2023年中考数学探究性试题复习1 数与式的规律
一、单选题
1．（2022·西藏）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·文山模拟）计算3的正数次幂，，，，，，，，，……观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
3．（2023·任城模拟）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·德城模拟）已知整数，，，，满足下列条件：，以此类推，的值为（ ）
A．-2023 B．-2022 C．-1012 D．-1011
5．（2023·富阳模拟）有一列数， 记为 ，记其前 项和为 ，定义 为这列数的“亚运和”，现有 99 个数 ，其“亚运和”为 1000，则 这 100 个数的“亚运和”为 （ ）
A．791 B．891 C．991 D．1001
二、填空题
6．（2022·济南）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到…依次类推．点经过“011011011”变换后得到点的坐标为 ．
7．（2022·怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 .
8．（2023·嘉祥模拟）若a是不为2的有理数我们把称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是；的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”， 是的“哈利数”，以此类推， ．
9．（2023·台儿庄模拟）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是 ．
10．（2023·梅州模拟）一列数，，，……．满足条件：，，（，且n为正整数），则 ．
11．（2022·楚雄模拟）下面是按一定规律排列的代数式：，，，，，则第13个代数式是 ．
12．（2022·玉溪模拟）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算：＝ （n为正整数）．
13．（2022·达州）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
三、综合题
14．（2023·黄山模拟）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
······
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
15．（2023·包河模拟）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
16．（2023·安庆模拟）观察下列式子：
···
根据上述规律，回答下列问题：
（1）请把第4个式子补充完整： ；
（2）通过以上算式，我们发现若用来表示个位数字是5的两位数，它的平方有一定的规律，请写出猜想并证明.
17．（2023·蜀山模拟）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
①
②
③
（1） ；
（2） ；
（3） ．
18．（2023·安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原数据可转化为：，
∴，
，
，
..．
∴第n个数为：，
∴第10个数为：.
故答案为：A.
【分析】观察发现：奇数项为正，偶数项为负，分子为连续的奇数，分母为n2+1，据此可表示出第10个数.
2．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察可知，个位数字依次为3，9，7，1…，每4个一循环，
∵，
∴的个位数字为7，
故答案为：C．
【分析】先求出规律“个位数字依次为3，9，7，1…，每4个一循环”，再结合，可得的个位数字为7。
3．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，个位数字每四个数按，，，循环出现，
，
的个位数字与相同，为8，
故答案为：．
【分析】先求出规律，再结合，可得的个位数字与相同，为8。
4．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，
观察其规律可得，
．
故答案为：D．
【分析】分别求出 ，，，观察找出规律，进而求出的值。
5．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵ ，
∴对于原数列 a1、a2……a99 ，则S1+S2+……+S99=99×1000=99000，
对于新数列1、 a1、a2……a99 ，
S1=1，
S2=1+a1，
S3=1+a1+a2，
……，
S100=1+a1+a2+……+a99，
∴S1+S2+S3+……+S99+S100=1×100+（S1+S2+……+S99）=100+99000=99100，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据“奥运和”的定义分析可得现在如果有99个数a1+a2+……+a99，其“奥运和”为1000，即S1+S2+……+S99=99×1000=99000，同理可求出新数列1、a1、a2……a99这100个数的“奥运和”.
6．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：点按序列“011011011”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到．
故答案为：
【分析】结合图形，利用旋转的性质求解即可。
7．【答案】744
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744.
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n(n+1)，求出第27行的最后一个数，据此解答.
8．【答案】/0.5
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出前几项中数据与序号的关系可得规律，再求解即可。
9．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，第n个数是(n是奇数)或(n是偶数)，
∴第10个数是，
故答案为：．
【分析】根据前几项中的数据与系数的关系可得规律，再求解即可。
10．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
∴该组数以3个为一组进行循环，一组循环数的和为，
在前2023项中，共有，共有674组这样的数，
∴前2023项的和为．
故答案为：．
【分析】根据题意，先找出规律：该组数以3个为一组进行循环，一组循环数的和为，再求解即可。
11．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：通过排列的单项式可以看出，其系数与它的序号之间的关系是；
而字母指数与序号之间的关系为，
所以第n个代数式可表示为，
所以第13个代数式是．
故答案为：
【分析】先求出前几项中数据与序号的关系可得规律第n个代数式可表示为，再求解即可。
12．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式=2（1-）+2（-）+2（-）…+2（-）
=2（1-）
=．
【分析】将代数式变形为2（1-）+2（-）+2（-）…+2（-）=2（1-），再计算即可。
13．【答案】5050
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
【分析】先根据a和b的值求得ab==1，再根据S1=+==1，S2=+==2，继而得出Sn=n，从而得到S100=100，进而求出S1+S2+…S100的和即可.
14．【答案】（1）
（2）解：，
证明：左边
右边；
猜想成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
故答案为：；
【分析】（1）根据前几项中的数据与系数的关系求解即可；
（2）先求出规律，再证明即可。
15．【答案】（1）
（2）解：第个等式：；证明如下：
第1个等式：，即，
第2个等式：，即，
第3个等式：，即，
第4个等式：，即，
第5个等式：，即
……
∴可推导一般性规律为：第个等式：，
∵，
∴第个等式：．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意知，第6个等式：，
故答案为：；
【分析】（1）观察等式，找出规律求解即可；
（2）先求出 第个等式：， 再求解即可。
16．【答案】（1）（4×5)×100+25
（2）解：猜想：，
证明：左边==右边，
∴等式成立
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）
【分析】（1）观察所给的式子，找出规律求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求解即可。
17．【答案】（1）20
（2）
（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：20
（2）解：
；
故答案为：
（3）解：
故答案为：
【分析】（1）根据题干中的计算方法将代数式变形，再计算即可；
（2）方法同（1），先变形，再计算即可；
（3）先利用规律将代数式变形，再计算即可。
18．【答案】（1）
（2）解：由（1）猜想第个等式为；证明如下：
∵左边右边，
∴等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由已知等式可知：等式左边括号外分数的分子为等式的序号加1，分母为序号加2，括号内分数的分母为序号加1；等式右边为1，
∴第5个等式：；
故答案为：；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中数据与序号的关系直接写出规律即可。
1 / 12023年中考数学探究性试题复习1 数与式的规律
一、单选题
1．（2022·西藏）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原数据可转化为：，
∴，
，
，
..．
∴第n个数为：，
∴第10个数为：.
故答案为：A.
【分析】观察发现：奇数项为正，偶数项为负，分子为连续的奇数，分母为n2+1，据此可表示出第10个数.
2．（2023·文山模拟）计算3的正数次幂，，，，，，，，，……观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察可知，个位数字依次为3，9，7，1…，每4个一循环，
∵，
∴的个位数字为7，
故答案为：C．
【分析】先求出规律“个位数字依次为3，9，7，1…，每4个一循环”，再结合，可得的个位数字为7。
3．（2023·任城模拟）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，个位数字每四个数按，，，循环出现，
，
的个位数字与相同，为8，
故答案为：．
【分析】先求出规律，再结合，可得的个位数字与相同，为8。
4．（2023·德城模拟）已知整数，，，，满足下列条件：，以此类推，的值为（ ）
A．-2023 B．-2022 C．-1012 D．-1011
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，
观察其规律可得，
．
故答案为：D．
【分析】分别求出 ，，，观察找出规律，进而求出的值。
5．（2023·富阳模拟）有一列数， 记为 ，记其前 项和为 ，定义 为这列数的“亚运和”，现有 99 个数 ，其“亚运和”为 1000，则 这 100 个数的“亚运和”为 （ ）
A．791 B．891 C．991 D．1001
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵ ，
∴对于原数列 a1、a2……a99 ，则S1+S2+……+S99=99×1000=99000，
对于新数列1、 a1、a2……a99 ，
S1=1，
S2=1+a1，
S3=1+a1+a2，
……，
S100=1+a1+a2+……+a99，
∴S1+S2+S3+……+S99+S100=1×100+（S1+S2+……+S99）=100+99000=99100，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据“奥运和”的定义分析可得现在如果有99个数a1+a2+……+a99，其“奥运和”为1000，即S1+S2+……+S99=99×1000=99000，同理可求出新数列1、a1、a2……a99这100个数的“奥运和”.
二、填空题
6．（2022·济南）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到…依次类推．点经过“011011011”变换后得到点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：点按序列“011011011”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到．
故答案为：
【分析】结合图形，利用旋转的性质求解即可。
7．（2022·怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 .
【答案】744
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744.
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n(n+1)，求出第27行的最后一个数，据此解答.
8．（2023·嘉祥模拟）若a是不为2的有理数我们把称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是；的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”， 是的“哈利数”，以此类推， ．
【答案】/0.5
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出前几项中数据与序号的关系可得规律，再求解即可。
9．（2023·台儿庄模拟）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，第n个数是(n是奇数)或(n是偶数)，
∴第10个数是，
故答案为：．
【分析】根据前几项中的数据与系数的关系可得规律，再求解即可。
10．（2023·梅州模拟）一列数，，，……．满足条件：，，（，且n为正整数），则 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
∴该组数以3个为一组进行循环，一组循环数的和为，
在前2023项中，共有，共有674组这样的数，
∴前2023项的和为．
故答案为：．
【分析】根据题意，先找出规律：该组数以3个为一组进行循环，一组循环数的和为，再求解即可。
11．（2022·楚雄模拟）下面是按一定规律排列的代数式：，，，，，则第13个代数式是 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：通过排列的单项式可以看出，其系数与它的序号之间的关系是；
而字母指数与序号之间的关系为，
所以第n个代数式可表示为，
所以第13个代数式是．
故答案为：
【分析】先求出前几项中数据与序号的关系可得规律第n个代数式可表示为，再求解即可。
12．（2022·玉溪模拟）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算：＝ （n为正整数）．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式=2（1-）+2（-）+2（-）…+2（-）
=2（1-）
=．
【分析】将代数式变形为2（1-）+2（-）+2（-）…+2（-）=2（1-），再计算即可。
13．（2022·达州）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
【答案】5050
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
【分析】先根据a和b的值求得ab==1，再根据S1=+==1，S2=+==2，继而得出Sn=n，从而得到S100=100，进而求出S1+S2+…S100的和即可.
三、综合题
14．（2023·黄山模拟）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
······
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2）解：，
证明：左边
右边；
猜想成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
故答案为：；
【分析】（1）根据前几项中的数据与系数的关系求解即可；
（2）先求出规律，再证明即可。
15．（2023·包河模拟）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2）解：第个等式：；证明如下：
第1个等式：，即，
第2个等式：，即，
第3个等式：，即，
第4个等式：，即，
第5个等式：，即
……
∴可推导一般性规律为：第个等式：，
∵，
∴第个等式：．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意知，第6个等式：，
故答案为：；
【分析】（1）观察等式，找出规律求解即可；
（2）先求出 第个等式：， 再求解即可。
16．（2023·安庆模拟）观察下列式子：
···
根据上述规律，回答下列问题：
（1）请把第4个式子补充完整： ；
（2）通过以上算式，我们发现若用来表示个位数字是5的两位数，它的平方有一定的规律，请写出猜想并证明.
【答案】（1）（4×5)×100+25
（2）解：猜想：，
证明：左边==右边，
∴等式成立
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）
【分析】（1）观察所给的式子，找出规律求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求解即可。
17．（2023·蜀山模拟）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
①
②
③
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）20
（2）
（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：20
（2）解：
；
故答案为：
（3）解：
故答案为：
【分析】（1）根据题干中的计算方法将代数式变形，再计算即可；
（2）方法同（1），先变形，再计算即可；
（3）先利用规律将代数式变形，再计算即可。
18．（2023·安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2）解：由（1）猜想第个等式为；证明如下：
∵左边右边，
∴等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由已知等式可知：等式左边括号外分数的分子为等式的序号加1，分母为序号加2，括号内分数的分母为序号加1；等式右边为1，
∴第5个等式：；
故答案为：；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中数据与序号的关系直接写出规律即可。
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