1.1.3《四种命题的关系》
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课件34张PPT。2018/12/311.1.3四种命题的相互关系高二数学 选修2-1 第一章 常用逻辑用语2018/12/31下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。2018/12/31观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。
原 命 题：其中一个命题叫做原命题。
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。即 原命题:若p,则q逆命题:若q,则p例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。原命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢?2018/12/31观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数. 原命题:若p,则q 为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”否命题:若┐p,则┐q互否命题 原命题 (原命题的)否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。原命题与其否命题的真假是否存在相关性呢?2018/12/31观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 原命题: 若p, 则q逆否命题: 若┐q, 则┐p 互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”。原命题与其逆否命题的真假是否存在相关性呢?2018/12/31２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。三个概念2018/12/31原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
2018/12/31判断正误,并说明理由:(1)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“对顶角不相等”。
(2)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“不成对顶关系的
两个角不相等”。
2018/12/31否命题与命题的否定否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。
对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。
命题的否定: 若 p ，则┐q 。2018/12/31例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：解：
逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．
逆命题为真．否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．
否命题为真．逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ．
逆否命题为真．2018/12/31准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，
不成立存在某x，
成立2018/12/31练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若q<1,则方程 有实根。
（2）若ab=0,则a=0或b=0.2018/12/31回顾交换原命题的条件和结论，所得的命题是________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________
逆命题。否命题。逆否命题。2018/12/31原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
2018/12/31观察与思考？你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?
课堂小结原命题
若p则q逆命题
若q则p否命题
若﹁ p则﹁ q逆否命题
若﹁ q则﹁p互为逆否 同真同假互为逆否 同真同假2018/12/312）原命题：若a=0, 则ab=0。逆命题：若ab=0, 则a=0。否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)2.四种命题的真假看下面的例子：1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ U A∪ UB。Help假假假假2018/12/31四种命题的真假,有且只有下面四种情况:2018/12/31想一想？（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即 原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).几条结论:2018/12/311.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。答：0个、2个、4个。如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）练一练2018/12/31练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若q<1,则方程 有实根。
（2）若ab=0,则a=0或b=0.
（3）若 或 ，则 。
（4）若 ，则x,y全为零。2018/12/31总结2018/12/31反证法：
要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。
即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
2018/12/31反证法的步骤：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
2018/12/31例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。即证明 为真命题2018/12/31假设原命题结论的反面成立看能否推出原命题条件的反面成立尝试成功得证例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.2018/12/31变式练习1、已知 。求证：这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。解：假设p+q>2,那么q>2-p,根据幂函数 的单调性，得即所以 因此2018/12/31可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾；
与反设矛盾；
与公理、定理矛盾；
在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
2018/12/31证明:因为所以例 用反证法证明：
如果a>b>0，那么 . 2018/12/31练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设弦AB 、CD被P平分，∵P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB, OP⊥CD即 过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，∴弦AB、CD不被P平分。2018/12/31若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，
故可令a=2m+1(m为整数),
由此得
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,
此结果表明a2是奇数，
这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,
∴a能被2整除.
2018/12/312018/12/31Back
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。2018/12/31观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。
原 命 题：其中一个命题叫做原命题。
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。即 原命题:若p,则q逆命题:若q,则p例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。原命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢?2018/12/31观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数. 原命题:若p,则q 为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”否命题:若┐p,则┐q互否命题 原命题 (原命题的)否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。原命题与其否命题的真假是否存在相关性呢?2018/12/31观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 原命题: 若p, 则q逆否命题: 若┐q, 则┐p 互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”。原命题与其逆否命题的真假是否存在相关性呢?2018/12/31２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。三个概念2018/12/31原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
2018/12/31判断正误,并说明理由:(1)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“对顶角不相等”。
(2)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“不成对顶关系的
两个角不相等”。
2018/12/31否命题与命题的否定否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。
对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。
命题的否定: 若 p ，则┐q 。2018/12/31例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：解：
逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．
逆命题为真．否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．
否命题为真．逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ．
逆否命题为真．2018/12/31准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，
不成立存在某x，
成立2018/12/31练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若q<1,则方程 有实根。
（2）若ab=0,则a=0或b=0.2018/12/31回顾交换原命题的条件和结论，所得的命题是________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________
逆命题。否命题。逆否命题。2018/12/31原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
2018/12/31观察与思考？你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?
课堂小结原命题
若p则q逆命题
若q则p否命题
若﹁ p则﹁ q逆否命题
若﹁ q则﹁p互为逆否 同真同假互为逆否 同真同假2018/12/312）原命题：若a=0, 则ab=0。逆命题：若ab=0, 则a=0。否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)2.四种命题的真假看下面的例子：1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ U A∪ UB。Help假假假假2018/12/31四种命题的真假,有且只有下面四种情况:2018/12/31想一想？（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即 原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).几条结论:2018/12/311.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。答：0个、2个、4个。如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）练一练2018/12/31练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若q<1,则方程 有实根。
（2）若ab=0,则a=0或b=0.
（3）若 或 ，则 。
（4）若 ，则x,y全为零。2018/12/31总结2018/12/31反证法：
要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。
即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
2018/12/31反证法的步骤：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
2018/12/31例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。即证明 为真命题2018/12/31假设原命题结论的反面成立看能否推出原命题条件的反面成立尝试成功得证例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.2018/12/31变式练习1、已知 。求证：这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。解：假设p+q>2,那么q>2-p,根据幂函数 的单调性，得即所以 因此2018/12/31可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾；
与反设矛盾；
与公理、定理矛盾；
在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
2018/12/31证明:因为所以例 用反证法证明：
如果a>b>0，那么 . 2018/12/31练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设弦AB 、CD被P平分，∵P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB, OP⊥CD即 过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，∴弦AB、CD不被P平分。2018/12/31若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，
故可令a=2m+1(m为整数),
由此得
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,
此结果表明a2是奇数，
这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,
∴a能被2整除.
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