湛江市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学参考答案
1．B 2．C 3．A 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B
8.【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，
所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.所以四面体外接球表面积是.
9.ACD 10．ACD 11．CD
12．ABD 【详解】如图：
∵正四棱柱的底面边长为2，∴，又侧棱，
∴，则与重合时，此时点唯一，故A正确；
∵，，则，即点的轨迹是一段圆弧，故B正确；
连接，，可得平面平面，则当为中点时，DP有最小值为，故C错误；
由C知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确．
13．2 14． 15．
16． 【详解】连接，设截面交棱于点，连接、，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，所以，，因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，则，
为的中点，则为的中点，由勾股定理可得，，，所以，四边形为等腰梯形，
过点、分别在平面内作、，垂足分别为点、，
由等腰梯形的性质可得，，
又因为，所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，所以，，
所以，，则，
因此，截面面积为.
17．【详解】（1）根据复数的几何意义，得，，，
所以，同理：，．
（2）由（1）得，故，所以为直角三角形.
18．【详解】（1）∵，，又，∴，解得；
∵，∴，解得，
∴，，，
∴，，
∴．
19．【详解】（1）
如图，连接交于点，再连接,
在中，为中点，为的中点，所以,
且平面，平面,所以平面.
（2）∵该几何体为正方体，∴点到平面的距离等于，∴点到平面的距离等于，根据等体积法可知.
20．【详解】（1）∵，∴由正弦定理得：，
∴由余弦定理得：，
∵，∴；
（2）由第一问可知：，又，
由余弦定理得：，
解得：，由三角形面积公式可得：.
21．【详解】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点
∴GH是的中位线，∴GHB1C1，
又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面．
（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EFBC，
∵平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF平面BCHG，
∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，
∴A1GEB，，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，
∵平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E平面BCHG，
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1平面BCHG.
22．【详解】（1）因为，
所以，
整理得，
由正弦定理得，由余弦定理得，
∵，∴.
（2）
在中，因为，所以，所以，所以，
所以，所以的取值范围为.答案第1页，共2页湛江市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学
本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．若集合，则（ ）
A．或 B． C． D．
2．已知复数z满足（为虚数单位），则复平面内的共轭复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．圆台上 下底面半径分别是，高为，这个圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．正方体中，与对角线成异面直线的棱有（ ）
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条
6．在平行四边形中，，．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在长方体中，与相交于点分别是，的中点，则长方体的各棱中与平行的有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
8．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边的中线，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．的面积为
10．若复数为纯虚数，则（ ）
A．为实数 B．为实数
C．为实数 D．为实数
11．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，下列四个命题中，正确命题的选项是（ ）
A．与平行； B．与是异面直线；
C．与平面平行； D．平面与平面平行.
12．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A．若，则满足条件的点有且只有一个.
B．若，则点的轨迹是一段圆弧.
C．若平面，则长的最小值为2.
D．若平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知，则=___________．
14．已知，，向量在上的投影向量是_____________．
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则、两点的距离为___________m．
16．棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是_________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.)
17．（10分）在复平面内，，的对应的复数分别为．
(1)求；
(2)判定的形状．
18．（12分）已知平面向量，满足，，其中．
(1)若，求实数的值；
(2)若，若与夹角的余弦值.
19．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
20．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
21．（12分）如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点．求证：
(1)四点共面；
(2)平面平面.
（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，
已知.
求角的大小；
(2)求的取值范围.
答案第1页，共2页
