6.4.3.1 余弦定理(二)-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
余弦定理(二)
学习目标
1.能够利用余弦定理判断三角形的形状.
2.会运用余弦定理解决与三角形有关的最值或范围问题.
3.能用余弦定理解决三角形的综合问题.
因新冠疫情危害人间，佛协唐僧会长命八戒主任在白马寺建造三座佛塔，用以降妖镇魔。据《金刚经》记载两副塔距离为二倍根号三丈，与主塔所成角为六十度，且三塔之间的距离最长时降妖除魔效果最好，如果你是八戒主任，你会如果设计？
如果把位移看成了向量，从向量的物理背景和数的运算中得到启发，我们就引入了向量的运算。
大师兄快来救我！
利用余弦定理判断三角形的形状
1
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
提示：A为直角 a2＝b2＋c2；
A为锐角 b2＋c2>a2；
A为钝角 b2＋c2三角形边和角的关系
问题
例1
解析
（1）在△ABC中，若 则△ABC的形状为
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
借助向量的运算
例1
（1）在△ABC中，若 则△ABC的形状为
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
综上所述，△ABC的形状为等边三角形.故选C.
√
利用余弦定理统一边
解析
例1
解
（2）在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
　由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2－b2－c2＝0，即a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
利用余弦定理，
统一成边
反思感悟
先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系
先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系
△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2
△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2
△ABC为钝角三角形 a2＋b2利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，从“统一”入手
判断三角形的形状时，常用结论
④ 若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝
跟踪训练1
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
√
所以accos(π－B)＋c2＝0，所以accos B＝c2，
所以b2＋c2＝a2，所以△ABC是直角三角形.
跟踪训练1
解析 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
√
利用余弦定理解决最值或范围问题
2
(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋bc，且A∈，则 的取值范围是__________.
例2
解析
∵在△ABC中，a2＝b2＋bc，
又由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴b2＋bc＝b2＋c2－2bccos A，整理可得c＝b(1＋2cos A)，
∴a2＝b2＋b2(1＋2cos A)＝b2(2＋2cos A)，
可得2＋2cos A∈(2,3).
替换代入，转换到角
依据结构，选用余弦定理
函数思想，由角求值
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
已知b(b－c)＝(a－c)(a＋c).
①求角A的大小；
例2
解
因为b(b－c)＝(a－c)(a＋c)，
所以b2－bc＝a2－c2，即b2＋c2－a2＝bc，
因为A为三角形的内角，故A＝60°.
利用余弦定理，转换到角
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
已知b(b－c)＝(a－c)(a＋c).
例2
解
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以12＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
因为b>0，c>0，
根据结构凑配
利用基本不等式求范围
反思感悟
利用余弦定理解决最值或范围问题的常用方法
①
转化为三角函数利用
三角函数的有界性求解
②
利用基本不等式求解
③
利用二次函数的性质求解
跟踪训练2
(1)若2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围是______.
解析 因为2a＋1，a，2a－1是三角形的三边长，
此时2a＋1最大.要使2a＋1，a，2a－1是三角形的三边长，还需a＋2a－1>2a＋1，
解得a>2.设最长边2a＋1所对的角为θ，则θ>90°，
(2,8)
跟踪训练2
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
满足cos C＋cos Acos B＝sin Acos B.
①求cos B的值；
又因为sin2B＋cos2B＝1，
跟踪训练2
解 由a＋c＝2，可得c＝2－a，由余弦定理，得
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
满足cos C＋cos Acos B＝sin Acos B.
②若a＋c＝2，求b的取值范围.
余弦定理的综合运用
3
(1)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，∠DAC＝，
cos∠BAC＝，AB＝4，AD＝3，则CD＝________.
例3
解析
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cos∠BAD＝16＋9－21＝4.
∴BD＝2，
12
把条件集中在
一个三角形
例3
解
(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a∶b＝6∶5，cos C＝. ①求cos A的值；
由a∶b＝6∶5，可设a＝6m，b＝5m.
例3
解
由①及余弦定理的推论得，
(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a∶b＝6∶5，cos C＝.
反思感悟
利用余弦定理解决综合问题
基本公式
1.余弦定理
2.变形公式
相关公式
1.同角三角函数的基本关系
2.三角恒等变换公式
跟踪训练3
(1)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1，若AB＝2BC，则cos∠BDC的值为________.
由AB∥CD，得∠DBA＝θ，所以∠ADB＝π－2θ，
由余弦定理得，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos(π－2θ)＝2＋2cos 2θ，
BC2＝DC2＋DB2－2DC·DBcos θ＝2－2cos θ，
因为AB＝2BC，所以2＋2cos 2θ＝4(2－2cos θ)，
跟踪训练3
(2)在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，A＝ .
①求BC；
解 结合已知条件，由余弦定理可得，
跟踪训练3
(2)在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，A＝ .
②若点D在边BC上，且满足AD＝BD，求sin∠DAC.
解 ∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，
课堂小结
1. 知识清单：
(1)利用余弦定理判定三角形的形状
(2)利用余弦定理解决最值或范围问题
(3)余弦定理的综合运用
2. 方法归纳：
化归转化、数形结合
3. 常见误区：
易忽略三角形中的隐含条件