6.4.3.2正弦定理(一)-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
正弦定理(一)
学习目标
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.
2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.
正弦定理的推导
1
壶口瀑布
A
B
任务：测量壶口瀑布
壶口处的距离AB.
工具：卷尺，测角仪.
问题一
提示　以锐角△ABC为例，
也即asin C＝csin A，
问题二
提示　观察右图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，
c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，
所以对任意△ABC，
知识梳理
正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 .
正弦
已知两角及任意一边解三角形
2
在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
例1
两角一边正弦定理
解　∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.
反思感悟
正弦定理的形式
三角形内角和
三角形的内角和为180°，
已知两角一定可以求出第三个角.
跟踪训练1
在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解这个三角形.
解　因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
已知两边及其中一边的
对角解三角形
3
例2
∵0°两边及一边对角正弦定理
反思感悟
已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，
进而求出这个角.
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
(3)根据正弦定理求出第三条边.
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练2
75°
∵b>a，则A必为锐角，
∴A＝45°，
∴C＝180°－B－A＝180°－60°－45°＝75°.
跟踪训练2
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝ ，
b＝2，A＝60°. ①求sin B的值；
跟踪训练2
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝ ，
b＝2，A＝60°. ②求c的值.
解　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
整理得c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)，
所以c＝3.
三角形解的个数的判断
4
例3
下列三角形是否有解？有解的作出解答.
(1)a＝7，b＝8，A＝105°；
解　由a＝7，b＝8，可得a又由A＝105°>90°，
所以这样的三角形无解.
例3
又由C＝60°<90°，所以这样的三角形只有一解.
所以B＝45°，所以A＝180°－(B＋C)＝75°，
可得b例3
又由A＝30°<90°，且bsin A＝6sin 30°＝3，所以a>bsin A，
所以这样的三角形有两解；
所以B＝60°或B＝120°，
当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝90°，
例3
当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝30°，
反思感悟
已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
结论
在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
性质
应用三角形中大边对大角的性质以及
正弦函数的值域判断解的个数.
反思感悟
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
absin A 两解
a＝bsin A 一解
a跟踪训练3
不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
所以三角形有一解.
跟踪训练3
不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
故三角形有两解.
跟踪训练3
不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
所以B>45°，所以B＋C>180°，
故三角形无解.
1.知识清单：
(1)正弦定理.
(2)正弦定理的变形推论.
(3)利用正弦定理解三角形.
(4)三角形解的个数的判断.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：已知两边及一边所对的角
解三角形时易忽略分类讨论.
课堂小结