湛江市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，其中为实数，则（ ）
A. B. C. D.
3．的展开式中常数项是（ ）
A． B． C． D．
4.曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为( )
A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3
5.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是( )
A．x＝－2是函数y＝f(x)的极大值点
B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点
C．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值
D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
6.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
7．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
8.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列给出的式子中正确的有（ ）.
A． B． C． D．
10．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
11.函数的图象以中心对称，则（ ）
A. 在单调递减 B. 在有2个极值点
C. 直线是一条对称轴 D. 直线是一条切线
12．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件 B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从甲、乙等6名同学中随机选4名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的
情况有______种
14．的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，则数列{an}的通项公式为
an＝_________．
16. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为
右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆
的离心率为___________．
解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（10分）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
已知a1＝b1＝1，b4＝64，q ＝2d.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝a2n－1＋b2n，求数列{cn}的前n项和Sn.
18.（12分）三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， ．(1)求角C； (2)若点E满足，求的长．
19.（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求：
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列和数学期望．
20.（12分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．
(1)求证：C1M⊥B1D；
(2)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．
21.（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
22.（12分）已知函数f(x)＝ax ln x＋b(a，b为实数)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)求实数a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝，证明：当g(x1)＝g(x2)(x12.2022-2023学年度第二学期高二级期中考试数学答案
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，故选：B.
2.设，其中为实数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为R，，所以，解得：．
故选：C
3．的展开式中常数项是（ ）
A． B． C． D．
3.【答案】A
【解析】的展开式通项，
令，可得，所以，展开式通项为.故选：A.
4.曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为( )
A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3
4.A解：因为(－1，a)在曲线y＝x3＋1上，所以a＝0.令f(x)＝x3＋1，
则f′(x)＝3x2，f′(－1)＝3，即切线的斜率k＝3，
所以切线的方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3，故选A.
5.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是( )
A．x＝－2是函数y＝f(x)的极大值点
B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点
C．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值
D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
5.D 解：根据导函数y＝f′(x)的图象可得，y＝f′(x)在(－∞，－2)上小于零，
在(－2，1)，(1，＋∞)上大于零，且f′(－2)＝0，故函数f(x)在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数，故x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点，故A错误；x＝1不是函数y＝f(x)的极值点，故B不正确；根据x＝－1的两侧均为单调递增函数，故x＝－1不是极值点，故C不正确；根据y＝f(x)在区间(－2，2)上的导数大于或等于零可知，f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故D正确．
6.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
6.【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式
故选：B
7．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对选项A， ，
令，得，令，得，
所以，故A错误.
对选B，因为，
所以表示的各项系数之和，
令，则，故B正确.
对选项C，，所以，故C错误.
对选项D，因为，，
令，则，
则，故D正确.故选：D
8.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
由已知可得，即在上单调递减.
所以，
故，，即C选项正确.故选：C
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列给出的式子中正确的有（ ）.
A． B． C． D．
【详解】∵，∴A错误；
∵，∴B正确；
∵，∴C正确，
∵，∴D正确. 故选：BCD
10. 在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
10.【答案】ACD
【详解】解：由题意得：
对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A正确；
对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故B错误，C正确；
对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D正确.
故选：ACD
11.函数的图象以中心对称，则（ ）
A. 在单调递减 B. 在有2个极值点
C. 直线是一条对称轴 D. 直线是一条切线
11.【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
12．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件 B．
C． D．
【答案】AB
【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从甲、乙等6名同学中随机选4名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的情况有______种
13.【答案】6 【详解】除了甲乙之外还有4个同学，从中再选2个同学，所以甲、乙都入选的方法数为种
14．的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．
14.【详解】的展开式的通项为，
令，则，令，则（舍去），
所以的展开式中含项的系数为，
所以.故答案为：.
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，则数列{an}的通项公式
an＝_________．
15解：由数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，
可得S1＝2a1－1，解得a1＝1，
又an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n－1.
16.已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为___________．
16.【答案】
【解析】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、，
由题意可知，、关于原点对称，且为的中点，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为矩形.
因为，设，，
则，，
所以，，
在中，，即，
解得，所以，，，
在中，由勾股定理可得，即，
整理可得，解得.故选：C.
解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，已知a1＝b1＝1，
b4＝64，q ＝2d.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝a2n－1＋b2n，求数列{cn}的前n项和Sn.
17.解：(1)因为b4＝64，所以b1q3＝64， -----------------1分
又b1＝1，所以q＝4. -----------------2分
又q＝2d，所以d＝2. -----------------3分
因为a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， - -----------------------4分
所以bn＝b1qn－1＝4n－1. ----------------------5分
(2)cn＝a2n－1＋b2n＝4n－3＋42n－1. ----------------------6分
所以Sn＝(1＋5＋9＋…＋4n－3)＋(4＋43＋…＋42n－1)-------------8分
＝＋ ------------9分
＝2n2－n＋. ----------------------10分
18．三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
(1)求角C；(2)若点E满足，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，从而计算可得；
（2）首先由内角和定理得到，再由正弦定理求出，最后在中利用余弦定理计算可得；
18.解：(1) ，△ABC中由正弦定理得
---------------1分
---------------2分
---------------3分
---------------4分
(2)由（1）得，
又，， ---------------5分
又 ， 在△ABC中由 可得 ---------------6分
即AC=3 --------------7分
又， --------------8分
又， --------------9分
在中，，，，
由余弦定理得 --------------10分
--------------11分
--------------12分
19.（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求：
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列和数学期望．
19.解：
法1：（1）设所取的2道题都是甲类题为事件A，则 -----------------1分
--------------------------3分
所取的2道题都是甲类题的概率为 ----------------4分
（2）X取值为0，1，2， ----------------5分
----------------6分
----------------7分
----------------8分
则分布列为
X 0 1 2
P
----------------10分
（或代超几何期望公式）
----------------12分
法2：列举法也可以
（1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道一类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件
为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，
{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，--------------------------2分
而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个 ----------------3分
所以 = ----------------4分
由（1）得基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个 ----------------5分
则分布列为
X 0 1 2
P
----------------10分
----------------12分
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且
AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．
(1)求证：C1M⊥B1D；
(2)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．
20.解：依题意，以C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图的空间直角坐标系（要标坐标系，不标扣1分）-----------1分
可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，3)，B1(0，2，3)，D(2，0，1)，
E(0，0，2)，M(1，1，3)． -----------------3分
(1)证明：依题意，＝(1，1，0)，＝(2，－2，－2)，-------------4分
从而·＝2－2＋0＝0， -------------5分
所以C1M⊥B1D. -------------6分
(2)依题意，＝(0，2，1)，＝(2，0，－1)． -------------7分
设n＝(x，y，z)为平面DB1E的法向量，则即
不妨设x＝1，可得n＝(1，－1，2)． -------------9分
依题意，＝(－2，2，0)． -------------10分
于是cos〈，n〉＝＝－. -------------11分
所以直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为. -------------12分
21.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
21.解：设椭圆E的方程为， ----------------1分
由椭圆于过，则，-----------------2分
解得， -----------------3分
所以椭圆E的方程为：. -----------------4分
注意：只设焦点在y轴的给2分
（2），所以 -----------------5分
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点. -----------------7分
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，-----------------8分
可得，
且 -----------------9分
联立可得
可求得此时， -----------------10分
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立， -----------------11分
综上，可得直线HN过定点 -----------------12分
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
22.已知函数f(x)＝ax ln x＋b(a，b为实数)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)求实数a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝，证明：当g(x1)＝g(x2)(x12.
22.解： (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a(1＋ln x)， ------------1分
∵曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，
∴解得a＝1，b＝0. -----------------3分
令f′(x)＝1＋ln x＝0，得x＝. -----------------4分
当x>时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；
当0∴f(x)单调递减区间为，单调递增区间为.---------6分
(2)证明 由(1)得f(x)＝x ln x，
故g(x)＝＝ln x＋(x＞0)， ---------7分
由g(x1)＝g(x2)(x1得ln x1＋＝ln x2＋，即＝ln ＞0. ---------8分
要证x1＋x2>2，需证(x1＋x2)·＞2ln ，
即证－＞2ln .
设＝t(t>1)，则需证t－＞2ln t(t＞1). ---------9分
令h(t)＝t－－2ln t，
则h′(t)＝1＋－＝＞0. ---------10分
∴h(t)在(1，＋∞)上单调递增，则h(t)>h(1)＝0， ---------11分
即t－>2ln t．故x1＋x2＞2. ---------12分
