2023年中考数学探究性试题复习2 图形规律
一、单选题
1．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
3．（2022七下·重庆开学考）如图，小明用棋子摆了几个“开”字，其中第①个“开”字用了14个棋子，第②个“开”字用了20个棋子，第③个“开”字用了26个棋子…，照此规律继续摆下去，第7个图需用到的棋子数为（ ）
A．38 B．44 C．50 D．56
4．（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 1个菱形，第②个图案中有 3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
5．（2023·昭通模拟）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．33 C．37 D．41
6．（2023·天河模拟）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2023个这样的小正方形需要小棒（ ）
A．6068根 B．6069根 C．6070根 D．6071根
7．（2023·封丘模拟）将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2019秒时，点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·临淄模拟）如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边1，，上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2022·荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·金乡县模拟）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为 ．
12．（2022·盐城）《庄子 天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为 ．
13．（2023·东阿模拟）如图，正方形中，，与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ．
14．（2023·遵义模拟）如图，正方形的中心与坐标原点O重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点C逆时针旋转得点，再将绕点D逆时针旋转得点，再将绕点A逆时针旋转得点……依此类推，则点的坐标是 .
15．（2023·宾阳模拟）在平面直角坐标系中，记直线为l.点是直线l与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线l于点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形.则点的坐标是 .
16．（2023·内江模拟）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点P的坐标是 .
17．（2022·锦州）如图，为射线上一点，为射线上一点，．以为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；…，按此规律进行下去，则的面积 ．
18．（2023·城阳模拟）如图，在中，，，，点D、点E、点F分别是，，边的中点，连接、，得到，它的面积记作S；点、点、点分别是，，边的中点，连接、，得到，它的面积记作，照此规律作下去，则 ．
19．（2023·原平模拟）如图所示的是一组有规律的图案，则第n个图案中“”的个数为 ．（用含n的代数式表示）
20．（2023·包头模拟）在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．
21．（2023·绥化模拟）如图，，，，分别为菱形各边的中点，连接，，，得四边形，以此类推得四边形……若菱形的面积为，则四边形的面积为 ．
22．（2023·鄱阳模拟）如图所示的是由一些火柴棒摆成的图案：摆第1个图案用了5根火柴，摆第2个图案用了9根火柴，摆第3个图案用了13根火柴……按照这种方式摆下去，摆第10个图案需要用的火柴棒根数是 ．
23．（2023·太谷模拟）某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用84个三角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有 个．
三、综合题
24．（2023·亳州模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中：
第1个图案中基本图形的个数：，
第2个图案中基本图形的个数：，
第3个图案中基本图形的个数：，
第4个图案中基本图形的个数：，
…
按此规律排列，解决下列问题：
（1）写出第5个图案中基本图形的个数： ＝ ；
（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．
25．（2023·来安模拟）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务．
（1）图案4中，空心圆有 个；图案中实心圆有 个时，空心圆有 个；
（2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由．
26．（2023·全椒模拟）在美术课上，小明设计如图所示的图案，每个图案都是由白点和黑点组成，归纳图案中的规律，完成下列问题．
（1）在图5中，白点有 个，黑点有 个；图中，白点有 个，黑点有 个；
（2）在图中，若白点和黑点共有169个，求的值．
27．（2023·太和模拟）为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示．
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推
【规律总结】
（1）第5个图案有 个正三角形
（2）第n个图案中有 个正三角形，（用含n的代数式表示）
（3）【问题解决】
现有2023个正三角形，若按此规律拼第n个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？
28．（2023·秦皇岛模拟）为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）．
（1）填写下表：
每条边上摆放的盆数（n） 2 3 4 5 6 …
需要的鲜花总盆数（y） 3 6 9 …
（2）写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：
（3）能否用2023盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；锐角三角函数的定义；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥x于F，过点D6作D6F6⊥y轴于点F6，
将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，
∵360°÷45°=8，
∵当n=2022时，2022÷8=252· · ·6，
则D2022的坐标与D6的坐标相同，
∵∠DOD6=2×45°=90°，
则OD⊥OD，
∵OE=DE=2，OD= OD，
∴△ODF≌△△OD6F6，
∴DF=D6F6，OF= O6F6，
∵正六边形OABCDE的一 个外角，
∴DF=DEsin∠DEF=2×=，
∴∠DEO=180°-∠DEF=120°，DE= EO，
∴∠DOF=30°，
∴，
∴D6F6= DF= ， OF6=OF=3，
∴D6（-，-3），
∴D2022（-，-3），
故答案为：A.
【分析】由于正六边形每次转45°，根据2022÷8=252· · ·6，则D2022的坐标与D6的坐标相同，求得D6的坐标，即可解答.
2．【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故答案为：B．
【分析】根据所给的图形，找出规律求出第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，再求解即可。
3．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1个图需用到的棋子数为 ，
第2个图需用到的棋子数为 ，
第3个图需用到的棋子数为 ，
……，
由此发现规律，第n个图需用到的棋子数为8+6n，
所以第7个图需用到的棋子数为 .
故答案为：C.
【分析】根据图形可得后一个图形比前一个图形多用6个棋子，据此推出第n个图需用到的棋子数，据此解答.
4．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第①个图案的菱形个数=1=2×1-1，
第②个图案的菱形个数=3=2×2-1
第③个图案的菱形个数=5=2×3-1
∴第n个图案的菱形个数=2×n-1，
∴第⑥个图案的菱形个数=2×6-1=11.
故答案为：C.
【分析】根据图案增加菱形的个数，列出前三个图案中菱形的个数，得出第n个图案的菱形个数=2×n-1，代入n=6，即可得出正确结果.
5．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题知，第①个图案中有个正方形，
第②个图案中有个正方形，
第③个图案中有个正方形，
第④个图案中有个正方形，
…，
第个图形中有个正方形，
∴第⑩个图案中正方形的个数为，
故答案为：D．
【分析】根据图形变化规律得出第n个图形中有（4n+1）个正方形即可
6．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：搭2个正方形需要根火柴棒；
搭3个正方形需要根火柴棒；
，
搭个这样的正方形需要根火柴棒，
搭2023个这样的正方形需要（根）火柴棒．
故答案为：C．
【分析】根据前几项中数据与序号的关系可得规律搭个这样的正方形需要根火柴棒，再求解即可。
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB，垂足为C，
，，
∴，
∴，
∴，
将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，
第3秒时，旋转了180°，
则A'与A关于原点对称，A'的坐标为，
三角板每秒旋转60°，
点A'的位置6秒一循环.
，
第2019秒时，点A的对应点A'的坐标为.
故答案为：C.
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为C，由含30°角直角三角形的性质得AC=3，进而用勾股定理算出OC的长，从而得出点A的坐标为，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，第3秒时，旋转了180°，则A'与A关于原点对称，A'的坐标为，根据旋转的速度得点A'的位置6秒一循环，又由于2019=3+336×6，从而可得第2019秒时，点A的对应点A'的坐标为.
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵边上的高，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴和的相似比为，
同理：和的相似比为，
∴和的相似比为，
依此得：和的相似比为，
∴和的相似比为，
∴，即，
∴，
故答案为：D．
【分析】先求出规律和的相似比为，再求出，即，最后求出即可。
9．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；探索图形规律；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC，BD， A1C1 ， B1D1 .
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， .
∵ ， ， ， 分别是矩形四个边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形A1B1C1D1是菱形，
∵ ， ，
∴四边形A1B1C1D1的面积为： .
同理，由中位线的性质可知，
， ，
， ，
∴四边形A2B2C2D2是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形A2B2C2D2是矩形，
∴四边形A2B2C2D2的面积为： .
∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
∴四边形AnBnCnDn的面积是 .
故答案为：A.
【分析】连接AC，BD，A1C1 ， B1D1 ，易证四边形A1B1C1D1是菱形，可得四边形A1B1C1D1 的面积为矩形ABCD面积的一半，则四边形A1B1C1D1 的面积=ab，易证四边形A2B2C2D2是矩形，可得矩形A2B2C2D2的面积=，从而得出每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，据此即可求解.
10．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE=∠FED=∠BCD=120°，AB=AF=EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN=a，
∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=GF=a，
同理IN=a，
∴GI=a+a+a=a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；
第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；
第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，
即第六个正六边形的边长是×a，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出∠AFD=∠ABD=90°，再利用全等三角形的判定方法证明Rt△ABD≌Rt△AFD，最后找出规律求解即可。
11．【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵Cn的位置按4次一周的规律循环出现，
∴2022÷4=5052，
∴C2022在第二象限，
∵点C1是A1B1的中点，C2是A2B2的中点，
∴；
；
∴点，
∴.
故答案为：.
【分析】观察图形可知Cn的位置按4次一周的规律循环出现，利用第二象限的点A2，B2的坐标，可求出点C2的坐标；再分别求出点C6，C10坐标，可得到点Cn的坐标，代入n=2022，可求出结果.
12．【答案】2
【知识点】探索图形规律；一次函数的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：直线与y轴的夹角是45°，
，，…都是等腰直角三角形，
，，，…
点A的坐标为(0，1)，点O1的坐标为1，
当时，，点的坐标为，
，
点的横坐标，
当时，，
点的坐标为，
，……
以此类推，得，，，，……，，
，
的最小值为2．
故答案为：2.
【分析】易得△OAO1、△O1A1O2……都是等腰Rt△，则OA=O1A，O1A1=O2A1，O2A2=O3A2，表示出点A1、A2的坐标，推出OA=a1=1，O1A1=a2=，O2A2=a3=，O3A3=a4=，On-1An-1=an=，据此计算.
13．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
同理可证：，
，
．．．．．．
，
，
．
故答案为：．
【分析】先求出规律，再求出，将数据代入可得。
14．【答案】(-2023，-2024)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵将顶点绕点逆时针旋转得点，
∴，
∵再将绕点B逆时针旋转得点，再将绕点C逆时针旋转得点，再将绕点D逆时针旋转得点，再将绕点A逆时针旋转得点……
∴，，，，，……
观察发现，每四个点一个循环，其中，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】由题意可得：D1（1，2），D2（-3，2），D3（-3，-4），D4（5，-4），D5（5，6），D6（-7，6），表示出D4n+3，然后求出2023÷4的商与余数，据此解答.
15．【答案】
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；探索图形规律
【解析】【解答】解：把代入直线，得：，
所以点的坐标是，
把代入直线，得：，
所以点的坐标是，
同理点的坐标是；点的坐标是；
由以上得出规律是的坐标为.
所以点的坐标是
故答案为：.
【分析】把x=0代入y=x+1中可求出y的值，得到点B1的坐标，同理可得点B2、B3、B4的坐标，进而推出点Bn的坐标，据此解答.
16．【答案】（2023，2）
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……，
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），
∵2023÷4＝4×505......3，
∴第2023次接着运动到点（2023，2），
故答案为：（2023，2）.
【分析】由题意可知：第1、2、3、4、5、6次运动到的点的坐标，推出第4n、4n+1、4n+2、4n+3次运动到的点的坐标，据此解答.
17．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：过点作于点D，连接，分别作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵菱形A1B1C1D1，且，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
由上可得：，，
∴，
故答案为．
【分析】先求出规律，，再将n=2022代入计算即可。
18．【答案】/
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】∵在中，，，
∵点D、点E、点F分别是，，边的中点
，，，
同理可得，即
，即
……
故答案为：
【分析】先求出规律，即，再将数据代入求出即可。
19．【答案】/
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察图形，找出规律即可．
观察发现：
第一个图形有个，
第二个图形有个，
第三个图形有个，
…，
第n个图形个，
故答案为：或．
【分析】 观察已知图形中“”的个数 ，可得规律第n个图形个.
20．【答案】
【知识点】探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∵点均在一次函数的图象上，
∴将代入得：
解得：
∴
∴点均在一次函数的图象上，
∴当时，
∴
∵
∴
∴
由图可知：
，即的横坐标与的横坐标相等
∴当时，
∴点
故答案为：
【分析】根据题意找出规律，先求出，再求出的横坐标与的横坐标相等，最后求点的坐标即可。
21．【答案】
【知识点】菱形的性质；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：为的中点，为的中点，
，
又为菱形，
，
，又，
四边形为平行四边形，
，
又，
，
又，，
为平行四边形，
，又为的中点，
为的中点，
同理为的中点，为的中点，为的中点，
， ，
又和都为梯形，且高与平行四边形的高相等(设高为)，
下底与平行四边形的边与相等(设)，
，
即，
又，
同理得出，
，
四边形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出为的中点，再求出，最后求面积即可。
22．【答案】41
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：观察图形，得
图①用了5根火柴，即，
图②用了9根火柴，即，
图③用了13根火柴，即，
…
图n用了根火柴，
当时，，
所以摆第10个图案需要用的火柴棒根数是41．
故答案为：41．
【分析】观察已知图形中火柴的个数，从而得出图n用了根火柴，继而求解.
23．【答案】40
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：步道上总共使用连续排列的正方形地砖：（个）．
故答案为：∶40
【分析】中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得出正方形的个数×（84-3-1），据此计算即可.
24．【答案】（1）5+2×6；17
（2）解：由（1）可知，第n个图案中基本图形的个数为，
∴，
∴
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）∵第1个图案中基本图形的个数：，
第2个图案中基本图形的个数：，
第3个图案中基本图形的个数：，
第4个图案中基本图形的个数：，
∴第5个图案中基本图形的个数：，
故答案为：5+2×6，17；
【分析】（1）根据所给的图案，求出第5个图案中基本图形的个数：，即可作答；
（2）先找出规律，求出 第n个图案中基本图形的个数为， 再求解即可。
25．【答案】（1）20；；（4n+4）
（2）解：存在，理由如下：
根据题意，得：，
整理，得，
解得（舍去）或，
故第6个图案中实心圆比空心圆多8个．
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个，
图案2空心圆有个，实心圆有个，
图案3空心圆有个，实心圆有个，
∴图案中实心圆有个，空心圆有个，
∴图案4中，空心圆有个，
故答案为：20；，
【分析】（1）根据题意先求出图案中实心圆有个，空心圆有个，再求解即可；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
26．【答案】（1）24；25；4(n+1)；
（2）解：由题意得：，即，
解得（不符合题意，舍去），
故的值为11．
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：图1中白点数量为个，黑点数量为个，
图2中白点数量为个，黑点数量为个，
图3中白点数量为个，黑点数量为个，
图4中白点数量为个，黑点数量为个，
则图5中白点数量为个，黑点数量为个，
归纳类推得：图中，白点有个，黑点有个，
故答案为：24，25，4(n+1)，．
【分析】（1）根据所给的图案找出规律计算求解即可；
（2）根据 白点和黑点共有169个， 求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
27．【答案】（1）16
（2）（3n+1）
（3）解：令，
解得，
由图形可以发现第n个图形中有n个正方形，
∴该图案需要正方形674个．
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，发现正三角形的数量依次增加3，
∴第5个图案有16个正三角形．
（2）依据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3，
可得第n个图案中有个正三角形．
【分析】（1）根据前几项中图象的数量与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中图象的数量与序号的关系可得规律；
（3）根据题意列出方程，再求出n的值即可。
28．【答案】（1）12；15
（2）y=3(n-1)
（3）解：把代入，则，，，
∵不是整数，
∴不能用2023盆鲜花作出符合要求的摆放
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：由图知，每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，，，
故答案为：12，15；
（2）解：每条边摆两个，则，
每条边摆3个，则，
每条边摆4个，则，
…
每条边摆n个，则，
故答案为：y=3(n-1)．
【分析】（1）由图知，每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，据此即得结论；
（2）由（1）发现的规律即得结论；
（3）根据题意把2022代入y=3(n-1)中，求出n值，即可判断.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习2 图形规律
一、单选题
1．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；锐角三角函数的定义；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥x于F，过点D6作D6F6⊥y轴于点F6，
将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，
∵360°÷45°=8，
∵当n=2022时，2022÷8=252· · ·6，
则D2022的坐标与D6的坐标相同，
∵∠DOD6=2×45°=90°，
则OD⊥OD，
∵OE=DE=2，OD= OD，
∴△ODF≌△△OD6F6，
∴DF=D6F6，OF= O6F6，
∵正六边形OABCDE的一 个外角，
∴DF=DEsin∠DEF=2×=，
∴∠DEO=180°-∠DEF=120°，DE= EO，
∴∠DOF=30°，
∴，
∴D6F6= DF= ， OF6=OF=3，
∴D6（-，-3），
∴D2022（-，-3），
故答案为：A.
【分析】由于正六边形每次转45°，根据2022÷8=252· · ·6，则D2022的坐标与D6的坐标相同，求得D6的坐标，即可解答.
2．（2022·济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故答案为：B．
【分析】根据所给的图形，找出规律求出第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，再求解即可。
3．（2022七下·重庆开学考）如图，小明用棋子摆了几个“开”字，其中第①个“开”字用了14个棋子，第②个“开”字用了20个棋子，第③个“开”字用了26个棋子…，照此规律继续摆下去，第7个图需用到的棋子数为（ ）
A．38 B．44 C．50 D．56
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1个图需用到的棋子数为 ，
第2个图需用到的棋子数为 ，
第3个图需用到的棋子数为 ，
……，
由此发现规律，第n个图需用到的棋子数为8+6n，
所以第7个图需用到的棋子数为 .
故答案为：C.
【分析】根据图形可得后一个图形比前一个图形多用6个棋子，据此推出第n个图需用到的棋子数，据此解答.
4．（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 1个菱形，第②个图案中有 3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第①个图案的菱形个数=1=2×1-1，
第②个图案的菱形个数=3=2×2-1
第③个图案的菱形个数=5=2×3-1
∴第n个图案的菱形个数=2×n-1，
∴第⑥个图案的菱形个数=2×6-1=11.
故答案为：C.
【分析】根据图案增加菱形的个数，列出前三个图案中菱形的个数，得出第n个图案的菱形个数=2×n-1，代入n=6，即可得出正确结果.
5．（2023·昭通模拟）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．33 C．37 D．41
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题知，第①个图案中有个正方形，
第②个图案中有个正方形，
第③个图案中有个正方形，
第④个图案中有个正方形，
…，
第个图形中有个正方形，
∴第⑩个图案中正方形的个数为，
故答案为：D．
【分析】根据图形变化规律得出第n个图形中有（4n+1）个正方形即可
6．（2023·天河模拟）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2023个这样的小正方形需要小棒（ ）
A．6068根 B．6069根 C．6070根 D．6071根
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：搭2个正方形需要根火柴棒；
搭3个正方形需要根火柴棒；
，
搭个这样的正方形需要根火柴棒，
搭2023个这样的正方形需要（根）火柴棒．
故答案为：C．
【分析】根据前几项中数据与序号的关系可得规律搭个这样的正方形需要根火柴棒，再求解即可。
7．（2023·封丘模拟）将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2019秒时，点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB，垂足为C，
，，
∴，
∴，
∴，
将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，
第3秒时，旋转了180°，
则A'与A关于原点对称，A'的坐标为，
三角板每秒旋转60°，
点A'的位置6秒一循环.
，
第2019秒时，点A的对应点A'的坐标为.
故答案为：C.
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为C，由含30°角直角三角形的性质得AC=3，进而用勾股定理算出OC的长，从而得出点A的坐标为，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，第3秒时，旋转了180°，则A'与A关于原点对称，A'的坐标为，根据旋转的速度得点A'的位置6秒一循环，又由于2019=3+336×6，从而可得第2019秒时，点A的对应点A'的坐标为.
8．（2023·临淄模拟）如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边1，，上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵边上的高，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴和的相似比为，
同理：和的相似比为，
∴和的相似比为，
依此得：和的相似比为，
∴和的相似比为，
∴，即，
∴，
故答案为：D．
【分析】先求出规律和的相似比为，再求出，即，最后求出即可。
9．（2022·荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；探索图形规律；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC，BD， A1C1 ， B1D1 .
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， .
∵ ， ， ， 分别是矩形四个边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形A1B1C1D1是菱形，
∵ ， ，
∴四边形A1B1C1D1的面积为： .
同理，由中位线的性质可知，
， ，
， ，
∴四边形A2B2C2D2是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形A2B2C2D2是矩形，
∴四边形A2B2C2D2的面积为： .
∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
∴四边形AnBnCnDn的面积是 .
故答案为：A.
【分析】连接AC，BD，A1C1 ， B1D1 ，易证四边形A1B1C1D1是菱形，可得四边形A1B1C1D1 的面积为矩形ABCD面积的一半，则四边形A1B1C1D1 的面积=ab，易证四边形A2B2C2D2是矩形，可得矩形A2B2C2D2的面积=，从而得出每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，据此即可求解.
10．（2022·金乡县模拟）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE=∠FED=∠BCD=120°，AB=AF=EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN=a，
∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=GF=a，
同理IN=a，
∴GI=a+a+a=a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；
第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；
第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，
即第六个正六边形的边长是×a，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出∠AFD=∠ABD=90°，再利用全等三角形的判定方法证明Rt△ABD≌Rt△AFD，最后找出规律求解即可。
二、填空题
11．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵Cn的位置按4次一周的规律循环出现，
∴2022÷4=5052，
∴C2022在第二象限，
∵点C1是A1B1的中点，C2是A2B2的中点，
∴；
；
∴点，
∴.
故答案为：.
【分析】观察图形可知Cn的位置按4次一周的规律循环出现，利用第二象限的点A2，B2的坐标，可求出点C2的坐标；再分别求出点C6，C10坐标，可得到点Cn的坐标，代入n=2022，可求出结果.
12．（2022·盐城）《庄子 天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】探索图形规律；一次函数的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：直线与y轴的夹角是45°，
，，…都是等腰直角三角形，
，，，…
点A的坐标为(0，1)，点O1的坐标为1，
当时，，点的坐标为，
，
点的横坐标，
当时，，
点的坐标为，
，……
以此类推，得，，，，……，，
，
的最小值为2．
故答案为：2.
【分析】易得△OAO1、△O1A1O2……都是等腰Rt△，则OA=O1A，O1A1=O2A1，O2A2=O3A2，表示出点A1、A2的坐标，推出OA=a1=1，O1A1=a2=，O2A2=a3=，O3A3=a4=，On-1An-1=an=，据此计算.
13．（2023·东阿模拟）如图，正方形中，，与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
同理可证：，
，
．．．．．．
，
，
．
故答案为：．
【分析】先求出规律，再求出，将数据代入可得。
14．（2023·遵义模拟）如图，正方形的中心与坐标原点O重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点C逆时针旋转得点，再将绕点D逆时针旋转得点，再将绕点A逆时针旋转得点……依此类推，则点的坐标是 .
【答案】(-2023，-2024)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵将顶点绕点逆时针旋转得点，
∴，
∵再将绕点B逆时针旋转得点，再将绕点C逆时针旋转得点，再将绕点D逆时针旋转得点，再将绕点A逆时针旋转得点……
∴，，，，，……
观察发现，每四个点一个循环，其中，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】由题意可得：D1（1，2），D2（-3，2），D3（-3，-4），D4（5，-4），D5（5，6），D6（-7，6），表示出D4n+3，然后求出2023÷4的商与余数，据此解答.
15．（2023·宾阳模拟）在平面直角坐标系中，记直线为l.点是直线l与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线l于点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形.则点的坐标是 .
【答案】
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；探索图形规律
【解析】【解答】解：把代入直线，得：，
所以点的坐标是，
把代入直线，得：，
所以点的坐标是，
同理点的坐标是；点的坐标是；
由以上得出规律是的坐标为.
所以点的坐标是
故答案为：.
【分析】把x=0代入y=x+1中可求出y的值，得到点B1的坐标，同理可得点B2、B3、B4的坐标，进而推出点Bn的坐标，据此解答.
16．（2023·内江模拟）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点P的坐标是 .
【答案】（2023，2）
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……，
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），
∵2023÷4＝4×505......3，
∴第2023次接着运动到点（2023，2），
故答案为：（2023，2）.
【分析】由题意可知：第1、2、3、4、5、6次运动到的点的坐标，推出第4n、4n+1、4n+2、4n+3次运动到的点的坐标，据此解答.
17．（2022·锦州）如图，为射线上一点，为射线上一点，．以为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；…，按此规律进行下去，则的面积 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：过点作于点D，连接，分别作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵菱形A1B1C1D1，且，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
由上可得：，，
∴，
故答案为．
【分析】先求出规律，，再将n=2022代入计算即可。
18．（2023·城阳模拟）如图，在中，，，，点D、点E、点F分别是，，边的中点，连接、，得到，它的面积记作S；点、点、点分别是，，边的中点，连接、，得到，它的面积记作，照此规律作下去，则 ．
【答案】/
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】∵在中，，，
∵点D、点E、点F分别是，，边的中点
，，，
同理可得，即
，即
……
故答案为：
【分析】先求出规律，即，再将数据代入求出即可。
19．（2023·原平模拟）如图所示的是一组有规律的图案，则第n个图案中“”的个数为 ．（用含n的代数式表示）
【答案】/
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察图形，找出规律即可．
观察发现：
第一个图形有个，
第二个图形有个，
第三个图形有个，
…，
第n个图形个，
故答案为：或．
【分析】 观察已知图形中“”的个数 ，可得规律第n个图形个.
20．（2023·包头模拟）在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∵点均在一次函数的图象上，
∴将代入得：
解得：
∴
∴点均在一次函数的图象上，
∴当时，
∴
∵
∴
∴
由图可知：
，即的横坐标与的横坐标相等
∴当时，
∴点
故答案为：
【分析】根据题意找出规律，先求出，再求出的横坐标与的横坐标相等，最后求点的坐标即可。
21．（2023·绥化模拟）如图，，，，分别为菱形各边的中点，连接，，，得四边形，以此类推得四边形……若菱形的面积为，则四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：为的中点，为的中点，
，
又为菱形，
，
，又，
四边形为平行四边形，
，
又，
，
又，，
为平行四边形，
，又为的中点，
为的中点，
同理为的中点，为的中点，为的中点，
， ，
又和都为梯形，且高与平行四边形的高相等(设高为)，
下底与平行四边形的边与相等(设)，
，
即，
又，
同理得出，
，
四边形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出为的中点，再求出，最后求面积即可。
22．（2023·鄱阳模拟）如图所示的是由一些火柴棒摆成的图案：摆第1个图案用了5根火柴，摆第2个图案用了9根火柴，摆第3个图案用了13根火柴……按照这种方式摆下去，摆第10个图案需要用的火柴棒根数是 ．
【答案】41
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：观察图形，得
图①用了5根火柴，即，
图②用了9根火柴，即，
图③用了13根火柴，即，
…
图n用了根火柴，
当时，，
所以摆第10个图案需要用的火柴棒根数是41．
故答案为：41．
【分析】观察已知图形中火柴的个数，从而得出图n用了根火柴，继而求解.
23．（2023·太谷模拟）某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用84个三角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有 个．
【答案】40
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：步道上总共使用连续排列的正方形地砖：（个）．
故答案为：∶40
【分析】中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得出正方形的个数×（84-3-1），据此计算即可.
三、综合题
24．（2023·亳州模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中：
第1个图案中基本图形的个数：，
第2个图案中基本图形的个数：，
第3个图案中基本图形的个数：，
第4个图案中基本图形的个数：，
…
按此规律排列，解决下列问题：
（1）写出第5个图案中基本图形的个数： ＝ ；
（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．
【答案】（1）5+2×6；17
（2）解：由（1）可知，第n个图案中基本图形的个数为，
∴，
∴
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）∵第1个图案中基本图形的个数：，
第2个图案中基本图形的个数：，
第3个图案中基本图形的个数：，
第4个图案中基本图形的个数：，
∴第5个图案中基本图形的个数：，
故答案为：5+2×6，17；
【分析】（1）根据所给的图案，求出第5个图案中基本图形的个数：，即可作答；
（2）先找出规律，求出 第n个图案中基本图形的个数为， 再求解即可。
25．（2023·来安模拟）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务．
（1）图案4中，空心圆有 个；图案中实心圆有 个时，空心圆有 个；
（2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由．
【答案】（1）20；；（4n+4）
（2）解：存在，理由如下：
根据题意，得：，
整理，得，
解得（舍去）或，
故第6个图案中实心圆比空心圆多8个．
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个，
图案2空心圆有个，实心圆有个，
图案3空心圆有个，实心圆有个，
∴图案中实心圆有个，空心圆有个，
∴图案4中，空心圆有个，
故答案为：20；，
【分析】（1）根据题意先求出图案中实心圆有个，空心圆有个，再求解即可；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
26．（2023·全椒模拟）在美术课上，小明设计如图所示的图案，每个图案都是由白点和黑点组成，归纳图案中的规律，完成下列问题．
（1）在图5中，白点有 个，黑点有 个；图中，白点有 个，黑点有 个；
（2）在图中，若白点和黑点共有169个，求的值．
【答案】（1）24；25；4(n+1)；
（2）解：由题意得：，即，
解得（不符合题意，舍去），
故的值为11．
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：图1中白点数量为个，黑点数量为个，
图2中白点数量为个，黑点数量为个，
图3中白点数量为个，黑点数量为个，
图4中白点数量为个，黑点数量为个，
则图5中白点数量为个，黑点数量为个，
归纳类推得：图中，白点有个，黑点有个，
故答案为：24，25，4(n+1)，．
【分析】（1）根据所给的图案找出规律计算求解即可；
（2）根据 白点和黑点共有169个， 求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
27．（2023·太和模拟）为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示．
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推
【规律总结】
（1）第5个图案有 个正三角形
（2）第n个图案中有 个正三角形，（用含n的代数式表示）
（3）【问题解决】
现有2023个正三角形，若按此规律拼第n个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？
【答案】（1）16
（2）（3n+1）
（3）解：令，
解得，
由图形可以发现第n个图形中有n个正方形，
∴该图案需要正方形674个．
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，发现正三角形的数量依次增加3，
∴第5个图案有16个正三角形．
（2）依据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3，
可得第n个图案中有个正三角形．
【分析】（1）根据前几项中图象的数量与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中图象的数量与序号的关系可得规律；
（3）根据题意列出方程，再求出n的值即可。
28．（2023·秦皇岛模拟）为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）．
（1）填写下表：
每条边上摆放的盆数（n） 2 3 4 5 6 …
需要的鲜花总盆数（y） 3 6 9 …
（2）写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：
（3）能否用2023盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）12；15
（2）y=3(n-1)
（3）解：把代入，则，，，
∵不是整数，
∴不能用2023盆鲜花作出符合要求的摆放
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：由图知，每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，，，
故答案为：12，15；
（2）解：每条边摆两个，则，
每条边摆3个，则，
每条边摆4个，则，
…
每条边摆n个，则，
故答案为：y=3(n-1)．
【分析】（1）由图知，每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，据此即得结论；
（2）由（1）发现的规律即得结论；
（3）根据题意把2022代入y=3(n-1)中，求出n值，即可判断.
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