1）+3]n，由二项式定理求出其展开式，结合题意分析可得 n2×32＝135，即 n2＝9，解可得n的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，（x+2）n＝[（x﹣1）+3]n，
其展开式为：Tr+1＝ nr（x﹣1）n﹣r×3r，
又由，
则有 n2×32＝135，即 n2＝9，
解可得：n＝6；
故答案为：6
【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是（x+2）的变形，属于基础题．
11．如图ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．
【分析】共面分为平行和相交，平行时，只需要考虑对面平行中的直线即可，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可．
【解答】解：由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组，
若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组，
若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接AD，C'D，E'D，AB'，AF'，
先考虑下底面，根据正六边形性质可知，所以，
且，故ADC′B′共面，且ADE'F'共面，
故AF'，DE'相交，且C'D，AB'相交，故共面有2组，
则正六边形对角线AD所对应的有2组共面的面对角线，
同理可知正六边形对角线BE，CF所对的分别有两组，共6组，
故对于上底面对角线A'D'，B'E'，C'F'同样各对两组，共6组，
若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，
所以共面的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了棱柱的结构特征，属于中档题．
12．已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则y﹣e﹣x的最大值为 ．
【分析】由正实数x，y满足lnx＝yex+lny，变形为ln＝xex，ln＝xex，令f（x）＝xex，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性可得ln＝x，y＝，可得y﹣e﹣x＝，令g（x）＝，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论．
【解答】解：由正实数x，y满足lnx＝yex+lny，
变形为ln＝xex，
∴ln＝xex，
令f（x）＝xex，x∈（0，+∞），
f′（x）＝（x+1）ex＞0，
∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
∴ln＝x，∴y＝，
∴y﹣e﹣x＝，
令g（x）＝，x∈（0，+∞），
g′（x）＝，
∴x∈（0，2）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴x＝2时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（2）＝．
即 y﹣e﹣x的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、构造法，考查了变形的重要性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二．选择题（本题满分20分，共有4题，每题5分）
13．如图是根据x，y的观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10）得到的散点图，可以判断变量x、y具有线性相关关系的图是（ ）
A．①④ B．③④ C．②③ D．①②
【分析】通过观察散点图可以得出，①②没有明显的线性相关关系，③④是明显的线性相关．
【解答】解：由题图知，①②的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系，
③中y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，
④中y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，y与x正相关．
故选：B．
【点评】本题考查了通过散点图判断两个变量之间的线性相关，是基础题．
14．已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的75%分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求得百分位数，然后利用古典概型概率计算公式以及组合数的计算公式求得正确答案．
【解答】解：因为8×75%＝6，所以，8个数中有6个数小于9，所以随机取两个数，
这两个数都小于a的概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
15．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有（ ）种．
A．43200 B．21600 C．14400 D．7200
【分析】根据排列组合相关知识可解．
【解答】解：先选字母，有＝10种方法，再选3个数字，有＝120种方法，
把三个数字看作一个整体进行排列有＝6种方法，
再把3个数字做成的一个整体和2个字母进行全排列，有＝6种方法，
再根据分步计数原理求得他选择号牌的方法种数最多有 10×120×6×6＝43200种，
故选：A．
【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．
16．若函数y＝f（x）的图像上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称f（x）为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（ ）
A．y＝x4﹣x2+1 B．y＝sinx C．y＝x2+sinx D．y＝x+cosx
【分析】由题意，原函数的导数至少存在两点处的导数值相等，才可能是“切线重合函数”，求导后举例即可判断．
【解答】解：对于A，y＝x4﹣x2+1，y′＝4x3﹣2x，当x＝时，y′＝0，故函数y＝x4﹣x2+1是“切线重合函数”；
对于B，y＝sinx，y′＝cosx，当x＝0和x＝2π时，y′＝1，故函数y＝sinx是“切线重合函数”；
对于C，y＝x2+sinx，y′＝2x+cosx，而y″＝2﹣sinx＞0，则y′＝2x+cosx为单调函数，故y＝x2+sinx不是“切线重合函数”；
对于D，y＝x+cosx，y′＝1﹣sinx，当x＝0和x＝2π时，y′＝1，故函数y＝x+cosx是“切线重合函数”．
故选：C．
【点评】本题是新定义问题，考查了导数的几何意义，考查化归与转化思想，是中档题．
三．解答题（本题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤）
17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC，D是BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面A1AD；
（2）若∠BAC＝90°，BC＝4，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，求异面直线A1D和AB1所成的角的大小．
【分析】（1）推导出AA1⊥BC，BC⊥AD，由此能证明BC⊥平面A1AD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线A1D和AB1所成的角的大小．
【解答】证明：（1）∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，
又AB＝AC，D是BC的中点，BC⊥AD，
AA1∩AD＝A，
∴BC⊥平面A1AD．
解：（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，
∴AB＝AC＝2，＝＝4，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，
∴S△ABC AA1＝4AA1＝8，解得AA1＝2，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（，0），A（0，0，0），B1（2，0，2），
＝（，﹣2），＝（2，0，2），
设异面直线A1D，AB1所成角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴异面直线A1D和AB1所成的角的大小为arccos．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18．（14分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜b或x＞2}（b＜2）．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x＞0，y＞0，且满足+＝1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．
【分析】（1）由不等式与方程的关系知方程ax2﹣3x+2＝0的解为b，2，可得，然后求出a，b的值；
（2）由（1）得+＝1，利用基本不等式可求得2x+y的最小值为8，再将恒成立问题转化为8≥k2+k+2，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜b，或x＞2}，
∴方程ax2﹣3x+2＝0的解为b，2，
∴，解得a＝1，b＝1；
（2）结合（1）可得，x＞0，y＞0，+＝1，
故2x+y＝（2x+y）（+）＝2+++2≥4+2＝8，
（当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立）
∵2x+y≥k2+k+2恒成立，∴8≥k2+k+2，解得﹣3≤k≤2，
故k的取值范围为[﹣3，2]．
【点评】本题考查了二次不等式与二次方程之间的关系，基本不等式，考查了转化思想与整体思想的应用，属中档题．
19．（14分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：
时间t/min [0，12） [12，24） [24，36） [36，48） [48，60） [60，72]
人数 10 36 34 10 6 4
（1）估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在[48，72]的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）．
【分析】（1）根据平均数的定义列式计算即可；
（2）求得X的可能取值及对应概率，即可完成分布列，求得期望．
【解答】解：（1）由题意得，随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数为
，
所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27.36min．
（2）由题意知该校学生每日使用手机的时间在[48，72]内的概率估计为，则，
所以，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
20．（16分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝3，b3﹣b2＝18．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn＝（﹣1）nan2，n∈N*，求数列{cn}的前2n项和S2n；
（3）记dn＝，求数列{dn}的前n项和Tn．
【分析】（1）由题意可得：8a1+×2＝64，解得a1，利用通项公式即可得出an．设等比数列{bn}的公比为q＞0，根据b1＝3，b3﹣b2＝18，利用通项公式即可得出q，bn．
（2）cn＝（﹣1）nan2＝（﹣1）n（2n﹣1）2，n∈N*，可得c2n﹣1+c2n＝﹣（4n﹣3）2+（4n﹣1）2＝8（2n﹣1），分组并项求和即可得出数列{cn}的前2n项和S2n．
（3）dn＝＝2（﹣），利用裂项求和即可得出数列{dn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）由题意可得：8a1+×2＝64，解得a1＝1，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
设等比数列{bn}的公比为q＞0，∵b1＝3，b3﹣b2＝18，
∴3q2﹣3q﹣18＝0，q＞0，解得q＝3，
∴bn＝3n．
（2）cn＝（﹣1）nan2＝（﹣1）n（2n﹣1）2，n∈N*，
c2n﹣1+c2n＝﹣（4n﹣3）2+（4n﹣1）2＝8（2n﹣1），
∴数列{cn}的前2n项和S2n＝8（1+3+…+2n﹣1）＝8×＝8n2．
（3）dn＝＝（﹣），
∴数列{dn}的前n项和Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、分组并项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（18分）已知平面直角坐标系内一椭圆，记两焦点分别为F1，F2，且．
（1）求C的方程；
（2）设C上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，连接RS．
①若Q（0，1），求△QRS的面积；
②证明：当△QRS面积最大时，△QRS必定经过C的某个顶点．
【分析】（1）可得方程；（2）①根据点的坐标找三角形的底和高即可求；②将△QRS面积表示出来，根据函数f（y0）＝，y0∈（0，1]的范围来说明即可．
【解答】解：（1）可知 ，，所以a2＝b2+c2＝1+3＝4，
所以C的方程为；
（2）①可知直线QR的方程为，直线QS的方程为，
联立可解得，因此 ；
②证明：设直线QR和直线QS的方程为，，
设Q（x0，y0），R（x1，y1），S（x2，y2），联立QR和椭圆：，
可得，同理：，
又因为 x0＝my0﹣c，x0＝ny0+c，所以 ，，；
同理 ，，即 ；
设 y0＞0，于是＝＝ ，
|F1F2|y0
＝＝
＝y0 ，又因为 ＝4（1﹣），
所以： ＝y0 ＝，
设f（y0）＝，y0∈（0，1]，
下面证明f（x）≤f（1）＝，＝≤，化简：，
即证明，，
而 的判别式小于等于0，因此原题得证．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于难题．上海市行知中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
一、填空题（本题满分54分，共有12题，1-6题每题4分，7-12每题5分）
1．函数f（x）＝x3+lnx的导数f′（x）＝ ．
2．已知，，则P（A∩B）＝ ．
3．两名女生，4名男生排成一排，则两名女生不相邻的排法共有 种（以数字作答）
4．二项式展开中x3的系数为 ．
5．设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X≤1）＝0.2，则P（X＜3）＝ ．
6．某次比赛中，9名评委对选手表现进行百分制打分，将选手的9个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场工作人员做了9个分数的茎叶图，后来一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示（见下图），则x的值为 ．
7．函数f（x）＝x+2cosx，x∈（0，π）的单调减区间是 ．
8．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E[X]＝40，D[X]＝20，则p＝ ．
9．已知x，y的对应值如下表所示：
x 0 2 4 6 8
y 1 m+1 2m+1 3m+3 13
若y与x线性相关，且回归直线方程为y＝1.2x+0.2，则m＝ ．
10．已知n≥3，若对任意的x，都有，则n＝ ．
11．如图ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．
12．已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则y﹣e﹣x的最大值为 ．
二．选择题（本题满分20分，共有4题，每题5分）
13．如图是根据x，y的观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10）得到的散点图，可以判断变量x、y具有线性相关关系的图是（ ）
A．①④ B．③④ C．②③ D．①②
14．已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的75%分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有（ ）种．
A．43200 B．21600 C．14400 D．7200
16．若函数y＝f（x）的图像上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称f（x）为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（ ）
A．y＝x4﹣x2+1 B．y＝sinx C．y＝x2+sinx D．y＝x+cosx
三．解答题（本题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤）
17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC，D是BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面A1AD；
（2）若∠BAC＝90°，BC＝4，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，求异面直线A1D和AB1所成的角的大小．
18．（14分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜b或x＞2}（b＜2）．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x＞0，y＞0，且满足+＝1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．
19．（14分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：
时间t/min [0，12） [12，24） [24，36） [36，48） [48，60） [60，72]
人数 10 36 34 10 6 4
（1）估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在[48，72]的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）．
20．（16分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝3，b3﹣b2＝18．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn＝（﹣1）nan2，n∈N*，求数列{cn}的前2n项和S2n；
（3）记dn＝，求数列{dn}的前n项和Tn．
21．（18分）已知平面直角坐标系内一椭圆，记两焦点分别为F1，F2，且．
（1）求C的方程；
（2）设C上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，连接RS．
①若Q（0，1），求△QRS的面积；
②证明：当△QRS面积最大时，△QRS必定经过C的某个顶点．
