2023年中考数学探究性试题复习3 新定义
一、单选题
1．（2023·历城模拟）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（-1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2-2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．-1≤a＜0 B．-2≤a＜-1 C．-1≤a＜ D．-2≤a＜0
【答案】B
【知识点】定义新运算；通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2-2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x-1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝-1时，y＝4a+2＜0
即：，
解得-2≤a＜-1
故答案为：B．
【分析】先求出M和N两点关于x＝1对称，再结合函数图象判断求解即可。
2．（2023·广西模拟）对于任意实数m，n，如果满足，那么称这一对数m，n为“完美数对”，记为.若是“完美数对”，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】定义新运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：由题意得：，即，
则，
，
，
，
；
故答案为：A.
【分析】由 “完美数对” 的定义可得，整理原式可得，再整体代入计算即可.
3．（2023·黔江模拟）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{-1，2，3}＝，min{-1，2，3}＝-1，max{-2，-1，a}＝.
下列判断：
①P；②max；③若min{2，2x+2，4-2x}＝2，则0＜x＜1；④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1；⑤max{x+1，（x-1）2，2-x}的最小值为.其中正确的是（ ）
A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤
【答案】D
【知识点】定义新运算；平均数及其计算
【解析】【解答】解：①P，故①错误；
②-3，-，-π三个数中最大的数-，故②正确；
③若min{2，2x+2，4-2x}＝2，则，解得0≤x≤1，故③错误；
④P{2，x+1，2x}＝x+1，
若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，则min{2，x+1，2x}＝x+1，
即，解得x＝1，故④正确；
⑤作出y＝x+1，y＝（x-1）2，y＝2-x的图象.
由图可知max{x+1，（x-1）2，2-x}的最小值为三个函数图象的交点中，纵坐标最小的点的纵坐标，为，故⑤正确；
故答案为：D.
【分析】根据平均数的计算方法可判断①；根据定义的新运算可判断②；根据定义的新运算结合③可得，求出x的范围，据此判断；根据平均数的计算方法结合定义的新运算可得，求出x的范围，据此判断④；作出y＝x+1，y＝(x-1)2，y＝2-x的图象，由图可知max{x+1，(x-1)2，2-x}的最小值为三个函数图象的交点中，纵坐标最小的点的纵坐标，据此判断⑤.
4．（2022·娄底）若，则称是以10为底的对数.记作：.例如：，则；，则.对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】原式可边形为lg5(lg5+lg2)+lg2，然后结合lgM+LGN=lg(MN)进行计算.
5．（2022·重庆）对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n = x-y-z+m-n，……，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；定义新运算；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：若原多项式为x-y-z-m-n，“加算操作后”为(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，
①令x-y-z-m-n=x-y-z+m+n，
∴m+n=0，
∴当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等，
∴①说法符合题意；
②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0，
即“加算操作后”的结果=-（x-y-z-m-n）=-x+y+z+m+n，
显然-x+y+z+m+n≠x-y-z+m+n，
∴不存在任何“加算操作后”的结与原多项式的和为0，
∴②说法符合题意；
③由①可知，存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，即为第1种；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第4种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第5种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n，
∴③说法符合题意，
∴①②③说法正确.
故答案为：D.
【分析】①列出加算操作后”的结果与原来多项式相等的式子，即x-y-z-m-n=x-y-z+m+n，当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等；②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0，即二者互为相反数，表示出原多项式的相反数后即为“加算操作后”的结果，与加算操作后”的结果比较，显然不相等；③对原多项式从左往右分别加括号，结合①存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，可得所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．据此逐项分析判断即可得出正确答案.
二、填空题
6．（2023·临淄模拟）华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线的图象与f的图象关于直线对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为．若抛物线与g的图象关于对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；定义新运算
【解析】【解答】解：设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，
把，代入得∶
∴，
故答案为：∶．
【分析】设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，再将，代入可得，从而得解。
7．（2023·东莞模拟）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
新运算
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③．
其中正确的是 ．
【答案】①③
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：
①，，故①符合题意；
②，，故②不符合题意；
③，，故③符合题意；
所以，正确的是①③，
故答案为：①③．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
8．（2023·嘉祥模拟）若a是不为2的有理数我们把称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是；的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”， 是的“哈利数”，以此类推， ．
【答案】/0.5
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出前几项中数据与序号的关系可得规律，再求解即可。
9．（2023·商河模拟）对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．计算 ．
【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：
故答案为：0．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
10．（2023·平阴模拟）平面直角坐标系中，若点P的坐标为，点Q的坐标为，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点的3级派生点是，即．如图点是点的级派生点，点A在x轴上，且，则点A的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
设点，
由得：，
解得：或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】先求出点P的坐标，设点，再结合得，求出k的值即可。
11．（2023·济阳模拟）我们规定：使得成立的一对数a，b为“差积等数对”，记为．例如，因为，，所以数对，都是“差积等数对”，若是“差积等数对”，则k的值是 ．
【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵是“差积等数对”，
∴由题意可得，，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】根据“差积等数对”的定义可得，再求出k的值即可。
12．（2023·奉贤模拟）我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为，其变形后的平行四边形的面积为，那么这个平行四边形的“变形系数”是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：如图所示，设矩形的长为a，宽为b，过点作于E，设，
∴，，
∴，，则，，
在中，，
∴，即“变形系数”为，
故答案为：．
【分析】设矩形的长为a，宽为b，过点作于E，设，求出，，则，，利用勾股定理求出，再求出即可得到答案。
13．（2022·松江模拟）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点、称的值为P、Q两点的“直角距离”．直线与坐标轴交于A、B两点，Q为线段上与点A、B不重合的一点，那么O、Q两点的“直角距离”是 ．
【答案】5
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意知，设，
∴O、Q两点的“直角距离”是：，
将代入得，，故；
将代入得，，解得：，故；
∵Q为线段上与点A、B不重合的一点，
∴
∴
故答案为：5．
【分析】先求出点A、B的坐标，再结合“Q为线段上与点A、B不重合的一点”，可得，最后求出即可。
三、综合题
14．（2023·保定模拟）定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．
例如，三位正整数234，因为，所以234是“半和数”．
（1）判断147是否为“半和数”，并说明理由；
（2）小林列举了几个“半和数”：111、123、234、840…，并且她发现：，，，…，所以她猜测任意一个“半和数”都能被3整除．小林的猜想正确吗？若正确，请你帮小林说明该猜想的正确性；若错误，说明理由．
【答案】（1）解：∵147的百位数字为1，十位数字为4，个位数字为7，且，
∴147是“半和数”；
（2）解：小林的猜想正确．
理由：设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为整数，且m不为0），
则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为：
，
∵m，n均为整数，
∴为整数，
∴是3的倍数，
∴任意一个“半和数”都能被3整除．
故小林的猜想正确．
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据“半和数”的定义求解即可；
（2）设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n，根据题意列出算式再结合 是3的倍数， 即可得到任意一个“半和数”都能被3整除，从而得解。
15．（2023·城阳模拟）对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线、，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交于点D，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；
结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“”．
尝试应用：
（1）已知：如图2，点、、，则的水平宽为 ，铅垂高为 ，所以的面积为 ．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为 ，铅垂高 ，的面积为 ．
【答案】（1）9；；21学以致用：
（2）；2；3
【知识点】定义新运算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）尝试应用：∵点、，
∴直线即为直线，直线即为直线，
∴，即的水平宽为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，即铅垂高为，
∴；
故答案为：9，，21；
（2）学以致用：∵抛物线解析式为，
∴顶点B的坐标为；
令，则；令，则，解得或，
∴，
∴直线即为直线，直线即为直线，
∴，即的水平宽为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，2，3．
【分析】（1）先求出直线AB的解析式，再求解即可；
（2）先求出直线AC的解析式，再求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式求出即可。
16．（2023·开江模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为.当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或.
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或.
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有3个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或.
【分析】（1）根据 “等值点” 的定义建立方程并解之即可；
（2）先根据 “等值点” 的定义求出函数的“等值点” ，同理求出 ， 根据的面积为3， 可得， 求解即可；
（3）先求出函数的图像上有两个“等值点”或，再用翻折的性质分类讨论即可.
17．（2023·福田模拟）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率(scop)．如图11-1，在△XYZ中，XY＝XZ，顶角X的张率记作，容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义∠α(0°<∠α<180°)的张率，例如，scop60°＝1，scop90°＝，请根据材料，完成以下问题：
如图11-2，P是线段AB上的一动点(不与点A，B重合)，点C，D分别是线段AP，BP的中点，以AC，CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE，△CDF，△DBG，连接PE和PG.
（1）【理解应用】①若等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，则a，b，c三者之间的关系为 ；②scop∠EPG＝ ；
（2）【猜想证明】如图11-3，连接EF，FG，猜想scop∠EFG的值是多少，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图11-4，连接EF，EG，若AB＝12，EF=，则△EPG的周长是多少？此时AP的长为多少？（可直接写出上述两个结果），
【答案】（1）b=a+c；
（2）解：scop∠EPG=
理由如下：如图6，连结FP.
∵点C是AP的中点，△ACE，△CDF都是等边三角形，
∴CP=EC，∠ECF=∠PCF=60°，又CF=CF，
∴△ECF≌△PCF.
∴∠EFC=∠PFC，
同理，∠GFD=∠PFD，
∴∠EFG=2∠CFD=120°，
∴scop∠EPG=scop120°=
（3）解：△EPG的周长是；此时，AP的长为4或8
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】（3）△EPG的周长是
此时，AP的长为4或8
理由：如图7，∵△ECF≌△PCF.
∴EF=PF，
同理可证：GF=PF，
∴EF=GF，
∵∠EFG=120ο，EF=2，
∴EG=EF=2，
∵点C，D分别是线段AP，BP的中点，等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，
∴PC=AC=CE=a，PD=BD=DG=c，∠ECP=∠PDG=120ο，
∴，
∴
∴EG+EP+PG=2+6.
（法一）如图7，过点F作垂直CE的延长线于点H，
∵CF=CD=b=AB=6，∠ECF=60°，
∴FH=CFsin60°=3，CH=CFcos60°=3，
在Rt△EFH中，
∴CE=CH-HE=3-1=2，
∴AP=2CE=4，
因为对称性，AP=12-4=8，
∴AP=4或8.
（法二）如图8，
∵CE=CP，∠ECO=∠PCO=60°，∴CF⊥PO，
∴
∴OF=CF-CO=6-a
由勾股定理得：
∴a1=2，a2=4
∴AP=4或8.
【分析】（1）选段的中点将线段分成相等的两部分
（2）理解角的张率概念，用等腰三角形顶点的张率的概念计算即可。
18．（2022·敖汉旗模拟）阅读下列材料，按要求解答问题：
阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c，则将c代入方程得：，移项得：，即有： ，由于与c及m都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．
例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．
解决问题：
①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？
②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
【答案】解：①由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数．
②该方程有整数解．
方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0
进行验证得：x=3是该方程的整数解．
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】①参照题干中的计算方法求解即可；
②将方程的解分别代入判断即可。
19．（2023·黔江模拟）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.
对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
（，，，），理由如下：
设，，则，，
，由对数的定义得
又，
.
请解决以下问题：
（1）将指数式转化为对数式 ；
（2）求证：（，，，）；
（3）拓展运用：计算 .
【答案】（1）
（2）证明：设，，则，，
，
.
.
（3）2
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据指数与对数关系得：.
故答案为：；
（3）
.
故答案为：2.
【分析】（1）根据指数与对数的关系进行解答；
（2）设logaM=m，logbN=n，则M=am，N=an，，，据此证明；
（3）根据（2）的结论可得原式=log6(9×8÷2)，计算即可.
20．（2022·兰州）在平面直角坐标系中， 是第一象限内一点，给出如下定义： 和 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点 的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点 的“倾斜系数” ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点 的“倾斜系数” ，且 ，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： 运动， 是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数” ，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，得 ， ，
∵3> ，
∴点 的“倾斜系数”k=3；
（2）解：①a=2b或b=2a，
∵点 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b；
当 =2时，则b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵ 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b
∵ ，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP= ；
当 =2时，则b=2a，
∵ ，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP= ；
综上，OP= ；
（3）解： +1
【知识点】正方形的性质；定义新运算；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（3）由题意知，当点P与点D重合时，且k= 时，a有最小临界值，如图，连接OD，延长DA交x轴于E，
此时， = ，
则 ，
解得：a= +1；经检验符合题意；
当点P与B点重合，且k= 时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，
此时， ，
则 ，
解得：a=3+ ，经检验符合题意，
综上，若P的“倾斜系数” ，则 +1【分析】（1）由题意得=3 ，，且3>，据此可得“倾斜系数”；
（2）①根据“倾斜系数”的概念可得=2或=2，化简可得a和b的数量关系；
②由①可得a=2b或b=2a，结合a+b=3求出a、b的值，得到点P的坐标，然后根据两点间距离公式可得OP的长；
（3）由题意知：当点P与点D重合，且k=时，a有最小临界值，连接OD，延长DA交x轴于E，此时=，且b=a+2，代入求解可得a的值；当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，连接OB，延长CB交x轴于F，此时=且b=a-2，代入求解可得a的值.
21．（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为 0 的三位自然数 N，若 N 能被它的各数位上的数字之和 m 整除，则称 N 是 m 的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7)= 247÷13=19，∴247是13的“和倍数”.
又如： ∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”.
（1）判断 357，441 是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数 A是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数 A其中一个数位上的数字，且 a>b>c在 a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F (A)，最小的两位数记为 G(A)，若 为整数，求出满足条件的所有数 A．
【答案】（1）解：∵357÷（3+5+7）=23.8，
∴357不是15的“和倍数”，
∵441÷（4+4+1）=49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）解：设三位数A=abc，
∵A是12的“和倍数”
∴a+b+c=12，
∵a＞b＞c，
∴F（A）=ab，G（A）=cb，
∴==，
∴为整数，
∵a+c=12-b，
∴====7+，
又∵1＜b＜9，
∴当b=3，5，7，9时，为整数，
∴当b=3时，a+c=9，则a=8，c=1（不符合题意，舍去）或a=7，c=2，
∴三位数A=732；
当b=5时，a+c=7，则a=6，c=1（不符合题意，舍去）；
当b=7时，a+c=5（不符合题意，舍去）；
当b=9时，a+c=3（不符合题意，舍去），
综上所述，这个三位数A为732.
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据“和倍数”的定义，即对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，分别判断357和441是否为“和倍数”即可；
（2）设三位数A=abc，根据“和倍数”定义可得a+b+c=12，由a＞b＞c，则F（A）=ab，G（A）=cb，从而得==，则为整数，把a+c=12-b代入化简得=7+，由1＜b＜9，则b=3，5，7，9时，为整数，再分别求出对应的a+c的值，并根据a＞b＞c及三位数A是12的“和倍数”确定符合题意的数值即可.
22．（2022·蚌埠模拟）【问题】探究一次函数y＝kx+k+1（k≠0）图象特点．
【探究】可做如下尝试：
y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，当x＝﹣1时，可以消去k，求出y＝1．
【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是 ▲ ；
【应用】一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P．
①点P的坐标是 ▲ ；
②已知一次函数y＝（k+2）x+k的图象与y轴相交于点A，若△OAP的面积为3，求k的值．
【答案】解：[发现]（﹣1，1）；[应用]①（﹣1，﹣2）；②当x＝0时，y＝（k+2）x+k＝k，则A（0，k），
∵△OAP的面积为3，
∴|k|×1＝3，解得k＝±6，
∴k的值为6或﹣6．
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：[发现]（x+1）k＝y﹣1，
∵k有无数个值，
∴x+1＝0，y﹣1＝0，
解得x＝﹣1，y＝1，
∴无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是（﹣1，1）；
[应用]①（x+1）k＝y﹣2x，
当k有无数个值时，x+1＝0，y﹣2x＝0，解得x＝﹣1，y＝﹣2，
∴一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P，点P的坐标是（﹣1，﹣2）；
故答案为（﹣1，1）；（﹣1，﹣2）．
【分析】【发现】利用k有无数个值得到x+1＝0，y﹣1＝0，然后解方程求出x、y即可得到固定点的坐标；
【应用】①解析式变形得到（x+1）k＝y﹣2x，利用k有无数个值得到x+1＝0，y﹣2x＝0，解方程组即可得到P点坐标；
②先利用一次函数解析式表示出A（0，k），再根据三角形面积公式得到|k|×1＝3，然后解绝对值方程即可。
23．（2022八下·长沙开学考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成 ，开方，从而使得 化简.
例如：化简
解：∵
∴
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ ，5）的“横负纵变点”为（ ， ）.
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（ ， ）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（ ），点M（ ，m）且 ，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标.
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴
，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴点 的“横负纵变点”为 ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据 “横负纵变点” 的概念进行解答即可；
（2）原式可变形为 ，然后根据完全平方公式以及二次根式的性质化简即可；
（3）根据a的范围可得的范围，将m变形为，然后结合绝对值的性质可得m的值，进而可得M′的坐标.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习3 新定义
一、单选题
1．（2023·历城模拟）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（-1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2-2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．-1≤a＜0 B．-2≤a＜-1 C．-1≤a＜ D．-2≤a＜0
2．（2023·广西模拟）对于任意实数m，n，如果满足，那么称这一对数m，n为“完美数对”，记为.若是“完美数对”，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2023·黔江模拟）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{-1，2，3}＝，min{-1，2，3}＝-1，max{-2，-1，a}＝.
下列判断：
①P；②max；③若min{2，2x+2，4-2x}＝2，则0＜x＜1；④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1；⑤max{x+1，（x-1）2，2-x}的最小值为.其中正确的是（ ）
A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤
4．（2022·娄底）若，则称是以10为底的对数.记作：.例如：，则；，则.对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
5．（2022·重庆）对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n = x-y-z+m-n，……，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
6．（2023·临淄模拟）华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线的图象与f的图象关于直线对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为．若抛物线与g的图象关于对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为 ．
7．（2023·东莞模拟）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
新运算
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③．
其中正确的是 ．
8．（2023·嘉祥模拟）若a是不为2的有理数我们把称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是；的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”， 是的“哈利数”，以此类推， ．
9．（2023·商河模拟）对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．计算 ．
10．（2023·平阴模拟）平面直角坐标系中，若点P的坐标为，点Q的坐标为，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点的3级派生点是，即．如图点是点的级派生点，点A在x轴上，且，则点A的坐标为 ．
11．（2023·济阳模拟）我们规定：使得成立的一对数a，b为“差积等数对”，记为．例如，因为，，所以数对，都是“差积等数对”，若是“差积等数对”，则k的值是 ．
12．（2023·奉贤模拟）我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为，其变形后的平行四边形的面积为，那么这个平行四边形的“变形系数”是 ．
13．（2022·松江模拟）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点、称的值为P、Q两点的“直角距离”．直线与坐标轴交于A、B两点，Q为线段上与点A、B不重合的一点，那么O、Q两点的“直角距离”是 ．
三、综合题
14．（2023·保定模拟）定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．
例如，三位正整数234，因为，所以234是“半和数”．
（1）判断147是否为“半和数”，并说明理由；
（2）小林列举了几个“半和数”：111、123、234、840…，并且她发现：，，，…，所以她猜测任意一个“半和数”都能被3整除．小林的猜想正确吗？若正确，请你帮小林说明该猜想的正确性；若错误，说明理由．
15．（2023·城阳模拟）对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线、，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交于点D，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；
结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“”．
尝试应用：
（1）已知：如图2，点、、，则的水平宽为 ，铅垂高为 ，所以的面积为 ．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为 ，铅垂高 ，的面积为 ．
16．（2023·开江模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为.当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围.
17．（2023·福田模拟）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率(scop)．如图11-1，在△XYZ中，XY＝XZ，顶角X的张率记作，容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义∠α(0°<∠α<180°)的张率，例如，scop60°＝1，scop90°＝，请根据材料，完成以下问题：
如图11-2，P是线段AB上的一动点(不与点A，B重合)，点C，D分别是线段AP，BP的中点，以AC，CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE，△CDF，△DBG，连接PE和PG.
（1）【理解应用】①若等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，则a，b，c三者之间的关系为 ；②scop∠EPG＝ ；
（2）【猜想证明】如图11-3，连接EF，FG，猜想scop∠EFG的值是多少，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图11-4，连接EF，EG，若AB＝12，EF=，则△EPG的周长是多少？此时AP的长为多少？（可直接写出上述两个结果），
18．（2022·敖汉旗模拟）阅读下列材料，按要求解答问题：
阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c，则将c代入方程得：，移项得：，即有： ，由于与c及m都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．
例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．
解决问题：
①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？
②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
19．（2023·黔江模拟）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.
对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
（，，，），理由如下：
设，，则，，
，由对数的定义得
又，
.
请解决以下问题：
（1）将指数式转化为对数式 ；
（2）求证：（，，，）；
（3）拓展运用：计算 .
20．（2022·兰州）在平面直角坐标系中， 是第一象限内一点，给出如下定义： 和 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点 的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点 的“倾斜系数” ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点 的“倾斜系数” ，且 ，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： 运动， 是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数” ，请直接写出a的取值范围．
21．（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为 0 的三位自然数 N，若 N 能被它的各数位上的数字之和 m 整除，则称 N 是 m 的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7)= 247÷13=19，∴247是13的“和倍数”.
又如： ∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”.
（1）判断 357，441 是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数 A是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数 A其中一个数位上的数字，且 a>b>c在 a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F (A)，最小的两位数记为 G(A)，若 为整数，求出满足条件的所有数 A．
22．（2022·蚌埠模拟）【问题】探究一次函数y＝kx+k+1（k≠0）图象特点．
【探究】可做如下尝试：
y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，当x＝﹣1时，可以消去k，求出y＝1．
【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是 ▲ ；
【应用】一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P．
①点P的坐标是 ▲ ；
②已知一次函数y＝（k+2）x+k的图象与y轴相交于点A，若△OAP的面积为3，求k的值．
23．（2022八下·长沙开学考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成 ，开方，从而使得 化简.
例如：化简
解：∵
∴
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ ，5）的“横负纵变点”为（ ， ）.
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（ ， ）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（ ），点M（ ，m）且 ，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】定义新运算；通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2-2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x-1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝-1时，y＝4a+2＜0
即：，
解得-2≤a＜-1
故答案为：B．
【分析】先求出M和N两点关于x＝1对称，再结合函数图象判断求解即可。
2．【答案】A
【知识点】定义新运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：由题意得：，即，
则，
，
，
，
；
故答案为：A.
【分析】由 “完美数对” 的定义可得，整理原式可得，再整体代入计算即可.
3．【答案】D
【知识点】定义新运算；平均数及其计算
【解析】【解答】解：①P，故①错误；
②-3，-，-π三个数中最大的数-，故②正确；
③若min{2，2x+2，4-2x}＝2，则，解得0≤x≤1，故③错误；
④P{2，x+1，2x}＝x+1，
若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，则min{2，x+1，2x}＝x+1，
即，解得x＝1，故④正确；
⑤作出y＝x+1，y＝（x-1）2，y＝2-x的图象.
由图可知max{x+1，（x-1）2，2-x}的最小值为三个函数图象的交点中，纵坐标最小的点的纵坐标，为，故⑤正确；
故答案为：D.
【分析】根据平均数的计算方法可判断①；根据定义的新运算可判断②；根据定义的新运算结合③可得，求出x的范围，据此判断；根据平均数的计算方法结合定义的新运算可得，求出x的范围，据此判断④；作出y＝x+1，y＝(x-1)2，y＝2-x的图象，由图可知max{x+1，(x-1)2，2-x}的最小值为三个函数图象的交点中，纵坐标最小的点的纵坐标，据此判断⑤.
4．【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】原式可边形为lg5(lg5+lg2)+lg2，然后结合lgM+LGN=lg(MN)进行计算.
5．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；定义新运算；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：若原多项式为x-y-z-m-n，“加算操作后”为(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，
①令x-y-z-m-n=x-y-z+m+n，
∴m+n=0，
∴当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等，
∴①说法符合题意；
②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0，
即“加算操作后”的结果=-（x-y-z-m-n）=-x+y+z+m+n，
显然-x+y+z+m+n≠x-y-z+m+n，
∴不存在任何“加算操作后”的结与原多项式的和为0，
∴②说法符合题意；
③由①可知，存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，即为第1种；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第4种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第5种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n，
∴③说法符合题意，
∴①②③说法正确.
故答案为：D.
【分析】①列出加算操作后”的结果与原来多项式相等的式子，即x-y-z-m-n=x-y-z+m+n，当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等；②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0，即二者互为相反数，表示出原多项式的相反数后即为“加算操作后”的结果，与加算操作后”的结果比较，显然不相等；③对原多项式从左往右分别加括号，结合①存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，可得所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．据此逐项分析判断即可得出正确答案.
6．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；定义新运算
【解析】【解答】解：设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，
把，代入得∶
∴，
故答案为：∶．
【分析】设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，再将，代入可得，从而得解。
7．【答案】①③
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：
①，，故①符合题意；
②，，故②不符合题意；
③，，故③符合题意；
所以，正确的是①③，
故答案为：①③．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
8．【答案】/0.5
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出前几项中数据与序号的关系可得规律，再求解即可。
9．【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：
故答案为：0．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
10．【答案】或
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
设点，
由得：，
解得：或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】先求出点P的坐标，设点，再结合得，求出k的值即可。
11．【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵是“差积等数对”，
∴由题意可得，，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】根据“差积等数对”的定义可得，再求出k的值即可。
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：如图所示，设矩形的长为a，宽为b，过点作于E，设，
∴，，
∴，，则，，
在中，，
∴，即“变形系数”为，
故答案为：．
【分析】设矩形的长为a，宽为b，过点作于E，设，求出，，则，，利用勾股定理求出，再求出即可得到答案。
13．【答案】5
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意知，设，
∴O、Q两点的“直角距离”是：，
将代入得，，故；
将代入得，，解得：，故；
∵Q为线段上与点A、B不重合的一点，
∴
∴
故答案为：5．
【分析】先求出点A、B的坐标，再结合“Q为线段上与点A、B不重合的一点”，可得，最后求出即可。
14．【答案】（1）解：∵147的百位数字为1，十位数字为4，个位数字为7，且，
∴147是“半和数”；
（2）解：小林的猜想正确．
理由：设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为整数，且m不为0），
则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为：
，
∵m，n均为整数，
∴为整数，
∴是3的倍数，
∴任意一个“半和数”都能被3整除．
故小林的猜想正确．
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据“半和数”的定义求解即可；
（2）设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n，根据题意列出算式再结合 是3的倍数， 即可得到任意一个“半和数”都能被3整除，从而得解。
15．【答案】（1）9；；21学以致用：
（2）；2；3
【知识点】定义新运算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）尝试应用：∵点、，
∴直线即为直线，直线即为直线，
∴，即的水平宽为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，即铅垂高为，
∴；
故答案为：9，，21；
（2）学以致用：∵抛物线解析式为，
∴顶点B的坐标为；
令，则；令，则，解得或，
∴，
∴直线即为直线，直线即为直线，
∴，即的水平宽为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，2，3．
【分析】（1）先求出直线AB的解析式，再求解即可；
（2）先求出直线AC的解析式，再求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式求出即可。
16．【答案】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或.
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或.
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有3个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或.
【分析】（1）根据 “等值点” 的定义建立方程并解之即可；
（2）先根据 “等值点” 的定义求出函数的“等值点” ，同理求出 ， 根据的面积为3， 可得， 求解即可；
（3）先求出函数的图像上有两个“等值点”或，再用翻折的性质分类讨论即可.
17．【答案】（1）b=a+c；
（2）解：scop∠EPG=
理由如下：如图6，连结FP.
∵点C是AP的中点，△ACE，△CDF都是等边三角形，
∴CP=EC，∠ECF=∠PCF=60°，又CF=CF，
∴△ECF≌△PCF.
∴∠EFC=∠PFC，
同理，∠GFD=∠PFD，
∴∠EFG=2∠CFD=120°，
∴scop∠EPG=scop120°=
（3）解：△EPG的周长是；此时，AP的长为4或8
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】（3）△EPG的周长是
此时，AP的长为4或8
理由：如图7，∵△ECF≌△PCF.
∴EF=PF，
同理可证：GF=PF，
∴EF=GF，
∵∠EFG=120ο，EF=2，
∴EG=EF=2，
∵点C，D分别是线段AP，BP的中点，等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，
∴PC=AC=CE=a，PD=BD=DG=c，∠ECP=∠PDG=120ο，
∴，
∴
∴EG+EP+PG=2+6.
（法一）如图7，过点F作垂直CE的延长线于点H，
∵CF=CD=b=AB=6，∠ECF=60°，
∴FH=CFsin60°=3，CH=CFcos60°=3，
在Rt△EFH中，
∴CE=CH-HE=3-1=2，
∴AP=2CE=4，
因为对称性，AP=12-4=8，
∴AP=4或8.
（法二）如图8，
∵CE=CP，∠ECO=∠PCO=60°，∴CF⊥PO，
∴
∴OF=CF-CO=6-a
由勾股定理得：
∴a1=2，a2=4
∴AP=4或8.
【分析】（1）选段的中点将线段分成相等的两部分
（2）理解角的张率概念，用等腰三角形顶点的张率的概念计算即可。
18．【答案】解：①由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数．
②该方程有整数解．
方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0
进行验证得：x=3是该方程的整数解．
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】①参照题干中的计算方法求解即可；
②将方程的解分别代入判断即可。
19．【答案】（1）
（2）证明：设，，则，，
，
.
.
（3）2
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据指数与对数关系得：.
故答案为：；
（3）
.
故答案为：2.
【分析】（1）根据指数与对数的关系进行解答；
（2）设logaM=m，logbN=n，则M=am，N=an，，，据此证明；
（3）根据（2）的结论可得原式=log6(9×8÷2)，计算即可.
20．【答案】（1）解：由题意，得 ， ，
∵3> ，
∴点 的“倾斜系数”k=3；
（2）解：①a=2b或b=2a，
∵点 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b；
当 =2时，则b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵ 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b
∵ ，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP= ；
当 =2时，则b=2a，
∵ ，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP= ；
综上，OP= ；
（3）解： +1【知识点】正方形的性质；定义新运算；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（3）由题意知，当点P与点D重合时，且k= 时，a有最小临界值，如图，连接OD，延长DA交x轴于E，
此时， = ，
则 ，
解得：a= +1；经检验符合题意；
当点P与B点重合，且k= 时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，
此时， ，
则 ，
解得：a=3+ ，经检验符合题意，
综上，若P的“倾斜系数” ，则 +1【分析】（1）由题意得=3 ，，且3>，据此可得“倾斜系数”；
（2）①根据“倾斜系数”的概念可得=2或=2，化简可得a和b的数量关系；
②由①可得a=2b或b=2a，结合a+b=3求出a、b的值，得到点P的坐标，然后根据两点间距离公式可得OP的长；
（3）由题意知：当点P与点D重合，且k=时，a有最小临界值，连接OD，延长DA交x轴于E，此时=，且b=a+2，代入求解可得a的值；当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，连接OB，延长CB交x轴于F，此时=且b=a-2，代入求解可得a的值.
21．【答案】（1）解：∵357÷（3+5+7）=23.8，
∴357不是15的“和倍数”，
∵441÷（4+4+1）=49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）解：设三位数A=abc，
∵A是12的“和倍数”
∴a+b+c=12，
∵a＞b＞c，
∴F（A）=ab，G（A）=cb，
∴==，
∴为整数，
∵a+c=12-b，
∴====7+，
又∵1＜b＜9，
∴当b=3，5，7，9时，为整数，
∴当b=3时，a+c=9，则a=8，c=1（不符合题意，舍去）或a=7，c=2，
∴三位数A=732；
当b=5时，a+c=7，则a=6，c=1（不符合题意，舍去）；
当b=7时，a+c=5（不符合题意，舍去）；
当b=9时，a+c=3（不符合题意，舍去），
综上所述，这个三位数A为732.
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据“和倍数”的定义，即对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，分别判断357和441是否为“和倍数”即可；
（2）设三位数A=abc，根据“和倍数”定义可得a+b+c=12，由a＞b＞c，则F（A）=ab，G（A）=cb，从而得==，则为整数，把a+c=12-b代入化简得=7+，由1＜b＜9，则b=3，5，7，9时，为整数，再分别求出对应的a+c的值，并根据a＞b＞c及三位数A是12的“和倍数”确定符合题意的数值即可.
22．【答案】解：[发现]（﹣1，1）；[应用]①（﹣1，﹣2）；②当x＝0时，y＝（k+2）x+k＝k，则A（0，k），
∵△OAP的面积为3，
∴|k|×1＝3，解得k＝±6，
∴k的值为6或﹣6．
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：[发现]（x+1）k＝y﹣1，
∵k有无数个值，
∴x+1＝0，y﹣1＝0，
解得x＝﹣1，y＝1，
∴无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是（﹣1，1）；
[应用]①（x+1）k＝y﹣2x，
当k有无数个值时，x+1＝0，y﹣2x＝0，解得x＝﹣1，y＝﹣2，
∴一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P，点P的坐标是（﹣1，﹣2）；
故答案为（﹣1，1）；（﹣1，﹣2）．
【分析】【发现】利用k有无数个值得到x+1＝0，y﹣1＝0，然后解方程求出x、y即可得到固定点的坐标；
【应用】①解析式变形得到（x+1）k＝y﹣2x，利用k有无数个值得到x+1＝0，y﹣2x＝0，解方程组即可得到P点坐标；
②先利用一次函数解析式表示出A（0，k），再根据三角形面积公式得到|k|×1＝3，然后解绝对值方程即可。
23．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴
，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴点 的“横负纵变点”为 ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据 “横负纵变点” 的概念进行解答即可；
（2）原式可变形为 ，然后根据完全平方公式以及二次根式的性质化简即可；
（3）根据a的范围可得的范围，将m变形为，然后结合绝对值的性质可得m的值，进而可得M′的坐标.
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