6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
余弦定理、正弦定理
应用举例
学习目标
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.
如何测量珠峰高度
三角高程测量示意图
距离问题
1
如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离.
例1
距离问题
例1
两边及一边的对角余弦定理
如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离.
解　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，
∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
在△ACD中，∠ADC＝30°，
∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
两角及一边正弦定理
例1
如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA
两边及一边的对角余弦定理
反思感悟
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
求两个不可到达的点之间的距离问题，是把问题转化为求三角形的边长问题
跟踪训练1
位于灯塔A处正西方向相距15n mile的B处有一艘甲船，需要海上加油.位于灯塔A处北偏东45°有一与灯塔A相距 n mile的乙船(在C处).求乙船前往支援B处的甲船航行的距离和方向(角度精确到1°).
解　根据题意，画出示意图如图，由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 135°
因为0<∠C<90°，所以∠C≈31°.
高度问题
2
如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )
例2
把问题转化为求三角形的边长问题
√
解析　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
直角三角形
非直角三角形
反思感悟
先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.
“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合：
测量高度问题的解题策略: 测量高度问题往往是空间中的问题
“空间”向“平面”的转化：
全面分析所有三角形，仔细规划解题思路
跟踪训练2
某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？
解　在△BCD中，∠BDC＝30°＋15°＝45°，
在Rt△ABC中，
AB＝BCsin 60°
角度问题
3
已知：岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，与此同时，位于岛A南偏西38°方向与岛A相距3海里的B处有一艘缉私艇要去拦截，问缉私艇以多大速度以及朝何方向行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
例3
测量角度的问题
解　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，
缉私艇的速度为每小时x海里，
则BC＝0.5x，AC＝5海里，
依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
反思感悟
测量角度问题的基本思路
1.画出表示实际问题的图形
2.标出有关的角和距离
3.用正弦定理或余弦定理解三角形
4.将解得的结果转化为实际问题的解
跟踪训练3
地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离.
解　如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，
由余弦定理，得
因为AB＝40 m，所以AB＝PB，
所以∠APB＝∠PAB＝30°，
所以∠PBA＝120°.
因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，
且目标参照物P与他的距离为40 m.
课堂小结
知识清单：
不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案
2. 方法归纳：数形结合
3. 常见误区：方位角是易错点