6.4.3.1余弦定理(一)-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
余弦定理(一)
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
余弦定理的推导
1
现有三个岛屿A，B，C，岛屿A，B，C与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°.
千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名.
A
B
C
岛屿A，B间的距离如何计算呢？
在△ ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c,
怎样用a，b和C表示c
问题一
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B.
那么c＝a－b， ①
联想到数量积的性质c·c＝|c|2，
可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.
知识梳理
三角形中任何一边的平方，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的 .
平方的和
余弦的积的两倍
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝c2＋a2－2cacos B
c2＝a2＋b2－2abcos C
余弦定理
注意
在问题1的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
问题二
提示　a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例.
知识梳理
1.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.
2 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
3.余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”
判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
注意
已知两边及一角解三角形
2
(1)一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是 ，求三角形的另一边的长；
例1
a=5
b=3
两边及一角余弦定理
A
B
C
cos=
c=2
解 由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos=25+9+18=52，
则c=2
例1
解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
所以该三角形为直角三角形，且A＝90°，C＝60°.
A
B
C
c
b
两边及一边的对角余弦定理
反思感悟
若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；
若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法：
必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.
跟踪训练1
解析　由A＋B＝60°得C＝180°－(A＋B)＝120°.
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C
在△ABC中，a＝2，b＝1，A＋B＝60°，则边长c＝______.
已知三边解三角形
3
在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？
问题三
提示　
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝c2＋a2－2cacos B
c2＝a2＋b2－2abcos C
知识梳理
余弦定理推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
则cos A＝ ，
cos B＝ ，
cos C＝ .
已知三边长
余弦定理推论
例2
反思感悟
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理
求出三个角的余弦值
进而求出三个角
跟踪训练2
而A为三角形的内角，故A＝45°.
45°
课堂小结
1. 知识清单：
(1)余弦定理
(2)余弦定理解决的两类问题
(3)余弦定理的简单应用
2. 方法归纳：化归转化、数形结合
3. 常见误区：易忽略三角形中的隐含条件