6.4.3 余弦定理、正弦定理的综合应用-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
余弦定理、正弦定理的综合应用
学习目标
1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.
2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.
3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.
三角形面积公式
1
某近海海域有若干海岛，现有三个岛屿A，B，C，利用激光测距可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且可以测出AC，BC的夹角为60°.
A
B
C
则岛屿A，B ， C组成的三角形水域的面积如何计算呢？
已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
问题一
边b上的高h为asin C，
提示
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
知识梳理
A
B
C
b
c
a
则△ABC的面积公式为
S＝__________
S ＝ __________
S ＝ __________
知识梳理
大边对大角，即a>b A>B sin A>sin B.
A＋B＋C＝ ，
sin(A＋B)＝ ，
cos(A＋B)＝_______ .
△ABC中的常用结论
注意
A
B
C
b
c
a
180°
sin C
－cos C
例1
解析　如图，结合题意绘出图象：
余弦定理
例1
解析　
面积公式
例1
由正弦定理，得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，
边角混合式
例1
基本不等式
即a2＋c2＝3＋ac≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)，
∴ac≤3，
反思感悟
方程思想在解题中的应用.
1.充分挖掘题目中的条件 2.转化为求两边及其夹角的正弦问题
求三角形的面积
A
B
C
b
c
a
注意
跟踪训练1
如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝3，
且sin∠ADB＝ sin B.
(1)求AB的长；
跟踪训练1
(2)若AD⊥AC，BC＝3BD，求△ABC的面积.
解　设BD＝m，由BC＝3BD，得DC＝2m，
在△ABD中，由余弦定理得，
又Rt△ADC中，AD＝3，
解得m2＝9，即m＝3，
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
余弦、正弦定理
在平面几何中的应用
2
如图，在平面四边形ABCD中，∠DCB＝45°，DB⊥AD，CD＝2.
例2
∠DCB＝45°，
例2
解　因为AD⊥DB，所以∠ADB＝90°，
所以sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]
＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCDsin∠BDC，
例2
又A为锐角，所以A＝60°.
反思感悟
先找所求的边、角所在的三角形
再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角
平面几何中求边、求角的通常思路
例如求角A的大小
跟踪训练2
(1)求sin C的值；
跟踪训练2
(2)若BD＝5，求△ABD的面积.
余弦、正弦定理
与三角函数的综合应用
3
例3
(1)求a和sin C的值；
又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)，
可得bc＝8.
∴b＝4，c＝2，
例3
(1)求a和sin C的值；
∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
例3
(1)求a和sin C的值；
又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)，
可得bc＝8.
∴b＝4，c＝2，
∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
例3
反思感悟
正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式
1.先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，
再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；
2. 先求函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题.
跟踪训练3
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
跟踪训练3
所以cos B＝2sin B.
从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，
因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，
课堂小结
1. 知识清单：
(1)三角形的面积公式；
(2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题；
(3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用.
2. 方法归纳：化归转化、数形结合.
3. 常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验.