等差数列
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课件16张PPT。等差数列复 习 回 顾数列的定义，通项公式，递推公式 按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5， ， ， ，… ①
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48 ，53，58，63. ②
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5. ③
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：
10072，10144，10216，10288，10360. ④四 个 实 例从第二项起，后一项与前一项的差是5。从第二项起，后一项与前一项的差是5。从第二项起，后一项与前一项的差是-2.5。从第二项起，后一项与前一项的差是72。请同学们思考，这四个数列有何共同特点?等 差 数 列 的 定 义一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 定义的符号表示是：
an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
这就是数列的递推公式。an+1-an=d(n∈N*)是不是不是 练 习 一 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…
（2）9，6，3，0，-3…
（3）-8，-6，-4，-2，0，…
（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
an+1-an是不是同一个常数？思 考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0通 项 公 式 的 推 导设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有：
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3dan=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d（n∈N*）问an=?
通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？an=am +(n-m)d(n,m∈N*)(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)
+…+(an-an-1)=(n-1)d
∴an-a1=(n-1)d
即an=a1+(n-1)d变形a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=da1 、an、n、d知三求一例 题例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：
a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49分析（2）要想判断 -401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。练 习 二（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：（1）根据题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.（2）由题意得：
a1=2,d=9-2=16-9=7
∴这个数列的通项公式是：
an=2+ (n-1) × 7
=7n-5(n≥1)
令100=7n-5,得 n=15
∴100是这个数列的第15项。
例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。例 题练 习 三已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.∴这个数列的首项是1，公差是3。解：依题意得：解之得：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3, 求a12,a3n.解法一: 依题意得：
a1+2d=9 解之得 a1 =11
a1+8d=3 d =-1
∴这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n
故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.解法二：思考练习课时小结通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式： an+1-an=d(n≥1且n∈N*);
其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n≥1) .
本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。最后，还要注意一重要关系式，an=am+(n-m)d的理解与应用。下课已知等差数列{an}中，am、公差d 是常数，试求出an的值。分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am ,d 看成是常数.解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
am=a1+(m-1)d ①
an=a1+(n-1)d ②
②- ①得：an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d思考题：变形等差数列的通项公式：等差数列an-a1=(n-1)da4-a3=da2-a1=da3-a2=dan-1-an-2=dan-an-1=d…………等差数列的通项公式：an=a1 +(n-1)d等价变形：a1=an- (n-1)dd=(an-a1)/ (n-1)n=(an-a1)/d+1等差数列思考:an=a1 +(n-1)dam=a1 +(m-1)dam-an =(m-n) dd=am-an /(m-n) am=?am-an =?am=an +(m-n) d
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5， ， ， ，… ①
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48 ，53，58，63. ②
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5. ③
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：
10072，10144，10216，10288，10360. ④四 个 实 例从第二项起，后一项与前一项的差是5。从第二项起，后一项与前一项的差是5。从第二项起，后一项与前一项的差是-2.5。从第二项起，后一项与前一项的差是72。请同学们思考，这四个数列有何共同特点?等 差 数 列 的 定 义一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 定义的符号表示是：
an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
这就是数列的递推公式。an+1-an=d(n∈N*)是不是不是 练 习 一 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…
（2）9，6，3，0，-3…
（3）-8，-6，-4，-2，0，…
（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
an+1-an是不是同一个常数？思 考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0通 项 公 式 的 推 导设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有：
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3dan=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d（n∈N*）问an=?
通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？an=am +(n-m)d(n,m∈N*)(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)
+…+(an-an-1)=(n-1)d
∴an-a1=(n-1)d
即an=a1+(n-1)d变形a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=da1 、an、n、d知三求一例 题例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：
a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49分析（2）要想判断 -401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。练 习 二（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：（1）根据题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.（2）由题意得：
a1=2,d=9-2=16-9=7
∴这个数列的通项公式是：
an=2+ (n-1) × 7
=7n-5(n≥1)
令100=7n-5,得 n=15
∴100是这个数列的第15项。
例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。例 题练 习 三已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.∴这个数列的首项是1，公差是3。解：依题意得：解之得：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3, 求a12,a3n.解法一: 依题意得：
a1+2d=9 解之得 a1 =11
a1+8d=3 d =-1
∴这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n
故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.解法二：思考练习课时小结通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式： an+1-an=d(n≥1且n∈N*);
其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n≥1) .
本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。最后，还要注意一重要关系式，an=am+(n-m)d的理解与应用。下课已知等差数列{an}中，am、公差d 是常数，试求出an的值。分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am ,d 看成是常数.解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
am=a1+(m-1)d ①
an=a1+(n-1)d ②
②- ①得：an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d思考题：变形等差数列的通项公式：等差数列an-a1=(n-1)da4-a3=da2-a1=da3-a2=dan-1-an-2=dan-an-1=d…………等差数列的通项公式：an=a1 +(n-1)d等价变形：a1=an- (n-1)dd=(an-a1)/ (n-1)n=(an-a1)/d+1等差数列思考:an=a1 +(n-1)dam=a1 +(m-1)dam-an =(m-n) dd=am-an /(m-n) am=?am-an =?am=an +(m-n) d