8.6.2 直线与平面垂直的性质定理-高中数学人教A版（2019）必修二 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
直线与平面垂直的性质定理
第八章　立体几何初步
我们知道，在平面内，垂直于
同一条直线的两条直线是平行的，
在空间中有没有这样的结论呢？
观察所在的教室，说说根据垂直
关系能都能得到哪些平行关系.
直线与平面垂直的性质定理
1
问题一
如图1，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，
棱AA′，BB′，CC′，DD′
所在直线都垂直于平面ABCD，
它们之间具有什么位置关系？
提示　平行.
问题二
如图2，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？
提示　a与b平行.
问题三
若 a⊥ α ， b⊥α， 求证： a// b．　
提示　利用反证法.
a
b
α
证明 如图，假设a与b不平行，设b与α交于点O，
设b′是经过点O与a平行的直线.
设相交直线b与b′确定的平面为β，
设α∩β=c，则O∈c.
因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.
又因为b′//a，所以b′⊥c.
这样在平面β内，经过直线c上同一点O
就有两条直线b， b′均与 c 垂直，
显然不可能，因此b//a.
O
b′
c
β
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______.
符号语言
图形语言
平行
揭示了“平行”与“垂直”的关系.
(多选)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，
则下列命题正确的是
A.若a⊥α，b∥β且α∥β，则a⊥b
B.若a⊥b，a⊥α，则b∥α
C.若a⊥α，b⊥α，a∥c则b∥c
D.若a⊥α，β⊥α，则a∥β
√
√
例1
解析　A选项，因为α∥β，a⊥α，则a⊥β，又∵b∥β，∴a⊥b，故A正确；
B选项，b有可能在平面α内，故B错误.
C选项，因为a⊥α，b⊥α，所以a∥b，又因为a∥c，所以b∥c，故C正确.
D选项，a有可能在β内，故D错误.
直观感知
反思感悟
线面垂直的性质定理
常用线面垂直的性质
①b⊥α，a α b⊥a；
②a⊥α，b∥a b⊥α；
③a⊥α，a⊥β α∥β.
揭示了“垂直”与“平行”两种位置关系之间的内在联系.
跟踪训练1
△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，
则直线l，m的位置关系是
A.相交 　　B.异面 　　C.平行　　 D.不确定
解析　∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，
∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
√
直线与平面垂直的性质定理的应用
2
例2
证明垂直于同一平面
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，
E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
证明：AE∥MN.
证明　∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
证明　∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，
PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
例2
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，
E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
证明：AE∥MN.
反思感悟
证明线线平行的常用方法
(1)线线平行的定义：证共面且无公共点.
(2)基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练2
如图，已知斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足.(1)求证：EF⊥PB；
证明　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AF，
又AF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，
∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB.
跟踪训练2
如图，已知斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足. (2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
证明　由(1)知PB⊥平面AEF，
又l⊥平面AEF，∴PB∥l.
空间中的距离问题
3
问题四
若直线l∥平面α，直线l上各点到平面α的距离相等吗？
提示　相等.
问题五
直线l∥平面α，证明：l上各点到平面α的距离相等.
证明　如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1∥BB1，
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1，
∵l∥α，∴l∥A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1＝BB1.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
知识梳理
1.直线与平面的距离
一条直线与一个平面 时，这条直线上 到这个平面的距离，
叫做这条直线到这个平面的距离.
2.平面与平面的距离
如果两个平面 ，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ，
我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
平行
任意一点
平行
任意一点
相等
例3
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱
A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，平面AMN∥平面EFDB.
求平面AMN与平面EFDB间的距离.
选取合适的一点
解　平面AMN与平面EFDB之间的距离
即为D到平面AMN的距离h，
∵V三棱锥M－ADN＝S△ADN·＝，
且S△AMN＝×a×a＝a2，
解　∴V三棱锥D－AMN＝S△AMN·h＝，
∴h＝a，
即平面AMN与平面EFDB之间的距离为a.
例3
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱
A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，平面AMN∥平面EFDB.
求平面AMN与平面EFDB间的距离.
直线与平面、两平行平面之间的距离应转化为点到平面的距离，再求值.
反思感悟
跟踪训练3
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD.
若AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，
求点A到平面PBC的距离.
解　方法一　V＝AP·AB·AD＝AB.
由V＝，可得AB＝.
作AH⊥PB于点H，如图所示.
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，
又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离.
跟踪训练3
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD.
若AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，
求点A到平面PBC的距离.
设点A到平面PBC的距离为h.
由CB⊥AB，CB⊥PA，且AB∩PA＝A，得CB⊥平面PAB，
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的性质定理.
(2)直线与平面、平面与平面的距离.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：距离转化不当导致错误.
课堂小结