2023年中考数学探究性试题复习4 乘法公式
一、单选题
1．（2022·百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据题意得：（a+b）2=a2+2ab+b2.
故答案为：A.
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的小正方形的面积+边长为b的小正方形的面积+2个长为a、宽为b的矩形的面积可得对应的等式.
2．（2023·丰润模拟）如图，边长为的长方形周长为12，面积为5，则的值为（ ）
A．60 B．120 C．130 D．240
【答案】C
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴
，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。
3．（2022·馆陶模拟）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（ ）
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：图1的面积关系表示为：
，为平方差公式；
图2的面积表示为：
，
化简得：，为勾股定理；
故答案为：B．
【分析】结合图象，利用不同表达方法表示同一个图形的面积可得答案。
4．（2023七下·吴兴期中）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a-2b）2＝a2-4ab+b2 B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2
C．（a-2b）（a+2b）＝a2-4b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2-4b2，
图（2）中阴影部分的面积为：（a-2b）（a+2b），
∴（a-2b）（a+2b）=a2-4b2.
故答案为：C.
【分析】用边长为a的大正方形的面积减去4个边长为b的小正方形的面积可表示出图（1）的面积，图（2）是一个长为（a+2b），宽为（a-2b）的矩形，根据矩形面积计算公式表示出图（2）的面积，进而根据两个图形面积相等即可得出答案.
5．（2023七下·富阳期中）如图4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a：b=（ ）
A．3：2 B．5：2 C．2：1 D．3：1
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵，
，
又∵ S1＝2S2，
∴a2+2b2=2（2ab-b2），
整理得（a-2b）2=0，
∴a=2b，
∴a∶b=2∶1.
故答案为：C.
【分析】先根据几何图形的面积计算方法及割补法用含a、b的代数式分别表示出S1与S2，进而根据S1＝2S2建立方程，整理得（a-2b）2=0，据此即可求解了.
6．（2023七下·宣汉月考）如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（ ）
A．a2+b2-2ab=(a-b)2 B．a2+b2+2ab=(a+b)2
C．2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b) D．a2-b2=(a+b) (a-b)
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图（1）的阴影部分的面积为a2-b2；
∵图2中阴影部分的长为（a+b），宽为（a-b），
∴阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
∴ a2-b2=(a+b) (a-b).
故答案为：D
【分析】观察图1和图2，分别用含a，b的代数式表示出阴影部分的面积，再根据题意可知两个图形中阴影部分的面积相等，即可得到符合题意的选项.
7．（2023八上·扶沟期末）如图中能够用图中已有图形的面积说明的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，
∴，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】对图形进行标注，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，则S①+S②=(x+2)(x-2)，S①+S③=(S①+S③+S④)-S④=x2-4，据此可得等式.
8．（2023七下·杭州期中）如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为（ ）
A．29 B．25 C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为，
BE=AB-AE=6-a=b-，
∴a+b=6+，S1=（a-）（b-）=ab-；
∵S2=5S1，
∴S2=5ab-，
由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2-5+S1+S2=6×10，
整理得a2+b2+6ab=65+36，
即（a+b）2+4ab=65+36，
∴（6+）2+4ab=65+36，
∴ab=6+6，
∴a2+b2=65+36-6ab=65+36-36-36=29.
故答案为：A.
【分析】由重合部分小正方形的面积为5，其边长为，由拼图可知a+b=6+①，由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2+6ab=65+36，从而利用配方法变形后将①代入化简可得ab=6+6，进而即可求出a2+b2的值了.
二、填空题
9．（2023七下·万源月考）乘法公式的探究及应用.
小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)；
小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 (写成多项式乘法的形式).
小题3：比较图 1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用式子表达).
【答案】a2-b2；a-b；a+b；（a+b）（a-b）；（a+b）（a-b）=a2-b2
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）阴影部分的面积为：a2-b2，
故答案为：a2-b2；
（2）观察图形可得图2中矩形的宽为（a-b），长为（a+b），面积为（a+b）（a-b）；
故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）；
（3）由题意得（a+b）（a-b）=a2-b2.
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2.
【分析】（1）根据阴影部分的面积=大正方形的面积减去小正方形的面积计算即可；
（2）仔细观察图形就会知道长、宽，进而根据矩形面积计算公式求出面积；
（3）根据两个图形中阴影部分的面积相等即可建立等式得出结论.
10．（2023八上·渠县期末）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么的值是 .
【答案】1
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，
四个直角三角形的面积是：
ab×4=13-1=12，即：2ab=12，
则（a-b）2=a2-2ab+b2=13-12=1.
故答案为：1.
【分析】根据勾股定理及正方形的面积计算公式得a2+b2=13，根据直角三角形的面积计算公式及割补法得2ab=12，进而根据完全平方公式将待求式子展开后整体代入即可求出答案.
11．（2022七下·亭湖期末）在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0，若ab=3，a+b=4，则a-b的值为 .
【答案】2
【知识点】平方根；完全平方公式的几何背景；数学常识
【解析】【解答】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积建立等式，然后代值计算，结合a>b，即可求出a-b的值.
12．（2022八上·丰台期末）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【分析】分别求出两图形中阴影部分的面积，再根据两阴影部分的面积相等，即得等式.
13．（2022·石景山模拟），，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为 ．
【答案】5
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：
∵，
∴
∵，，
∴．
故答案为：5．
【分析】假设四角的小正方形的边长为n，中心正方形的边长为m，则m+2n的值恰好是图中最大的正方形的边长，求出其面积即可。
三、综合题
14．（2022八下·内江开学考）利用平面图形中面积相等的等量关系可以得到某些数学公式.例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.
（1）根据图②，可以得到的数学公式是 ；
（2）根据图③，请写出（a＋b）、（a－b）、ab的等量关系是 .
（3）根据图④，请写出一个等式： ；
（4）小明同学使用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，恰好拼成一个面积为（3a＋b）（a＋3b）的长方形，则可得x＋y＋z的值为 ；
（5）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式.现请你根据图⑥，写出一个等式： .
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）16
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图②中左上角正方形的面积可表示为 或 ，
故答案为： ；
（2）用两种方法表示图③的面积分别为： 和 ，
故答案为： ；
（3）用两种方法表示图④的面积分别为： 和 ，
故答案为： ；
（4）∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：16；
（5）图⑥的体积可表示为 或 ，
故答案为： .
【分析】（1）图②中左上角正方形的边长为a-b，据此可得面积，然后根据面积之间的和差关系可得数学公式；
（2）图③中大正方形的边长为a+b，据此可得大正方形的面积，根据面积间的和差关系表示出大正方形的面积，据此可得等量关系；
（3）图④中大正方形的边长为a+b+c，据此可得大正方形的面积，根据面积间的和差关系表示出大正方形的面积，据此可得等式；
（4）根据多项式与多项式的乘法法则可得(3a+b)(a+3b)=3a2+10ab+3b2，据此可得x、y、z的值，进而可得x+y+z的值；
（5）图⑥中正方体的棱长为a+b，根据正方体的体积公式可得体积，然后根据体积之间的和差关系表示出正方体的体积，据此可得等式.
15．（2023·石家庄模拟）发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数．如：，是的倍；，是的倍．
（1）请你仿照上面的例子，再举出一个例子：；
（2）十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为 ，若该两位数的平方与的平方的差是的倍，则 ；
（3）设一个两位数的十位数字为，个位数字为（，，且，为正整数），请用含，的式子论证“发现”的结论是否符合题意．
【答案】（1）15；5；200
（2）；0
（3）解：十位数字为，个位数字为（，，且，为正整数），
∴这个表示为，
∴，，
∴，且是的倍，且是正整数，
∴一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数，符合题意．
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：，是的倍，
故答案为：（答案不唯一）．
（2）解：十位数字为，表示为，个位数字为表示为，
∴这个两位数表示为，
根据材料提示得，，
的倍表示为，
∴，解得，，
故答案为：．
【分析】（1）根据题干所给的式子，找出规律求解即可；
（2）先求出这个两位数表示为，再列方程求出，最后求解即可；
（3）根据题意找出规律求出 ， 再求解即可。
16．（2023·保定模拟）灵活运用完全平方公式可以解决许多数学问题．
例如：已知，求的值．
解：，∴，
．
请根据以上材料，解答下列问题．
（1）若与互为相反数，求的值．
（2）如图，矩形的长为a，宽为b，周长为14，面积为8，求的值．
【答案】（1）解：与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵矩形的周长为14，面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相反数及有理数的相反数；代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1） 根据与互为相反数，可得， 根据完全平方公式可得 ， 解之可得答案；
（2）根据矩形的周长和面积公式可得， 则 ， 利用完全平方公式可得，解之可得答案。
17．（2023七下·怀宁期中）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是 ．
（2）若，，求的值．
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：原式=
=
=
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：上述过程所揭示的乘法公式是
【分析】（1）利用不同的表达式表示阴影部分的面积可得等式；
（2）根据可得，再将代入求出即可；
（3）将代数式变形为，再计算即可。
18．（2023七下·龙岗期中）如图(a)所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图(a)中的阴影部分拼成一个如图(b)所示的长方形．
（1）通过观察比较图(b)与图(a)中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用含a，b的等式表示)
（2）(应用)请应用这个公式完成下列各题：
①若a+2b=3，2b-a=2，则a2-4b2的值为
②若4m2=12+n，2m+n=4，则2m-n的值为
（3）(拓展)计算：1002 -992+982-972+……+42-32+22-12．
【答案】（1）解：(a+b) (a-b) =a2-b2
（2）-6；3
（3）解：1002- 992+982- 972+……+42-32+22-12
=(100+99) ×(100-99)+(98+97)×(98- 97)+ ……+(2+1) ×(2-1)
=100+99+98+97+……+4+3+2+1
=5050
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
(2)①利用平方差公式得出
②利用平方差公式得出，代入求值即可；
（3）利用平方差公式将写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．
19．（2023七下·咸阳月考）如图
（1）【观察】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.请你写出，，之间的等量关系： ；
（2）【应用】若，，则 ；
（3）【拓展】如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是300，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）
（2）16
（3）解：∵正方形的边长为，，，
∴，，
∵长方形的面积是，
∴，
设，，
∴，，
∵四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，
∴，
∴图中阴影部分的面积为：1300.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵如图是一个长为、宽为的长方形，
∴图的长方形面积为：，
∵图的边长为，图阴影部分的面积为：，
∴，
即，
故答案为：.
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：16.
【分析】（1）图1是一个长为4a、宽为b的长方形，图2阴影部分的边长为(b-a)，根据矩形、正方形的面积公式可得图1、图2阴影部分的面积，然后根据面积间的和差关系进行解答；
（2）由（1）的结论可得(m+n)2-(m-n)2=4mn，然后代入计算即可；
（3）由题意可得ED=x-5，DG=x-15，根据矩形的面积公式可得(x-5)(x-15)=300，设m=x-5，n=x-15，则mn=300，m-n=10，根据面积间的和差关系可得S阴影=(m+n)2=(m-n)2+4mn，据此计算.
20．（2023七下·南海期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，，求的值；
②请直接写出下列问题故答案为：
若，，则 ▲ ；
若，则 ▲ ．
（3）如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）
【答案】（1）；
（2）解：①，
，，
；
②±2|
（3）解：，，
，，
，
长方形的面积是200，
，
，
令，，
，，
，
，
四边形的面积．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
故答案为：．
图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：．
（2）②由图2可得，
，，
，
，
．
故答案为：±2．
由图1可得，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示出阴影部分的面积可得答案；
（2）①根据，再将，代入求出即可；
②利用完全平方公式的计算方法求解即可；
（3）先求出，令，，可得，，再求出，可得四边形的面积。
21．（2023七下·淮北期中）如图1所示是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m，n为实数，且，，求的值．
②如图3，，分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：①，，
，
，
或．
②，，分别表示边长为，的正方形的面积，
，，
，
，
，
，
，
，
由图可知，阴影部分面积．
阴影部分面积为11．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：由图可知，
大正方形面积四个矩形的面积中间小正方形的面积，
即，
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示出阴影部分的面积可得；
（2）①先求出，再求出或即可；
②根据，可得，再结合，求出，最后利用阴影部分的面积求出答案即可。
22．（2023七下·深圳期中）如图1，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为的长方形. 现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积.
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ．.
（2）已知图2的总面积为64，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为40，求的值.
（3）用一张型纸板和一张型纸板，拼成图3所示的图形，若，求图3阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：由题意得，
，，
∴
故答案为：12；
（3）解：由题意得图3阴影部分的面积为：
当，时，
图3中阴影部分的面积为：
．
故答案为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）用两种方法表示出图2的总面积为
和，
关于，的等式
，
故答案为：，，；
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到答案；
（2）利用完全平方公式的变形可得；
（3）先求出阴影部分的面积，再将，代入计算即可。
23．（2023七下·顺德期中）通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，从而得到一个等式，这种方法习惯称为“算两次”，在数学学习中有着广泛的应用．公元三世纪，三国时代的赵爽创制了“勾股圆方图”，验证了著名的勾股定理．
（1）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形．请你用两种不同方法求阴影部分的面积；
（2）如图2，现有若干张型、型、型三种不同形状的纸片，请你利用纸片拼出一个几何图形直观地解释；
（3）在（1）的条件下，若，，一动点以每秒的速度从点出发，沿着方向运动．
①当点在上运动时，请表示出的面积与的关系式： ▲ ；
②是否存在使得的面积为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：阴影部分的面积为：；
阴影部分的面积还可以表示为：；
；
（2）解：如图，大正方形的面积为；
大正方形的面积还可以表示为；
∴；
（3）解：①y=t；②存在，当点在上运动时，；
当点在上运动时，；
当点在上运动时，延长交于点H，
当点在点H的右边时，，
解得；
当点在点H的左边时，，
解得；
当点在上运动时，；
综上，存在使得的面积为，的值为1秒或7秒或9秒.
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（3）解：①当点在上运动时，则，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可；
（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得；
（3）①根据题意直接列出函数解析式即可；
②分类讨论，再分别列出方程求解即可。
24．（2023七下·永安期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式.例如：由图1，可得等式：.
（1）观察图2，请你写出，，之间的一个恒等式： ；
（2）根据（1）的结论，若，，求下列各式的值：
①；②.
【答案】（1）
（2）解：①由（1）得：，
∵，，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
即，
∵，
∴.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：大正方形的边长为（a+b），
∴大正方形的面积为（a+b）2；
大正方形的面积还可以看作是由4个小长方形的面积加上边长为（a-b）的面积，
∴大正方形的面积为，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）由正方形的面积等于边长的平方可得大正方形的面积为（a+b）2，利用割补法，大正方形的面积还可以看作是由4个长为a、宽为b的小长方形的面积加上边长为（a-b）的小正方形的面积，即大正方形的面积=（a-b）2+4ab，根据用两种不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，可得结论；
（2）根据（x+y）2=（x-y）2+4xy，整体代入可算出xy的值；根据完全平方公式将（x+y）2=12的左边展开后整体代入可算出x2+y2的值.
25．（2023七下·遵义月考）数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．
（1）[探究一]
方法1：如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b
方法2：如图2．也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，计算阴影部分的面积是 .
用两种不同的方法计算同一个阴影部分的面积，可以得到等式 .
（2） [探究二]
如图3，一条直线上有n个点，请你数一数共有多少条线段呢？
方法1：一路往右数，不回头数．
以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、……A1An，共有(n-1)条；
以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、……A2An，共有(n-2)条；
以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、……A3An．共有(n-3)条；
以An-1为端点的线段有An-1An，共有1条；图中线段的总条数可用加法算式表示为 .
方法2：每一个点都能和除它以外的(n-1)个点形成线段，共有n个点，共可形成n(n-1)条线段，但所有线段都数了两遍，所以线段的总条数是 .
用两种不同的方法数线段，可以得到等式 .
（3） [类比探究]如图，AC⊥BC，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，点D为AB边的动点，求线段CD的最小值．
（4） [探究应用]计算：992-982+972-962+952-942+……+32-22+12．
【答案】（1）a2- b2；(a+b)(a-b)；a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1；；(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1 =
（3）解：∵S△ABC=AB·CD=AC·BC
∴5CD=3×4
∴CD= 2.4cm
（4）解：992-982+972-962+952-942+……+32-22+12
=(99+98)(99-98)+(97+96)(97-96)+ ……+(3-2)(3+2)+1
= 99+98+97+……+3+2+1
=
=4950；
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；三角形的面积；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）方法1：图1中阴影部分的面积为a2-b2.
方法2：阴影部分的面积为（a+b）（a-b）；
∵图1和图2中阴影部分的面积相等
∴a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）方法1∵以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、……A1An，共有(n-1)条；
以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、……A2An，共有(n-2)条；
以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、……A3An．共有(n-3)条；
∴图中线段的总条数可用加法算式可表示出(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1；
方法2： ∵每一个点都能和除它以外的(n-1)个点形成线段，共有n个点，共可形成n(n-1)条线段，但所有线段都数了两遍
∴线段的总条数为：.
∵两种不同的方法数线段，线段的总条数相等，
∴(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1 =
故答案为：(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1，，(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1 =
【分析】（1）方法一：观察图1可知，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式即可；图2中阴影部分的面积等于两个梯形的面积，利用梯形的面积公式可求出阴影部分的面积；然后根据同一个阴影部分的面积相等，可得等式.
（2）方法1：根据题意可得到图中线段的总条数，列式即可；方法2：利用已知每一个点都能和除它以外的(n-1)个点形成线段，共有n个点，共可形成n(n-1)条线段，但所有线段都数了两遍，由此可求出线段的总条数；利用两种不同的方法数线段，线段的总条数相等，可得等式.
（3）当CD⊥AB时，线段CD最小，利用直角三角形的两个面积公式，可求出CD的长.
（4）利用平方差公式将式子转化为(99+98)(99-98)+(97+96)(97-96)+ ……+(3-2)(3+2)+1，可得到99+98+97+……+3+2+1，再利用（2）中的等式进行计算，可求出结果.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习4 乘法公式
一、单选题
1．（2022·百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·丰润模拟）如图，边长为的长方形周长为12，面积为5，则的值为（ ）
A．60 B．120 C．130 D．240
3．（2022·馆陶模拟）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（ ）
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
4．（2023七下·吴兴期中）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a-2b）2＝a2-4ab+b2 B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2
C．（a-2b）（a+2b）＝a2-4b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
5．（2023七下·富阳期中）如图4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a：b=（ ）
A．3：2 B．5：2 C．2：1 D．3：1
6．（2023七下·宣汉月考）如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（ ）
A．a2+b2-2ab=(a-b)2 B．a2+b2+2ab=(a+b)2
C．2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b) D．a2-b2=(a+b) (a-b)
7．（2023八上·扶沟期末）如图中能够用图中已有图形的面积说明的等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·杭州期中）如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为（ ）
A．29 B．25 C． D．
二、填空题
9．（2023七下·万源月考）乘法公式的探究及应用.
小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)；
小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 (写成多项式乘法的形式).
小题3：比较图 1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用式子表达).
10．（2023八上·渠县期末）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么的值是 .
11．（2022七下·亭湖期末）在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0，若ab=3，a+b=4，则a-b的值为 .
12．（2022八上·丰台期末）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为 ．
13．（2022·石景山模拟），，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为 ．
三、综合题
14．（2022八下·内江开学考）利用平面图形中面积相等的等量关系可以得到某些数学公式.例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.
（1）根据图②，可以得到的数学公式是 ；
（2）根据图③，请写出（a＋b）、（a－b）、ab的等量关系是 .
（3）根据图④，请写出一个等式： ；
（4）小明同学使用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，恰好拼成一个面积为（3a＋b）（a＋3b）的长方形，则可得x＋y＋z的值为 ；
（5）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式.现请你根据图⑥，写出一个等式： .
15．（2023·石家庄模拟）发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数．如：，是的倍；，是的倍．
（1）请你仿照上面的例子，再举出一个例子：；
（2）十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为 ，若该两位数的平方与的平方的差是的倍，则 ；
（3）设一个两位数的十位数字为，个位数字为（，，且，为正整数），请用含，的式子论证“发现”的结论是否符合题意．
16．（2023·保定模拟）灵活运用完全平方公式可以解决许多数学问题．
例如：已知，求的值．
解：，∴，
．
请根据以上材料，解答下列问题．
（1）若与互为相反数，求的值．
（2）如图，矩形的长为a，宽为b，周长为14，面积为8，求的值．
17．（2023七下·怀宁期中）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是 ．
（2）若，，求的值．
（3）计算：．
18．（2023七下·龙岗期中）如图(a)所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图(a)中的阴影部分拼成一个如图(b)所示的长方形．
（1）通过观察比较图(b)与图(a)中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用含a，b的等式表示)
（2）(应用)请应用这个公式完成下列各题：
①若a+2b=3，2b-a=2，则a2-4b2的值为
②若4m2=12+n，2m+n=4，则2m-n的值为
（3）(拓展)计算：1002 -992+982-972+……+42-32+22-12．
19．（2023七下·咸阳月考）如图
（1）【观察】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.请你写出，，之间的等量关系： ；
（2）【应用】若，，则 ；
（3）【拓展】如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是300，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积.
20．（2023七下·南海期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，，求的值；
②请直接写出下列问题故答案为：
若，，则 ▲ ；
若，则 ▲ ．
（3）如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）
21．（2023七下·淮北期中）如图1所示是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m，n为实数，且，，求的值．
②如图3，，分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
22．（2023七下·深圳期中）如图1，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为的长方形. 现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积.
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ．.
（2）已知图2的总面积为64，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为40，求的值.
（3）用一张型纸板和一张型纸板，拼成图3所示的图形，若，求图3阴影部分的面积．
23．（2023七下·顺德期中）通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，从而得到一个等式，这种方法习惯称为“算两次”，在数学学习中有着广泛的应用．公元三世纪，三国时代的赵爽创制了“勾股圆方图”，验证了著名的勾股定理．
（1）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形．请你用两种不同方法求阴影部分的面积；
（2）如图2，现有若干张型、型、型三种不同形状的纸片，请你利用纸片拼出一个几何图形直观地解释；
（3）在（1）的条件下，若，，一动点以每秒的速度从点出发，沿着方向运动．
①当点在上运动时，请表示出的面积与的关系式： ▲ ；
②是否存在使得的面积为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
24．（2023七下·永安期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式.例如：由图1，可得等式：.
（1）观察图2，请你写出，，之间的一个恒等式： ；
（2）根据（1）的结论，若，，求下列各式的值：
①；②.
25．（2023七下·遵义月考）数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．
（1）[探究一]
方法1：如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b方法2：如图2．也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，计算阴影部分的面积是 .
用两种不同的方法计算同一个阴影部分的面积，可以得到等式 .
（2） [探究二]
如图3，一条直线上有n个点，请你数一数共有多少条线段呢？
方法1：一路往右数，不回头数．
以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、……A1An，共有(n-1)条；
以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、……A2An，共有(n-2)条；
以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、……A3An．共有(n-3)条；
以An-1为端点的线段有An-1An，共有1条；图中线段的总条数可用加法算式表示为 .
方法2：每一个点都能和除它以外的(n-1)个点形成线段，共有n个点，共可形成n(n-1)条线段，但所有线段都数了两遍，所以线段的总条数是 .
用两种不同的方法数线段，可以得到等式 .
（3） [类比探究]如图，AC⊥BC，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，点D为AB边的动点，求线段CD的最小值．
（4） [探究应用]计算：992-982+972-962+952-942+……+32-22+12．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据题意得：（a+b）2=a2+2ab+b2.
故答案为：A.
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的小正方形的面积+边长为b的小正方形的面积+2个长为a、宽为b的矩形的面积可得对应的等式.
2．【答案】C
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴
，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：图1的面积关系表示为：
，为平方差公式；
图2的面积表示为：
，
化简得：，为勾股定理；
故答案为：B．
【分析】结合图象，利用不同表达方法表示同一个图形的面积可得答案。
4．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2-4b2，
图（2）中阴影部分的面积为：（a-2b）（a+2b），
∴（a-2b）（a+2b）=a2-4b2.
故答案为：C.
【分析】用边长为a的大正方形的面积减去4个边长为b的小正方形的面积可表示出图（1）的面积，图（2）是一个长为（a+2b），宽为（a-2b）的矩形，根据矩形面积计算公式表示出图（2）的面积，进而根据两个图形面积相等即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵，
，
又∵ S1＝2S2，
∴a2+2b2=2（2ab-b2），
整理得（a-2b）2=0，
∴a=2b，
∴a∶b=2∶1.
故答案为：C.
【分析】先根据几何图形的面积计算方法及割补法用含a、b的代数式分别表示出S1与S2，进而根据S1＝2S2建立方程，整理得（a-2b）2=0，据此即可求解了.
6．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图（1）的阴影部分的面积为a2-b2；
∵图2中阴影部分的长为（a+b），宽为（a-b），
∴阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
∴ a2-b2=(a+b) (a-b).
故答案为：D
【分析】观察图1和图2，分别用含a，b的代数式表示出阴影部分的面积，再根据题意可知两个图形中阴影部分的面积相等，即可得到符合题意的选项.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，
∴，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】对图形进行标注，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，则S①+S②=(x+2)(x-2)，S①+S③=(S①+S③+S④)-S④=x2-4，据此可得等式.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为，
BE=AB-AE=6-a=b-，
∴a+b=6+，S1=（a-）（b-）=ab-；
∵S2=5S1，
∴S2=5ab-，
由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2-5+S1+S2=6×10，
整理得a2+b2+6ab=65+36，
即（a+b）2+4ab=65+36，
∴（6+）2+4ab=65+36，
∴ab=6+6，
∴a2+b2=65+36-6ab=65+36-36-36=29.
故答案为：A.
【分析】由重合部分小正方形的面积为5，其边长为，由拼图可知a+b=6+①，由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2+6ab=65+36，从而利用配方法变形后将①代入化简可得ab=6+6，进而即可求出a2+b2的值了.
9．【答案】a2-b2；a-b；a+b；（a+b）（a-b）；（a+b）（a-b）=a2-b2
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）阴影部分的面积为：a2-b2，
故答案为：a2-b2；
（2）观察图形可得图2中矩形的宽为（a-b），长为（a+b），面积为（a+b）（a-b）；
故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）；
（3）由题意得（a+b）（a-b）=a2-b2.
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2.
【分析】（1）根据阴影部分的面积=大正方形的面积减去小正方形的面积计算即可；
（2）仔细观察图形就会知道长、宽，进而根据矩形面积计算公式求出面积；
（3）根据两个图形中阴影部分的面积相等即可建立等式得出结论.
10．【答案】1
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，
四个直角三角形的面积是：
ab×4=13-1=12，即：2ab=12，
则（a-b）2=a2-2ab+b2=13-12=1.
故答案为：1.
【分析】根据勾股定理及正方形的面积计算公式得a2+b2=13，根据直角三角形的面积计算公式及割补法得2ab=12，进而根据完全平方公式将待求式子展开后整体代入即可求出答案.
11．【答案】2
【知识点】平方根；完全平方公式的几何背景；数学常识
【解析】【解答】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积建立等式，然后代值计算，结合a>b，即可求出a-b的值.
12．【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【分析】分别求出两图形中阴影部分的面积，再根据两阴影部分的面积相等，即得等式.
13．【答案】5
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：
∵，
∴
∵，，
∴．
故答案为：5．
【分析】假设四角的小正方形的边长为n，中心正方形的边长为m，则m+2n的值恰好是图中最大的正方形的边长，求出其面积即可。
14．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）16
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图②中左上角正方形的面积可表示为 或 ，
故答案为： ；
（2）用两种方法表示图③的面积分别为： 和 ，
故答案为： ；
（3）用两种方法表示图④的面积分别为： 和 ，
故答案为： ；
（4）∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：16；
（5）图⑥的体积可表示为 或 ，
故答案为： .
【分析】（1）图②中左上角正方形的边长为a-b，据此可得面积，然后根据面积之间的和差关系可得数学公式；
（2）图③中大正方形的边长为a+b，据此可得大正方形的面积，根据面积间的和差关系表示出大正方形的面积，据此可得等量关系；
（3）图④中大正方形的边长为a+b+c，据此可得大正方形的面积，根据面积间的和差关系表示出大正方形的面积，据此可得等式；
（4）根据多项式与多项式的乘法法则可得(3a+b)(a+3b)=3a2+10ab+3b2，据此可得x、y、z的值，进而可得x+y+z的值；
（5）图⑥中正方体的棱长为a+b，根据正方体的体积公式可得体积，然后根据体积之间的和差关系表示出正方体的体积，据此可得等式.
15．【答案】（1）15；5；200
（2）；0
（3）解：十位数字为，个位数字为（，，且，为正整数），
∴这个表示为，
∴，，
∴，且是的倍，且是正整数，
∴一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数，符合题意．
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：，是的倍，
故答案为：（答案不唯一）．
（2）解：十位数字为，表示为，个位数字为表示为，
∴这个两位数表示为，
根据材料提示得，，
的倍表示为，
∴，解得，，
故答案为：．
【分析】（1）根据题干所给的式子，找出规律求解即可；
（2）先求出这个两位数表示为，再列方程求出，最后求解即可；
（3）根据题意找出规律求出 ， 再求解即可。
16．【答案】（1）解：与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵矩形的周长为14，面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相反数及有理数的相反数；代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1） 根据与互为相反数，可得， 根据完全平方公式可得 ， 解之可得答案；
（2）根据矩形的周长和面积公式可得， 则 ， 利用完全平方公式可得，解之可得答案。
17．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：原式=
=
=
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：上述过程所揭示的乘法公式是
【分析】（1）利用不同的表达式表示阴影部分的面积可得等式；
（2）根据可得，再将代入求出即可；
（3）将代数式变形为，再计算即可。
18．【答案】（1）解：(a+b) (a-b) =a2-b2
（2）-6；3
（3）解：1002- 992+982- 972+……+42-32+22-12
=(100+99) ×(100-99)+(98+97)×(98- 97)+ ……+(2+1) ×(2-1)
=100+99+98+97+……+4+3+2+1
=5050
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
(2)①利用平方差公式得出
②利用平方差公式得出，代入求值即可；
（3）利用平方差公式将写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．
19．【答案】（1）
（2）16
（3）解：∵正方形的边长为，，，
∴，，
∵长方形的面积是，
∴，
设，，
∴，，
∵四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，
∴，
∴图中阴影部分的面积为：1300.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵如图是一个长为、宽为的长方形，
∴图的长方形面积为：，
∵图的边长为，图阴影部分的面积为：，
∴，
即，
故答案为：.
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：16.
【分析】（1）图1是一个长为4a、宽为b的长方形，图2阴影部分的边长为(b-a)，根据矩形、正方形的面积公式可得图1、图2阴影部分的面积，然后根据面积间的和差关系进行解答；
（2）由（1）的结论可得(m+n)2-(m-n)2=4mn，然后代入计算即可；
（3）由题意可得ED=x-5，DG=x-15，根据矩形的面积公式可得(x-5)(x-15)=300，设m=x-5，n=x-15，则mn=300，m-n=10，根据面积间的和差关系可得S阴影=(m+n)2=(m-n)2+4mn，据此计算.
20．【答案】（1）；
（2）解：①，
，，
；
②±2|
（3）解：，，
，，
，
长方形的面积是200，
，
，
令，，
，，
，
，
四边形的面积．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
故答案为：．
图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：．
（2）②由图2可得，
，，
，
，
．
故答案为：±2．
由图1可得，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示出阴影部分的面积可得答案；
（2）①根据，再将，代入求出即可；
②利用完全平方公式的计算方法求解即可；
（3）先求出，令，，可得，，再求出，可得四边形的面积。
21．【答案】（1）
（2）解：①，，
，
，
或．
②，，分别表示边长为，的正方形的面积，
，，
，
，
，
，
，
，
由图可知，阴影部分面积．
阴影部分面积为11．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：由图可知，
大正方形面积四个矩形的面积中间小正方形的面积，
即，
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示出阴影部分的面积可得；
（2）①先求出，再求出或即可；
②根据，可得，再结合，求出，最后利用阴影部分的面积求出答案即可。
22．【答案】（1）；；
（2）解：由题意得，
，，
∴
故答案为：12；
（3）解：由题意得图3阴影部分的面积为：
当，时，
图3中阴影部分的面积为：
．
故答案为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）用两种方法表示出图2的总面积为
和，
关于，的等式
，
故答案为：，，；
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到答案；
（2）利用完全平方公式的变形可得；
（3）先求出阴影部分的面积，再将，代入计算即可。
23．【答案】（1）解：阴影部分的面积为：；
阴影部分的面积还可以表示为：；
；
（2）解：如图，大正方形的面积为；
大正方形的面积还可以表示为；
∴；
（3）解：①y=t；②存在，当点在上运动时，；
当点在上运动时，；
当点在上运动时，延长交于点H，
当点在点H的右边时，，
解得；
当点在点H的左边时，，
解得；
当点在上运动时，；
综上，存在使得的面积为，的值为1秒或7秒或9秒.
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（3）解：①当点在上运动时，则，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可；
（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得；
（3）①根据题意直接列出函数解析式即可；
②分类讨论，再分别列出方程求解即可。
24．【答案】（1）
（2）解：①由（1）得：，
∵，，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
即，
∵，
∴.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：大正方形的边长为（a+b），
∴大正方形的面积为（a+b）2；
大正方形的面积还可以看作是由4个小长方形的面积加上边长为（a-b）的面积，
∴大正方形的面积为，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）由正方形的面积等于边长的平方可得大正方形的面积为（a+b）2，利用割补法，大正方形的面积还可以看作是由4个长为a、宽为b的小长方形的面积加上边长为（a-b）的小正方形的面积，即大正方形的面积=（a-b）2+4ab，根据用两种不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，可得结论；
（2）根据（x+y）2=（x-y）2+4xy，整体代入可算出xy的值；根据完全平方公式将（x+y）2=12的左边展开后整体代入可算出x2+y2的值.
25．【答案】（1）a2- b2；(a+b)(a-b)；a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1；；(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1 =
（3）解：∵S△ABC=AB·CD=AC·BC
∴5CD=3×4
∴CD= 2.4cm
（4）解：992-982+972-962+952-942+……+32-22+12
=(99+98)(99-98)+(97+96)(97-96)+ ……+(3-2)(3+2)+1
= 99+98+97+……+3+2+1
=
=4950；
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；三角形的面积；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）方法1：图1中阴影部分的面积为a2-b2.
方法2：阴影部分的面积为（a+b）（a-b）；
∵图1和图2中阴影部分的面积相等
∴a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）方法1∵以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、……A1An，共有(n-1)条；
以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、……A2An，共有(n-2)条；
以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、……A3An．共有(n-3)条；
∴图中线段的总条数可用加法算式可表示出(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1；
方法2： ∵每一个点都能和除它以外的(n-1)个点形成线段，共有n个点，共可形成n(n-1)条线段，但所有线段都数了两遍
∴线段的总条数为：.
∵两种不同的方法数线段，线段的总条数相等，
∴(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1 =
故答案为：(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1，，(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+3+2+1 =
【分析】（1）方法一：观察图1可知，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式即可；图2中阴影部分的面积等于两个梯形的面积，利用梯形的面积公式可求出阴影部分的面积；然后根据同一个阴影部分的面积相等，可得等式.
（2）方法1：根据题意可得到图中线段的总条数，列式即可；方法2：利用已知每一个点都能和除它以外的(n-1)个点形成线段，共有n个点，共可形成n(n-1)条线段，但所有线段都数了两遍，由此可求出线段的总条数；利用两种不同的方法数线段，线段的总条数相等，可得等式.
（3）当CD⊥AB时，线段CD最小，利用直角三角形的两个面积公式，可求出CD的长.
（4）利用平方差公式将式子转化为(99+98)(99-98)+(97+96)(97-96)+ ……+(3-2)(3+2)+1，可得到99+98+97+……+3+2+1，再利用（2）中的等式进行计算，可求出结果.
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