6.4.1 平面几何中的向量方法-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
平面几何中的向量方法
1.能用向量方法解决简单的几何问题.
2.体会向量在解决数学问题中的作用.
用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.
向量集“数”与“形”于一身
既有代数的抽象性
又有几何的直观性
向量是几何研究的一个有效工具
a＝xi＋yj
用向量解决
平面几何中的平行(或共线)问题
1
例1
共线问题
例1
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
几何问题转向量问题
反思感悟
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
建立联系
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
运算
通过向量运算，研究几何元素之间的关系.
翻译
把运算结果“翻译”成几何关系.
设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，
试用向量证明：PQ∥AB.
又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB.
跟踪训练1
利用向量证明平面几何问题
2
如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
求证：AF⊥DE.
例2
几何中垂直的
证明问题
则|a|＝|b|，a·b＝0.
向量的线性运算法
例2
如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，
则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，
向量的坐标运算法
例2
如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
反思感悟
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
向量的线性运算法
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题.
向量的坐标运算法
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题.
如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
向量的线性运算法
向量的坐标运算法
跟踪训练2
证明　方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
跟踪训练2
方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为1，AP＝λ(0<λ< )，
跟踪训练2
利用平面向量
求几何中的长度问题
3
例3
几何中的
长度问题
在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量 的模长是_____.
向量的
数量积转化
反思感悟
用向量法求长度的策略
选基底
根据图形特点选择基底，
利用向量的数量积转化，
用公式|a|2＝a2求解.
建立坐标系，
确定相应向量的坐标，
代入公式：若a＝(x，y)，
则|a|＝ .
建系
跟踪训练3
利用平面向量
求几何中的角度问题
4
例4
长度问题
例4
角度问题
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
向量的夹角公式
反思感悟
用向量法求角度的策略
方法
①将要求的角转化为两向量的夹角；
②再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值；
③然后求出该夹角；
④再转化为实际问题中的角即可.
注意事项
要注意两向量的夹角和要求角的关系.
45°
跟踪训练4
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，
又∠0°<∠OAB<180°，所以∠OAB＝45°.
课堂小结
1. 知识清单：
(1)用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题.
(2)利用向量证明平面几何问题.
(3)利用平面向量求几何中的长度.
(4)利用平面向量求几何中的角度.
2. 方法归纳：转化法、数形结合法.
3. 常见误区：
不能将几何问题转化为向量问题.
随堂演练
5
解析
1
2
3
4
√
已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为（ ）
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
解析
1
2
3
4
√
解析
1
2
3
4
√
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于
如图，建立平面直角坐标系，
则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，
1
2
3
4
1
解析