6.4.3.2正弦定理 (二)-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知识梳理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
大黄蜂变形后功能改变，大大地增加了战斗力！
那正弦定理变形后会有什么威力呢？
知识梳理
我们先来
学会变形吧！
正弦定理的常见变形：
或
利用正弦、余弦定理解三角形
1
例1
在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，B＝30°，解三角形.
解　方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；
已知两边和一对角可使用余弦定理
∴A＝90°，C＝60°.
例1
1.画出图形
2.由正弦定理求角C的正弦值
3.分情况讨论角C是锐角还是钝角
30°
在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，B＝30°，解三角形.
C
A
B
30°
C
A
B
用正弦定理的解题思路
能不能使用正弦定理呢？
例1
在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，B＝30°，解三角形.
又c>b,∴30°＜C＜180°，
∴C＝60°或C＝120°.
30°
C
A
B
120°
30°
C
A
B
60°
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝6；
当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3.
分情况讨论角C是锐角还是钝角
反思感悟
已知两边及一边对角解三角形注意事项
用余弦定理
用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数.
用正弦定理
用正弦定理求出另一边的对角，
但要注意此三角形解的个数的判断.
　
跟踪训练1
即bc＝20，又c＝4，所以b＝5.
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，
C
A
B
跟踪训练1
利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
2
例2
在△ABC中，因为0所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化两弦
所以由正弦定理，得sin 2A·tan B＝sin 2B·tan A，
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形
注意边化角
例2
因为在△ABC中，0所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
注意角范围和分类讨论
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
√
反思感悟
判断三角形形状的方法及技巧
余弦定理
用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数.
化简技巧
统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
　
跟踪训练2
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b＝ asin B，
cos A＝cos C，则△ABC的形状是
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析　在△ABC中，cos A＝cos C，A，C∈(0，π)，
由函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，可得A＝C.
显然A为锐角，从而有A＝60°，则C＝60°，进而得B＝60°，
所以△ABC的形状是等边三角形.
√
正弦、余弦定理的综合应用
3
例3
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B.
(1)求B的大小；
1.正弦定理边化角得
2.由角的范围求得
例3
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B.
(1)求B的大小；
在△ABC中，sin A≠0，
例3
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B.
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
1.正弦定理角化边得
2.由余弦定理可求
c＝2a
例3
解　∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B.
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
反思感悟
利用正弦、余弦定理解三角形的注意点
①
正、余弦定理都是用来解三角形的，
但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用
②
两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
跟踪训练3
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－ asin C＝bsin B.
(1)求B的大小；
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解　sin A＝sin (30°＋45°)
又C＝180°－45°－75°＝60°，
课堂小结
知识清单：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形.
(2)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
2.方法归纳：
化归转化、数形结合.
3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形.